Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
         Setelah mempelajari "Integral Tak Tentu Fungsi Aljabar", kita akan lanjutkan lagi materi integral yang berkaitan dengan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Sifat-sifat integral tak tentu juga berlaku pada integral fungsi trigonometri. Untuk memudahkan, silahkan baca materi "Turunan Fungsi Trigonometri" terlebih dahulu karena integral adalah kebalikan dari turunan.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar)

       Berdasarkan pengertian integral, f(x)dx=f(x)+c, dimana f(x) adalah turuan dari fungsi f(x) :
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sinxf(x)=cosx
artinya cosxdx=sinx+c
2). f(x)=cosxf(x)=sinx
artinya sinxdx=cosx+c atau sinxdx=cosx+c
3). f(x)=tanxf(x)=sec2x
artinya sec2xdx=tanx+c
4). f(x)=cotxf(x)=csc2x
artinya csc2xdx=cotx+c atau csc2xdx=cotx+c
5). f(x)=secxf(x)=secxtanx
artinya secxtanxdx=secx+c
6). f(x)=cscxf(x)=cscxcotx
artinya cscxcotxdx=cscx+c
atau cscxcotxdx=cscx+c
Contoh soal integral fungsi trigonometri :
1). Tentukan hasil integral berikut ini :
a). 2sinxdx
b). sinxcosxdx
c). sinx+cscxtanxdx
d). tanx+cotxsin2xdx

Penyelesaian :
*). Rumus dasar trigonometri :
secx=1cosx,cscx=1sinx,tanx=sinxcosx,cotx=cosxsinx.
*). Soal yang ada kita arahkan menjadi bentuk rumus dasar integral trigonometri di atas.
a). 2sinxdx=2sinxdx=2(cosx)+c=2cosx+c

b). sinxcosxdx=cosxsinx+c

c). Kita sederhanakan soalnya :
sinx+cscxtanxdx=sinx+cscxsinxcosxdx=(sinx+cscx)×cosxsinxdx=(sinx.×cosxsinx+cscx×cosxsinx)dx=(cosx+cscxcotx)dx=sinxcscx+c
Sehingga, hasil dari sinx+cscxtanxdx=sinxcscx+c.

d). Kita sederhanakan soalnya : sin2x=2sinxcosx
tanx+cotxsin2xdx=sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=sinxcosx2sinxcosx+cosxsinx2sinxcosxdx=sinxcosx.2sinxcosx+cosxsinx.2sinxcosxdx=1cosx.2cosx+1sinx.2sinxdx=12(1cos2x+1sin2x)dx=12sec2x+csc2xdx=12(tanxcotx)+c
Sehingga, hasil dari tanx+cotxsin2xdx=12(tanxcotx)+c.

Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri (Rumus Dasar II)

       Untuk berikut ini, kita akan pelajari rumus integral trigonometri dengan sudut yang lebih kompleks.
Rumus integral Trigonometri :
1). f(x)=sin(ax+b)f(x)=acos(ax+b)
artinya acos(ax+b)dx=sin(ax+b)+c
atau cos(ax+b)dx=1asin(ax+b)+c
2). f(x)=cos(ax+b)f(x)=asin(ax+b)
artinya asin(ax+b)dx=cos(ax+b)+c
atau sin(ax+b)dx=1acos(ax+b)+c
3). f(x)=tan(ax+b)f(x)=asec2(ax+b)
artinya asec2(ax+b)dx=tan(ax+b)+c
atau sec2(ax+b)dx=1atan(ax+b)+c
4). f(x)=cot(ax+b)f(x)=acsc2(ax+b)
artinya acsc2(ax+b)dx=cot(ax+b)+c
Loading...
atau csc2(ax+b)dx=1acot(ax+b)+c
5). f(x)=sec(ax+b)f(x)=asec(ax+b)tan(ax+b)
artinya asec(ax+b)tan(ax+b)dx=sec(ax+b)+c
atau sec(ax+b)tan(ax+b)dx=1asec(ax+b)+c
6). f(x)=csc(ax+b)f(x)=acsc(ax+b)cot(ax+b)
artinya acsc(ax+b)cot(ax+b)dx=csc(ax+b)+c
atau csc(ax+b)cot(ax+b)dx=1acsc(ax+b)+c Contoh soal integral fungsi trigonometri :
2). Tentukan hasil integral dari :
a). sin(2x+3)dx
b). 6sin(13x)dx
c). sec2(4x)dx
d). csc2(2x+1)+sin(2x)dx
e). sec(x1)tan(x1)dx
f). csc(5x3)cot(5x3)dx

