Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Parsial

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Parsial. Silakan disimak ya guys!
>
        Untuk teknik integral selanjutnya kita akan membahas Teknik Integral Parsial yang secara langsung melibatkan bentuk "turunan" dan "integral". Teknik Integral Parsial ini kita gunakan jika "teknik integral substitusi aljabar" secara langsung tidak berhasil untuk menyelesaikan soal integralnya.

Aturan Integral Parsial

Adapun aturan Integral Parsial yaitu : udv=uvvdu.

       Pada rumus tersebut, integral yang diberikan harus dipisah menjadi dua bagian, yaitu satu bagian adalah fungsi (u) dan bagian lain (fungsi yang mengandung dx) adalah dv . Oleh karena itu, rumus tersebut sering disebut integral bagian atau integral parsial.

Strategi Pemilihan fungsi u dan bentuk dv :
Untuk memudahkan dalam menggunakan integral parsial ini, kita pilih fungsi u yang diturunkannya akan menuju nol dan bentuk dv yang mudah kita integralkan.
Contoh soal integral parsial :
1). Tentukan hasil dari integral xx+2dx.

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu x dan x+2.
kita pilih u=x , karena jika kita turunkan akan menuju nol hasilnya.
beda dengan fungsi x+2 , jika diturnkan tidak akan menuju nol.
Sehingga sisanya adalah dv=x+2dx .
*). Melengkapi rumus integral parsialnya :
u=xdudx=1du=dx.
dv=x+2dx , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :
Berdasarkan rumus : k(ax+b)ndx=ka1n+1(ax+b)n+1+c ,
dv=x+2dxdv=x+2dxv=x+2dx=(x+2)12dx=112+1(x+2)12+1=132(x+2)32=23(x+2)32
*). Menentukan hasilnya :
udv=uvvduudv=x.23(x+2)3223(x+2)32dx=23x(x+2)3223(x+2)32dx=23x(x+2)3223.132+1(x+2)32+1+c=23x(x+2)3223.152(x+2)52+c=23x(x+2)3223.25(x+2)52+c=23x(x+2)32415(x+2)52+c
Jadi, hasilnya xx+2dx=23x(x+2)32415(x+2)52+c


2). Hasil dari integral x2cos2xdx adalah ?

Penyelesaian :
*). Ada dua fungsi yaitu x2 dan cos2x,
Kita pilih u=x2 karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
u=x2dudx=2xdu=2xdx.
dv=cos2xdx , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :
dv=cos2xdxdv=cos2xdxv=12sin2x
*). Menentukan hasilnya :
udv=uvvduudv=x2.12sin2x12sin2x.2xdxudv=12x2sin2xxsin2xdx...pers(i)

*). Bentuk xsin2xdx kita parsialkan lagi.
*). Ada dua fungsi yaitu x dan sin2x,
Kita pilih u=x karena turunannya menuju nol.
*). Melengkapi rumusnya :
u=xdudx=1du=dx.
dv=sin2xdx , maka integralkan kedua ruas untuk menentukan v :
dv=sin2xdxdv=sin2xdxv=12cos2x
*). Menentukan hasilnya : xsin2xdx
xsin2xdx=uvvdu=x.(12cos2x(12cos2x)dx=12xcos2x+(12cos2x)dx=12xcos2x+12.12sin2x=12xcos2x+14sin2x
Artinya hasil : xsin2xdx=12xcos2x+14sin2x
*). Kita substitusikan ke pers (i) :
udv=12x2sin2xxsin2xdx=12x2sin2x(12xcos2x+14sin2x)=12x2sin2x+12xcos2x14sin2x+c=(12x214)sin2x+12xcos2x+c
Jadi, hasilnya x2cos2xdx=(12x214)sin2x+12xcos2x+c.

       Untuk soal nomor (2) ini agak lebih panjang pengerjaannya karena kita melakukan integral parsial sebanyak dua kali. Ada cara lain yang lebih mudah untuk menyelesaikan integral parsial berkali-kali yaitu teknik integral parsial yang dikembangkan oleh Tanjalin sehingga kita sebut sebagai teknik Tanjalin dengan cara salah satu fungsi diturunkan sampai nol , kemudian fungsi lain diintegralkan dan selanjutkan dikalikan antara turunan dan integralnya.

Aturan Integral Parsial Tanjalin

Misalkan ada bentuk integral f(x).g(x)dx , maka pengerjaan dengan teknik Tanjalin yaitu :
Turunan|Integral(+)f(x)|g(x)()f(x)|g(x)dx=g1(x)(+)f(x)|g1(x)dx=g2(x)()f(x)|g2(x)dx=g3(x)(+)0|g3(x)dx=g4(x)

Keterangan :
*). Fungsi yang diturunkan adalah fungsi yang menuju nol jika terus diturunkan.
*). Integral berhenti ketika turunan fungsi sebelah kirinya sudah nol.
*). Tanda sebelah kiri turunan harus ada dengan bertanda selang-seling dimulai dari positif (+).
*). Cara mengalikan : Dari turunan ke integral "turun satu baris"
Baris pertama pada turunan (f(x)) dikalikan dengan baris kedua pada integral (g1(x)),
Baris kedua pada turunan (f(x)) dikalikan dengan baris ketiga pada integral (g2(x)),
Baris ketiga pada turunan (f(x)) dikalikan dengan baris keempat pada integral (g3(x)),
begitu seterusnya, dan nol (0) tidak perlu dikalikan.

Sehingga hasil integralnya :
f(x).g(x)dx=+f(x)×g1(x)+(f(x))×g2(x)+(+f(x))×g3(x)+(f)×g4(x)+cf(x).g(x)dx=f(x)g1(x)f(x)g2(x)+f(x)g3(x)fg4(x)+c
Contoh soal :
3). Kita akan selesaikan soal nomor (1) dan nomor (2) di atas dengan cara Tanjalin :
*). soal nomor (1) : xx+2dx
Loading...
Turunan|Integral(+)x|x+2=(x+2)12()1|23(x+2)32(+)0|415(x+2)52

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
xx+2dx=(+x)×23(x+2)32+(1)×415(x+2)52+c=23x(x+2)32415(x+2)52+c

*). Soal nomor (2) : x2cos2xdx
Turunan|Integral(+)x2|cos2x()2x|12sin2x(+)2|12.(12cos2x)=14cos2x()0|14.12sin2x=18sin2x

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
x2cos2xdx=(+x2)×12sin2x+(2x)×14cos2x+(+2)×18sin2x+c=12x2sin2x+12xcos2x14sin2x+c=(12x214)sin2x+12xcos2x+c

Hasilnya ternyata sama dengan jawaban sebelumnya di atas hanya dengan teknik integral parsial biasa.

4). Tentukan hasil dari integral 2x3cosxdx ?

Penyelesaian :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin langsung :
Turunan|Integral(+)2x3|cosx()6x2|sinx(+)12x|cosx()12|sinx(+)0|cosx

Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
2x3cosxdx=(+2x3)×sinx+(6x2)×(cosx)+(+12x)×(sinx)+(12)×cosx+c=2x3sinx+6x2cosx12xsinx12cosx+c(kelompokkan)=(2x312x)sinx+(6x212)cosx+c

5). Tentukan hasil integral dari bentuk :
a). 4xsinxcosxdx
b). 2xcos2xdx
c). 6xcos(3x)cos(2x)dx

Penyelesaian :
*). Pada masing-masing soal pada nomor (5) ini ada tiga fungsi sehingga tidak bisa langsung kita parsialkan, artinya fungsi trigonometrinya harus kita pecah atau kita gabungkan terlebih dahulu.
a). Ingat rumus : sin2x=2sinxcosx,
Sehingga fungsinya : 4xsinxcosx=2x.2sinxcosx=2xsin2x.
Soalnya menjadi : 4xsinxcosxdx=2xsin2xdx
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Turunan|Integral(+)2x|sin2x()2|12cos2x(+)0|12.12sin2x=14sin2x

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
4xsinxcosxdx=(+2x)×(12cos2x)+(2)×(14sin2x)+c=xcos2x)+12sin2x+c

b). Ingat rumus : cos2x=12+12cos2x,
Sehingga fungsinya : 2xcos2x=2x(12+12cos2x)=x+xcos2x.
Soalnya menjadi : 2xcos2xdx=x+xcos2xdx=xdx+xcos2xdx
Yang kita parsialkan hanya bentuk xcos2xdx
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Turunan|Integral(+)x|cos2x()1|12sin2x(+)0|12.12cos2x=14cos2x

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
xcos2xdx=(+x)×(12sin2x)+(1)×(14cos2x)+c=12xsin2x+14cos2x+c

*). Sehingga hasil akhirnya :
2xcos2xdx=xdx+xcos2xdx=12x2+(12xsin2x+14cos2x)+c=12x2+12xsin2x+14cos2x+c

c). Ingat rumus : 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(AB),
Sehingga fungsinya :
6xcos(3x)cos(2x)=3x.2cos(3x)cos(2x)=3x(cos5x+cosx)=3xcos5x+3xcosx.
Soalnya menjadi :
6xcos(3x)cos(2x)dx=3xcos5x+3xcosxdx=3xcos5xdx+3xcosxdx
Kita parsialkan keduanya,
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Bentuk pertama : 3xcos5xdx
Turunan|Integral(+)3x|cos5x()3|15sin5x(+)0|15.15cos5x=125cos5x
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
3xcos5xdx=(+3x)×(15sin5x)+(3)×(125cos5x)+c=35xsin5x+325cos5x+c

Bentuk kedua : 3xcosxdx
Turunan|Integral(+)3x|cosx()3|sinx(+)0|cosx
*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
3xcosxdx=(+3x)×(sinx)+(3)×(cosx)+c=3xsinx+3cosx+c

*). Sehingga hasil akhirnya :
6xcos(3x)cos(2x)dx=3xcos5xdx+3xcosxdx=(35xsin5x+325cos5x)+(3xsinx+3cosx)+c=35xsin5x+325cos5x+3xsinx+3cosx+c

6). Tentukan integral dari 2x3cosx2dx

Penyelesaian :
*). Untuk soal ini, kita tidak bisa langsung menggunakan teknik parsial karena kita akan kesulitan untuk menentukan hasil integral dari fungsi cosx2 .
*). Kita gunakan teknik substitusi aljabar terlebih dahulu agar sudut dari cosx2 menjadi pangkat satu dengan memisalkan u=x2.
*). Teknik substitusi aljabar :
u=x2u=2x
2x3cosx2dx=2x3cosuduu=2x3cosudu2x(sederhanakan)=x2cosudu(ganti x2=u)=ucosudu
*). Bentuk ucosudu inilah yang kita parsialkan.
Teknik tanjalin :
*). Kita gunakan teknik Tanjalin :
Turunan|Integral(+)u|cosu()1|sinu(+)0|cosu

*). Kita kalikan hasil turunan dan integralnya : "turun satu baris"
ucosudu=(+u)×sinu+(1)×(cosu)+c=usinu+cosu+c(kembalikan bentuk u)=x2sinx2+cosx2+c
Jadi, hasilnya : 2x3cosx2dx=x2sinx2+cosx2+c. .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Parsial. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts