Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Setelah mempelajari "Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar", kita akan lanjutkan lagi materi integral yang berkaitan dengan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat integral tak tentu juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca materi "Turunan Fungsi Trigonometri" terlebih dahulu karena integral adalah kebalikan dari turunan.
Contoh soal integral fungsi trigonometri :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). ∫2sinxdx
b). ∫sinx−cosxdx
c). ∫sinx+cscxtanxdx
d). ∫tanx+cotxsin2xdx
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
secx=1cosx,cscx=1sinx,tanx=sinxcosx,cotx=cosxsinx.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). ∫2sinxdx=2∫sinxdx=2(−cosx)+c=−2cosx+c
b). ∫sinx−cosxdx=−cosx−sinx+c
c). Kita sederhanakan soalnya :
∫sinx+cscxtanxdx=∫sinx+cscxsinxcosxdx=∫(sinx+cscx)×cosxsinxdx=∫(sinx.×cosxsinx+cscx×cosxsinx)dx=∫(cosx+cscxcotx)dx=sinx−cscx+c
Sehingga, hasil dari ∫sinx+cscxtanxdx=sinx−cscx+c.
d). Kita sederhanakan soalnya : sin2x=2sinxcosx
∫tanx+cotxsin2xdx=∫sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=∫sinxcosx2sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=∫sinxcosx.2sinxcosx+cosxsinx.2sinxcosxdx=∫1cosx.2cosx+1sinx.2sinxdx=∫12(1cos2x+1sin2x)dx=12∫sec2x+csc2xdx=12(tanx−cotx)+c
Sehingga, hasil dari ∫tanx+cotxsin2xdx=12(tanx−cotx)+c.
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)
Berdasarkan pengertian integral, ∫f′(x)dx=f(x)+c, dimana f′(x) adalah turuan dari fungsi f(x) :
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sinx→f′(x)=cosx
artinya ∫cosxdx=sinx+c
2). f(x)=cosx→f′(x)=−sinx
artinya ∫−sinxdx=cosx+c atau ∫sinxdx=−cosx+c
3). f(x)=tanx→f′(x)=sec2x
artinya ∫sec2xdx=tanx+c
4). f(x)=cotx→f′(x)=−csc2x
artinya ∫−csc2xdx=cotx+c atau ∫csc2xdx=−cotx+c
5). f(x)=secx→f′(x)=secxtanx
artinya ∫secxtanxdx=secx+c
6). f(x)=cscx→f′(x)=−cscxcotx
artinya ∫−cscxcotxdx=cscx+c
atau ∫cscxcotxdx=−cscx+c
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sinx→f′(x)=cosx
artinya ∫cosxdx=sinx+c
2). f(x)=cosx→f′(x)=−sinx
artinya ∫−sinxdx=cosx+c atau ∫sinxdx=−cosx+c
3). f(x)=tanx→f′(x)=sec2x
artinya ∫sec2xdx=tanx+c
4). f(x)=cotx→f′(x)=−csc2x
artinya ∫−csc2xdx=cotx+c atau ∫csc2xdx=−cotx+c
5). f(x)=secx→f′(x)=secxtanx
artinya ∫secxtanxdx=secx+c
6). f(x)=cscx→f′(x)=−cscxcotx
artinya ∫−cscxcotxdx=cscx+c
atau ∫cscxcotxdx=−cscx+c
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). ∫2sinxdx
b). ∫sinx−cosxdx
c). ∫sinx+cscxtanxdx
d). ∫tanx+cotxsin2xdx
Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
secx=1cosx,cscx=1sinx,tanx=sinxcosx,cotx=cosxsinx.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). ∫2sinxdx=2∫sinxdx=2(−cosx)+c=−2cosx+c
b). ∫sinx−cosxdx=−cosx−sinx+c
c). Kita sederhanakan soalnya :
∫sinx+cscxtanxdx=∫sinx+cscxsinxcosxdx=∫(sinx+cscx)×cosxsinxdx=∫(sinx.×cosxsinx+cscx×cosxsinx)dx=∫(cosx+cscxcotx)dx=sinx−cscx+c
Sehingga, hasil dari ∫sinx+cscxtanxdx=sinx−cscx+c.
d). Kita sederhanakan soalnya : sin2x=2sinxcosx
∫tanx+cotxsin2xdx=∫sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=∫sinxcosx2sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=∫sinxcosx.2sinxcosx+cosxsinx.2sinxcosxdx=∫1cosx.2cosx+1sinx.2sinxdx=∫12(1cos2x+1sin2x)dx=12∫sec2x+csc2xdx=12(tanx−cotx)+c
Sehingga, hasil dari ∫tanx+cotxsin2xdx=12(tanx−cotx)+c.
Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)
Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sin(ax+b)→f′(x)=acos(ax+b)
artinya ∫acos(ax+b)dx=sin(ax+b)+c
atau ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+c
2). f(x)=cos(ax+b)→f′(x)=−asin(ax+b)
artinya ∫−asin(ax+b)dx=cos(ax+b)+c
atau ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+c
3). f(x)=tan(ax+b)→f′(x)=asec2(ax+b)
artinya ∫asec2(ax+b)dx=tan(ax+b)+c
atau ∫sec2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+c
4). f(x)=cot(ax+b)→f′(x)=−acsc2(ax+b)
artinya ∫−acsc2(ax+b)dx=cot(ax+b)+c
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sin(ax+b)→f′(x)=acos(ax+b)
artinya ∫acos(ax+b)dx=sin(ax+b)+c
atau ∫cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+c
2). f(x)=cos(ax+b)→f′(x)=−asin(ax+b)
artinya ∫−asin(ax+b)dx=cos(ax+b)+c
atau ∫sin(ax+b)dx=−1acos(ax+b)+c
3). f(x)=tan(ax+b)→f′(x)=asec2(ax+b)
artinya ∫asec2(ax+b)dx=tan(ax+b)+c
atau ∫sec2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+c
4). f(x)=cot(ax+b)→f′(x)=−acsc2(ax+b)
artinya ∫−acsc2(ax+b)dx=cot(ax+b)+c
Loading...
atau ∫csc2(ax+b)dx=−1acot(ax+b)+c
5). f(x)=sec(ax+b)→f′(x)=asec(ax+b)tan(ax+b)
artinya ∫asec(ax+b)tan(ax+b)dx=sec(ax+b)+c
atau ∫sec(ax+b)tan(ax+b)dx=1asec(ax+b)+c
6). f(x)=csc(ax+b)→f′(x)=−acsc(ax+b)cot(ax+b)
artinya ∫−acsc(ax+b)cot(ax+b)dx=csc(ax+b)+c
atau ∫csc(ax+b)cot(ax+b)dx=−1acsc(ax+b)+c Contoh soal integral fungsi trigonometri :
2). Tentukan hasil integral dari :
a). ∫sin(2x+3)dx
b). ∫6sin(1−3x)dx
c). ∫sec2(4x)dx
d). ∫csc2(−2x+1)+sin(2x)dx
e). ∫sec(x−1)tan(x−1)dx
f). ∫csc(5x−3)cot(5x−3)dx
Penyelesaian :
a). ∫sin(2x+3)dx=−12cos(2x+3)+c
b). ∫6cos(1−3x)dx=6−3sin(1−3x)+c=−2sin(1−3x)+c
c). ∫sec2(4x)dx=14tan(4x)+c
d). ∫csc2(−2x+1)+sin(2x)dx=−1−2cot(−2x+1)−12cos(2x)+c
=12cot(−2x+1)−12cos(2x)+c
e). ∫sec(x−1)tan(x−1)dx=sec(x−1)+c
f). ∫csc(5x−3)cot(5x−3)dx=−15csc(5x−3)+c
Contoh Soal :
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). ∫sin5xcos2xdx
b). ∫4cos7xsin4xdx
c). ∫3cos(3x−1)cos(2x+2)dx
d). ∫cos23xdx
e). ∫sin45xdx
Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
∫sin5xcos2xdx=∫12[sin(5x+2x)+sin(5x−2x)]dx=∫12[sin(7x)+sin(3x)]dx=12∫[sin(7x)+sin(3x)]dx=12[−17cos(7x)−13cos(3x)]+c=−114cos(7x)−16cos(3x)+c
b). Gunakan rumus : cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]
∫4cos7xsin4xdx=∫4.12[sin(7x+4x)−sin(7x−4x)]dx=∫2[sin(11x)−sin(3x)]dx=2[−111cos(11x)−(−13cos(3x))+c=2[−111cos(11x)+13cos(3x)+c=−211cos(11x)+23cos(3x)+c
c). Gunakan rumus : cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]
∫3cos(3x−1)cos(2x+2)dx=∫3.12[cos((3x−1)+(2x+2))+cos((3x−1)−(2x+2))]dx=∫32[cos(5x+1)+cos(x−3)]dx=32[15sin(5x+1)+sin(x−3)]+c=310sin(5x+1)+32sin(x−3)+c
d). Gunakan rumus : cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
∫cos23xdx
∫cos23xdx=∫12[1+cos2.3x]dx=∫12[1+cos6x]dx=12[x+16sin6x]+c=12x+112sin6x+c
e). Gunakan rumus : sin2pf(x)=12[1−cos2pf(x)]
∫sin45xdx=∫sin25xsin25xdx=∫(sin25x)2dx=∫(12[1−cos2.5x])2dx=∫14[1−cos10x]2dx=14∫[1−2cos10x+cos210x]dx=14∫[1−2cos10x+12[1+cos2.10x]]dx=14∫[1−2cos10x+12[1+cos20x]]dx=14∫[1−2cos10x+12+12cos20x]dx=14[x−210sin10x+12x+12.120sin20x]+c=14[32x−210sin10x+140sin20x]+c=38x−240sin10x+1160sin20x]+c=38x−120sin10x+1160sin20x]+c .
5). f(x)=sec(ax+b)→f′(x)=asec(ax+b)tan(ax+b)
artinya ∫asec(ax+b)tan(ax+b)dx=sec(ax+b)+c
atau ∫sec(ax+b)tan(ax+b)dx=1asec(ax+b)+c
6). f(x)=csc(ax+b)→f′(x)=−acsc(ax+b)cot(ax+b)
artinya ∫−acsc(ax+b)cot(ax+b)dx=csc(ax+b)+c
atau ∫csc(ax+b)cot(ax+b)dx=−1acsc(ax+b)+c Contoh soal integral fungsi trigonometri :
2). Tentukan hasil integral dari :
a). ∫sin(2x+3)dx
b). ∫6sin(1−3x)dx
c). ∫sec2(4x)dx
d). ∫csc2(−2x+1)+sin(2x)dx
e). ∫sec(x−1)tan(x−1)dx
f). ∫csc(5x−3)cot(5x−3)dx
Penyelesaian :
a). ∫sin(2x+3)dx=−12cos(2x+3)+c
b). ∫6cos(1−3x)dx=6−3sin(1−3x)+c=−2sin(1−3x)+c
c). ∫sec2(4x)dx=14tan(4x)+c
d). ∫csc2(−2x+1)+sin(2x)dx=−1−2cot(−2x+1)−12cos(2x)+c
=12cot(−2x+1)−12cos(2x)+c
e). ∫sec(x−1)tan(x−1)dx=sec(x−1)+c
f). ∫csc(5x−3)cot(5x−3)dx=−15csc(5x−3)+c
Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan
Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral trigonometri :
*). 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A−B)
atau sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
*). 2cosAsinB=sin(A+B)−sin(A−B)
atau cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]
*). 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A−B)
atau cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]
*). −2sinAsinB=cos(A+B)−cos(A−B)
atau sinAsinB=−12[cos(A+B)−cos(A−B)]
Dari dua rumus terakshir di atas jika A+B=f(x) maka kita peroleh :
*). cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
*). sin2pf(x)=12[1−cos2pf(x)]
Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
*). 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(A−B)
atau sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
*). 2cosAsinB=sin(A+B)−sin(A−B)
atau cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]
*). 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(A−B)
atau cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]
*). −2sinAsinB=cos(A+B)−cos(A−B)
atau sinAsinB=−12[cos(A+B)−cos(A−B)]
Dari dua rumus terakshir di atas jika A+B=f(x) maka kita peroleh :
*). cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
*). sin2pf(x)=12[1−cos2pf(x)]
Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). ∫sin5xcos2xdx
b). ∫4cos7xsin4xdx
c). ∫3cos(3x−1)cos(2x+2)dx
d). ∫cos23xdx
e). ∫sin45xdx
Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(A−B)]
∫sin5xcos2xdx=∫12[sin(5x+2x)+sin(5x−2x)]dx=∫12[sin(7x)+sin(3x)]dx=12∫[sin(7x)+sin(3x)]dx=12[−17cos(7x)−13cos(3x)]+c=−114cos(7x)−16cos(3x)+c
b). Gunakan rumus : cosAsinB=12[sin(A+B)−sin(A−B)]
∫4cos7xsin4xdx=∫4.12[sin(7x+4x)−sin(7x−4x)]dx=∫2[sin(11x)−sin(3x)]dx=2[−111cos(11x)−(−13cos(3x))+c=2[−111cos(11x)+13cos(3x)+c=−211cos(11x)+23cos(3x)+c
c). Gunakan rumus : cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(A−B)]
∫3cos(3x−1)cos(2x+2)dx=∫3.12[cos((3x−1)+(2x+2))+cos((3x−1)−(2x+2))]dx=∫32[cos(5x+1)+cos(x−3)]dx=32[15sin(5x+1)+sin(x−3)]+c=310sin(5x+1)+32sin(x−3)+c
d). Gunakan rumus : cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
∫cos23xdx
∫cos23xdx=∫12[1+cos2.3x]dx=∫12[1+cos6x]dx=12[x+16sin6x]+c=12x+112sin6x+c
e). Gunakan rumus : sin2pf(x)=12[1−cos2pf(x)]
∫sin45xdx=∫sin25xsin25xdx=∫(sin25x)2dx=∫(12[1−cos2.5x])2dx=∫14[1−cos10x]2dx=14∫[1−2cos10x+cos210x]dx=14∫[1−2cos10x+12[1+cos2.10x]]dx=14∫[1−2cos10x+12[1+cos20x]]dx=14∫[1−2cos10x+12+12cos20x]dx=14[x−210sin10x+12x+12.120sin20x]+c=14[32x−210sin10x+140sin20x]+c=38x−240sin10x+1160sin20x]+c=38x−120sin10x+1160sin20x]+c .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...