Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Substitusi Aljabar. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Substitusi Aljabar. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Teknik Integral Substitusi Aljabar biasanya kita gunakan setelah integral dengan rumus dasar baik "integral fungsi aljabar" maupun "integral fungsi trigonometri" secara langsung tidak bisa menyelesaikan soalnya. Meskipun namanya Teknik Integral Substitusi Aljabar, tapi teknik ini bisa kita terapkan ke integral fungsi trigonometri juga.
Contoh soal :
1). Tentukan hasil integral dari : ∫2x(4x2+5)15dx ?
Penyelesaian :
*). Untuk mengunakan rumus dasar, bentuk 2x(4x2+5)15 harus kita jabarkan menjadi bentuk (axn+bxm+...) , tapi akan butuh waktu yang lama untuk menjabarkan pangkat 15, berarti kita gunakan teknik integral.
*). Kita misalkan u=4x2+5
sehingga turunannya : dudx=8x→dx=du8x
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫2x(4x2+5)15dx=∫2x(u)15du8x(sederhanakan)=∫(u)15du4=14∫(u)15du=14.116u16+c=164u16+c(kembalikan bentuk u)=164(4x2+5)16+c
Jadi, hasil dari ∫2x(4x2+5)15dx=164(4x2+5)16+c.
2). Tentukan hasil integral dari : ∫(4x+8)√x2+4x−5dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=x2+4x−5→u′=2x+4
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫(4x+8)√x2+4x−5dx=∫(4x+8)√uduu′=∫(4x+8)√udu2x+4=∫2(2x+4)√udu2x+4(sederhanakan)=∫2√udu=2∫u12du=2.112+1u12+1+c=2.132u32+c=2.23u1+12+c=43u1.u12+c=43u.√u+c(kembalikan bentuk u)=43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c
Bentuk 43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c=43√(x2+4x−5)3+c
Jadi, hasil dari ∫(4x+8)√x2+4x−5dx=43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c.
atau ∫(4x+8)√x2+4x−5dx=43√(x2+4x−5)3+c.
3). Tentukan hasil integral dari : ∫3x−1√3x2−2x+7dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=3x2−2x+7→u′=6x−2=2(3x−1)
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫3x−1√3x2−2x+7dx=∫3x−1√uduu′=∫3x−1√udu2(3x−1)(sederhanakan)=∫1√udu2=12∫u−12du=121−12+1u−12+1+c=12112u12+c=12.2√u+c(kembalikan bentuk u)=√3x2−2x+7+c
Jadi, hasil dari ∫3x−1√3x2−2x+7dx=√3x2−2x+7+c.
4). Tentukan hasil integral dari : ∫5√(√x+2)3√xdx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=√x+2→u′=12√x
*). Menenyelesaikan soalnya :
Konsep Teknik Integral Substitusi Aljabar
Sesuai namanya, substitusi aljabar, artinya kita akan memisalkan suatu fungsi dengan bentuk aljabar tertentu agar mudah kita integralkan atau soal integral tersebut bisa kita selesaikan.
Misalkan ada bentuk integral ∫[f(x)]ng(x)dx yang sulit langsung kita integralkan dengan rumus dasar integral, maka kita substitusikan dengan cara memisalkan yaitu :
u=f(x), sehingga turunan dari u adalah
u′=dudx=f′(x)→dx=duu′ atau dx=duf′(x) .
Sehingga soalnya menjadi :
∫[f(x)]ng(x)dx=∫[u]ng(x)duu′ atau
∫[f(x)]ng(x)dx=∫[u]ng(x)duf′(x)
Catatan :
Teknik substitusi aljabar ini dikatakan berhasil jika turunan dari u bisa mencoret fungsi lain yang tidak dimisalkan yaitu fungsi g(x).
Misalkan ada bentuk integral ∫[f(x)]ng(x)dx yang sulit langsung kita integralkan dengan rumus dasar integral, maka kita substitusikan dengan cara memisalkan yaitu :
u=f(x), sehingga turunan dari u adalah
u′=dudx=f′(x)→dx=duu′ atau dx=duf′(x) .
Sehingga soalnya menjadi :
∫[f(x)]ng(x)dx=∫[u]ng(x)duu′ atau
∫[f(x)]ng(x)dx=∫[u]ng(x)duf′(x)
Catatan :
Teknik substitusi aljabar ini dikatakan berhasil jika turunan dari u bisa mencoret fungsi lain yang tidak dimisalkan yaitu fungsi g(x).
1). Tentukan hasil integral dari : ∫2x(4x2+5)15dx ?
Penyelesaian :
*). Untuk mengunakan rumus dasar, bentuk 2x(4x2+5)15 harus kita jabarkan menjadi bentuk (axn+bxm+...) , tapi akan butuh waktu yang lama untuk menjabarkan pangkat 15, berarti kita gunakan teknik integral.
*). Kita misalkan u=4x2+5
sehingga turunannya : dudx=8x→dx=du8x
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫2x(4x2+5)15dx=∫2x(u)15du8x(sederhanakan)=∫(u)15du4=14∫(u)15du=14.116u16+c=164u16+c(kembalikan bentuk u)=164(4x2+5)16+c
Jadi, hasil dari ∫2x(4x2+5)15dx=164(4x2+5)16+c.
2). Tentukan hasil integral dari : ∫(4x+8)√x2+4x−5dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=x2+4x−5→u′=2x+4
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫(4x+8)√x2+4x−5dx=∫(4x+8)√uduu′=∫(4x+8)√udu2x+4=∫2(2x+4)√udu2x+4(sederhanakan)=∫2√udu=2∫u12du=2.112+1u12+1+c=2.132u32+c=2.23u1+12+c=43u1.u12+c=43u.√u+c(kembalikan bentuk u)=43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c
Bentuk 43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c=43√(x2+4x−5)3+c
Jadi, hasil dari ∫(4x+8)√x2+4x−5dx=43(x2+4x−5)√x2+4x−5+c.
atau ∫(4x+8)√x2+4x−5dx=43√(x2+4x−5)3+c.
3). Tentukan hasil integral dari : ∫3x−1√3x2−2x+7dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=3x2−2x+7→u′=6x−2=2(3x−1)
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫3x−1√3x2−2x+7dx=∫3x−1√uduu′=∫3x−1√udu2(3x−1)(sederhanakan)=∫1√udu2=12∫u−12du=121−12+1u−12+1+c=12112u12+c=12.2√u+c(kembalikan bentuk u)=√3x2−2x+7+c
Jadi, hasil dari ∫3x−1√3x2−2x+7dx=√3x2−2x+7+c.
4). Tentukan hasil integral dari : ∫5√(√x+2)3√xdx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=√x+2→u′=12√x
*). Menenyelesaikan soalnya :
Loading...
∫5√(√x+2)3√xdx=∫5√(u)3√xduu′=∫5√(u)3√xdu12√x=∫5√(u)3√x.2√xdu(sederhanakan)=∫10√(u)3du=10∫u32du=10.132+1u32+1+c=10.152u52+c=10.25√u5+c=4√u5+c(kembalikan bentuk u)=4√(√x+2)5+c(atau)=4(√x+2)2√√x+2+c
Jadi, hasil dari ∫5√(√x+2)3√xdx=4√(√x+2)5+c.
5). Tentukan hasil integral dari : ∫6x2sin3x3dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=3x3→u′=9x2
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫6x2sin3x3dx=∫6x2sinuduu′=∫6x2sinudu9x2(sederhanakan)=∫2sinudu3=23∫sinudu=23(−cosu)+c(kembalikan bentuk u)=−23cos3x3+c
Jadi, hasil dari ∫6x2sin3x3dx=−23cos3x3+c.
6). Tentukan hasil integral dari : ∫cos(√x+4)√xdx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=√x+4→u′=12√x
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫cos(√x+4)√xdx=∫cosu√xduu′=∫cosu√xdu12√x=∫cosu√x2√xdu(sederhanakan)=2∫cosudu=2sinu+c(kembalikan bentuk u)=2sin(√x+4)+c
Jadi, hasil dari ∫cos(√x+4)√xdx=2sin(√x+4)+c.
7). Tentukan hasil integral dari : ∫sec2(2−1√x)2√x3dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=2−1√x=2−u−12→u′=12√x3
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫sec2(2−1√x)2√x3dx=∫sec2u2√x3duu′=∫sec2u2√x3du12√x3=∫sec2u2√x32√x3du(sederhanakan)=∫sec2udu=tanu+c(kembalikan bentuk u)=tan(2−1√x)+c
Jadi, hasil dari ∫sec2(2−1√x)2√x3dx=tan(2−1√x)+c.
Contoh soal :
8). tentukan integral dari ∫4(2x−5)31dx
Penyelesaian :
∫4(2x−5)31dx=ka.1n+1(ax+b)n+1+c=42.131+1(2x−5)31+1+c=2.132(2x−5)32+c=116(2x−5)32+c
Jadi, hasil dari ∫4(2x−5)31dx=116(2x−5)32+c .
9). tentukan integral dari ∫√3x+2dx
Penyelesaian :
∫√3x+2dx=∫(3x+2)12dx=ka.1n+1(ax+b)n+1+c=13.112+1(3x+2)12+1+c=13.132(3x+2)32+c=13.23(3x+2)32+c=29(3x+2)32+c
Jadi, hasil dari ∫√3x+2dx=29(3x+2)32+c .
Contoh soal :
10). tentukan integral dari ∫32x−5dx
Penyelesaian :
∫32x−5dx=kaln(ax+b)+c=32ln(2x−5)+c
Jadi, hasil dari ∫32x−5dx=32ln(2x−5)+c . .
Jadi, hasil dari ∫5√(√x+2)3√xdx=4√(√x+2)5+c.
5). Tentukan hasil integral dari : ∫6x2sin3x3dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=3x3→u′=9x2
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫6x2sin3x3dx=∫6x2sinuduu′=∫6x2sinudu9x2(sederhanakan)=∫2sinudu3=23∫sinudu=23(−cosu)+c(kembalikan bentuk u)=−23cos3x3+c
Jadi, hasil dari ∫6x2sin3x3dx=−23cos3x3+c.
6). Tentukan hasil integral dari : ∫cos(√x+4)√xdx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=√x+4→u′=12√x
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫cos(√x+4)√xdx=∫cosu√xduu′=∫cosu√xdu12√x=∫cosu√x2√xdu(sederhanakan)=2∫cosudu=2sinu+c(kembalikan bentuk u)=2sin(√x+4)+c
Jadi, hasil dari ∫cos(√x+4)√xdx=2sin(√x+4)+c.
7). Tentukan hasil integral dari : ∫sec2(2−1√x)2√x3dx ?
Penyelesaian :
*). Kita misalkan u=2−1√x=2−u−12→u′=12√x3
*). Menenyelesaikan soalnya :
∫sec2(2−1√x)2√x3dx=∫sec2u2√x3duu′=∫sec2u2√x3du12√x3=∫sec2u2√x32√x3du(sederhanakan)=∫sec2udu=tanu+c(kembalikan bentuk u)=tan(2−1√x)+c
Jadi, hasil dari ∫sec2(2−1√x)2√x3dx=tan(2−1√x)+c.
Rumus umum integral ∫k(ax+b)ndx dengan n≠−1
Dengan teknik integral substitusi maka kita bisa langsung menemukan rumus umum dari :
misalkan : u=ax+b→u′=a
∫k(ax+b)ndx=∫k(ax+b)ndx=∫k(u)ndua=ka∫(u)ndu=ka1n+1(ax+b)n+1+c
Kita peroleh : ∫k(ax+b)ndx=ka1n+1(ax+b)n+1+c.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral parsial.
misalkan : u=ax+b→u′=a
∫k(ax+b)ndx=∫k(ax+b)ndx=∫k(u)ndua=ka∫(u)ndu=ka1n+1(ax+b)n+1+c
Kita peroleh : ∫k(ax+b)ndx=ka1n+1(ax+b)n+1+c.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral parsial.
8). tentukan integral dari ∫4(2x−5)31dx
Penyelesaian :
∫4(2x−5)31dx=ka.1n+1(ax+b)n+1+c=42.131+1(2x−5)31+1+c=2.132(2x−5)32+c=116(2x−5)32+c
Jadi, hasil dari ∫4(2x−5)31dx=116(2x−5)32+c .
9). tentukan integral dari ∫√3x+2dx
Penyelesaian :
∫√3x+2dx=∫(3x+2)12dx=ka.1n+1(ax+b)n+1+c=13.112+1(3x+2)12+1+c=13.132(3x+2)32+c=13.23(3x+2)32+c=29(3x+2)32+c
Jadi, hasil dari ∫√3x+2dx=29(3x+2)32+c .
Rumus umum integral ∫k(ax+b)ndx dengan n=−1
Dengan teknik integral substitusi maka kita bisa langsung menemukan rumus umum dari :
misalkan : u=ax+b→u′=a
∫k(ax+b)−1dx=∫kax+bdx=∫kudua=ka∫1udu=kaln(u)+c=kaln(ax+b)+c
Kita peroleh : ∫k(ax+b)−1dx=∫kax+bdx=kaln(ax+b)+c.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral membagi pecahan.
misalkan : u=ax+b→u′=a
∫k(ax+b)−1dx=∫kax+bdx=∫kudua=ka∫1udu=kaln(u)+c=kaln(ax+b)+c
Kita peroleh : ∫k(ax+b)−1dx=∫kax+bdx=kaln(ax+b)+c.
Bentuk rumus ini sangat akan membantu kita terutama pada integral membagi pecahan.
10). tentukan integral dari ∫32x−5dx
Penyelesaian :
∫32x−5dx=kaln(ax+b)+c=32ln(2x−5)+c
Jadi, hasil dari ∫32x−5dx=32ln(2x−5)+c . .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Teknik Integral Substitusi Aljabar. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...