Penyelesaian :
a). sin(2x+3)dx=12cos(2x+3)+c
b). 6cos(13x)dx=63sin(13x)+c=2sin(13x)+c
c). sec2(4x)dx=14tan(4x)+c
d). csc2(2x+1)+sin(2x)dx=12cot(2x+1)12cos(2x)+c
=12cot(2x+1)12cos(2x)+c
e). sec(x1)tan(x1)dx=sec(x1)+c
f). csc(5x3)cot(5x3)dx=15csc(5x3)+c

Rumus Perkalian Fungsi yang sering digunakan

       Berikut merupakan rumus perkalian fungsi trigonometri yang sering digunakan dalam integral trigonometri :
*). 2sinAcosB=sin(A+B)+sin(AB)
atau sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(AB)]
*). 2cosAsinB=sin(A+B)sin(AB)
atau cosAsinB=12[sin(A+B)sin(AB)]
*). 2cosAcosB=cos(A+B)+cos(AB)
atau cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(AB)]
*). 2sinAsinB=cos(A+B)cos(AB)
atau sinAsinB=12[cos(A+B)cos(AB)]

Dari dua rumus terakshir di atas jika A+B=f(x) maka kita peroleh :
*). cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
*). sin2pf(x)=12[1cos2pf(x)]

Untuk materi lebih lengkapnya, silahkan baca : "Rumus Perkalian, Penjumlahan, dan Pengurangan Trigonometri".
Contoh Soal :
3). Tentukan hasil integral fungsi trigonometri berikut ini :
a). sin5xcos2xdx
b). 4cos7xsin4xdx
c). 3cos(3x1)cos(2x+2)dx
d). cos23xdx
e). sin45xdx

Penyelesaian :
a). Gunakan rumus : sinAcosB=12[sin(A+B)+sin(AB)]
sin5xcos2xdx=12[sin(5x+2x)+sin(5x2x)]dx=12[sin(7x)+sin(3x)]dx=12[sin(7x)+sin(3x)]dx=12[17cos(7x)13cos(3x)]+c=114cos(7x)16cos(3x)+c

b). Gunakan rumus : cosAsinB=12[sin(A+B)sin(AB)]
4cos7xsin4xdx=4.12[sin(7x+4x)sin(7x4x)]dx=2[sin(11x)sin(3x)]dx=2[111cos(11x)(13cos(3x))+c=2[111cos(11x)+13cos(3x)+c=211cos(11x)+23cos(3x)+c

c). Gunakan rumus : cosAcosB=12[cos(A+B)+cos(AB)]
3cos(3x1)cos(2x+2)dx=3.12[cos((3x1)+(2x+2))+cos((3x1)(2x+2))]dx=32[cos(5x+1)+cos(x3)]dx=32[15sin(5x+1)+sin(x3)]+c=310sin(5x+1)+32sin(x3)+c

d). Gunakan rumus : cos2pf(x)=12[1+cos2pf(x)]
cos23xdx
cos23xdx=12[1+cos2.3x]dx=12[1+cos6x]dx=12[x+16sin6x]+c=12x+112sin6x+c

e). Gunakan rumus : sin2pf(x)=12[1cos2pf(x)]
sin45xdx=sin25xsin25xdx=(sin25x)2dx=(12[1cos2.5x])2dx=14[1cos10x]2dx=14[12cos10x+cos210x]dx=14[12cos10x+12[1+cos2.10x]]dx=14[12cos10x+12[1+cos20x]]dx=14[12cos10x+12+12cos20x]dx=14[x210sin10x+12x+12.120sin20x]+c=14[32x210sin10x+140sin20x]+c=38x240sin10x+1160sin20x]+c=38x120sin10x+1160sin20x]+c .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Integral Tak Tentu Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts