Contoh Soal dan Pembahasan Logaritma 2

Mr Math    September 17, 2014    logaritma   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Logaritma 2. Silakan disimak ya guys!
>

        Untuk mengerjakan soal-soal UK 1.3 ini, kita harus menguasai terlebih dahulu tentang sifat-sifat logaritma dengan baik dan benar. Logaritma tentu berkaitan erat dengan eksponen, logaritma dan eksponen saling berkebalikan.

         Pembahasan soal logaritma 2 ini kami sajikan sebagai bahan pertimbangan dalam menyelesaikan soal-soal logaritma yang ada pada buku kurikulum 2013 kelas X secara online. Jika ada kesalahan atau kekurangan dalam pembahasannya, mohon teman-teman untuk membantu mengkoreksinya dan memberikan masukan untuk memperbaikinya. Dengan mengerjakan kumpulan soal-soal logaritma uk 1.3 ini, harapannya siswa/siswi akan bisa lebih memperdalam konsep logaritma itu sendiri dengan baik dan benar.

         Soal-soal yang disajikan pada soal logaritma UK 1.3 kurikulum 2013 kelas x memang bervariasi dari yang paling mudah sampai yang paling sulit bahkan setingkat soal olimpiade. Semoga pembahasan pada artikel ini bisa membantu teman-teman dalam berlatih dan mengerjakan soal-soalnya.

         Berikut soal dan pembahasan soal logaritma UK 1.3 kurikulum 2013 kelas X.

Soal no. 1

Tuliskan dalam bentuk logaritma dari :

Gunakan definisi Logaritma : $a^c = b \Leftrightarrow {}^a \log b = c$
a). $5^3 = 125 \rightarrow {}^5 \log 125 = 3$
b). $10^2 = 100 \rightarrow {}^{10} \log 100 = 2$
c). $4^3 = 64 \rightarrow {}^{4} \log 64 = 3$
d). $6^1 = 6 \rightarrow {}^{6} \log 6 = 1$

Soal no. 2

Tuliskan dalam bentuk pangkat dari :

Gunakan definisi Logaritma : ${}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b$
a). $\log 0,01 = -2 \rightarrow {}^{10} \log 0,01 = -2 \rightarrow 10^{-2} = 0,01$
b). ${}^{0,5} \log 0,0625 = 4 \rightarrow 0,5^4 = 0,0625$
c). ${}^{2} \log \sqrt[3]{2} = \frac{1}{3} \rightarrow 2^\frac{1}{3} = \sqrt[3]{2}$
d). ${}^{3} \log \frac{1}{9} = -2 \rightarrow 3^{-2} = \frac{1}{9}$

Soal no. 3

Hitunglah nilai setiap bentuk :

Gunakan Sifat-sifat logaritma :
${}^a \log b^n = n. {}^a \log b \, \, \,$ dan $\, \, {}^a \log a = 1$
a). $\log 10^4 = {}^{10} \log 10^4 = 4 \times {}^{10} \log 10 = 4 \times 1 = 4$
b). ${}^5 \log 125 = {}^{5} \log 5^3 = 3 \times {}^{5} \log 5 = 3 \times 1 = 3$
c). ${}^3 \log \frac{1}{27} = {}^{3} \log 3^{-3} = -3 \times {}^{3} \log 3 = -3 \times 1 = -3$
d). ${}^2 \log 0,25 = {}^2 \log \frac{1}{4} = {}^{2} \log 2^{-2} = -2 \times {}^{2} \log 2 = -2 \times 1 = -2$
e). ${}^4 \log 4^{10} = 10 \times {}^{4} \log 4 = 10 \times 1 = 10$
f). ${}^5 \log 1 = 0$

Soal no. 4

Diketahui $\log 2 = 0,3010 ; \, \log 3 = 0,4771 \,$ dan $\, \log 7 = 0,8451 \,$ tentukan :

Gunakan Sifat-sifat logaritma :
${}^a \log b^n = n. {}^a \log b ; \, {}^a \log b.c = {}^a \log b + {}^a \log c$
dan $\, {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c$
a). $\log 18$
$\begin{align} \log 18 & = \log 2.3^2 = \log 2 + \log 3^2 \\ & = \log 2 + 2.\log 3 = 0,3010 + 2.(0,4771) \\ & = 0,3010 + 0,9542 = 1,2552 \end{align}$
b). $\log 21$
$\begin{align} \log 21 & = \log 3.7 = \log 3 + \log 7 \\ & = 0,4771 + 0,8451 = 1,3222 \end{align}$
c). $\log 10,5$
$\begin{align} \log 10,5 & = \log \frac{105}{10} = \log \frac{21}{2} = \log 21 - \log 2 \\ & = 1,3222 - 0,3010 = 1,0212 \end{align}$
d). $\log \frac{1}{7}$
$\begin{align} \log \frac{1}{7} & = \log 7^{-1} = -1 \times \log 7 \\ & = -1 \times 0,8451 = -0,8451 \end{align}$

Soal no. 5

Sederhanakanlah :

Gunakan Sifat-sifat logaritma :
${}^a \log b^n = n. {}^a \log b ; \, {}^a \log b.c = {}^a \log b + {}^a \log c$
dan $\, {}^a \log \frac{b}{c} = {}^a \log b - {}^a \log c$
a). $\frac{2}{3} \times {}^2 \log 64 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 16$
$\begin{align} \frac{2}{3} \times {}^2 \log 64 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 16 & = \frac{2}{3} \times {}^2 \log 2^6 - \frac{1}{2} \times {}^2 \log 2^4 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times {}^2 \log 2 - \frac{1}{2} \times 4 \times {}^2 \log 2 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times 1 - \frac{1}{2} \times 4 \times 1 \\ & = \frac{2}{3} \times 6 \times 1 - \frac{1}{2} \times 4 \times 1 \\ & = 4 - 2 = 2 \end{align}$
b). ${}^a \log 2x + 3({}^a \log x - {}^a \log y)$

Loading...

$\begin{align} {}^a \log 2x + 3({}^a \log x - {}^a \log y) & = {}^a \log 2x + 3({}^a \log \frac{x}{y}) \\ & = {}^a \log 2x + {}^a \log \left( \frac{x}{y} \right)^3 \\ & = {}^a \log 2x + {}^a \log \frac{x^3}{y^3} \\ & = {}^a \log \left( 2x \times \frac{x^3}{y^3} \right) \\ & = {}^a \log \frac{2x^4}{y^3} \end{align}$
c). ${}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}} - {}^a \log \sqrt{ax}$
$\begin{align} {}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}} - {}^a \log \sqrt{ax} & = {}^a \log \frac{\frac{a}{\sqrt{x}}}{\sqrt{ax}} \\ & = {}^a \log \frac{a}{\sqrt{x}.\sqrt{a}.\sqrt{x}} \\ & = {}^a \log \frac{a}{x\sqrt{a}} \\ & = {}^a \log \frac{\sqrt{a}}{x} \\ & = {}^a \log \sqrt{a} - {}^a \log x \\ & = {}^a \log a^\frac{1}{2} - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} \times {}^a \log a - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} \times 1 - {}^a \log x \\ & = \frac{1}{2} - {}^a \log x \end{align}$
d). $\log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \frac{1}{2} \log ab$
$\begin{align} \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \frac{1}{2} \log ab & = \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \log (ab)^\frac{1}{2} \\ & = \log \sqrt{a} + \log \sqrt{b} - \log \sqrt{ab} \\ & = \log \sqrt{a} . \sqrt{b} - \log \sqrt{ab} \\ & = \log \sqrt{ab} - \log \sqrt{ab} \\ & = 0 \end{align}$
Soal no. 6

Jika ${}^2 \log 3 = a \,$ dan $\, {}^3 \log 5 = b \,$ , nyatakan bentuk berikut dalam $a \,$ dan $b$ !

Gunakan Sifat-sifat logaritma : ${}^a \log b = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a}$
a). ${}^2 \log 15$
$\begin{align} {}^2 \log 15 & = \frac{\log 15 }{\log 2 } = \frac{{}^3 \log 15 }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.5) }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 5 }{{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{1 + b }{\frac{1}{a} } = a(1+b) = a + ab \end{align}$
b). ${}^4 \log 75$
$\begin{align} {}^4 \log 75 & = \frac{\log 75 }{\log 4 } = \frac{{}^3 \log 75 }{{}^3 \log 2^2 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.5^2) }{{}^3 \log 2^2 } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 5^2 }{2. {}^3 \log 2 } \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + 2.{}^3 \log 5 }{2.{}^3 \log 2 } \\ & = \frac{1 + 2b }{2.\frac{1}{a} } = \frac{(1+2b)a}{2} = \frac{a+2ab}{2} \end{align}$
c). ${}^{25} \log 36$
$\begin{align} {}^{25} \log 36 & = \frac{\log 36 }{\log 25 } = \frac{{}^3 \log 6^2 }{{}^3 \log 5^2 } = \frac{2. {}^3 \log 6 }{2.{}^3 \log 5} \\ & = \frac{{}^3 \log (3.2) }{{}^3 \log 5 } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 }{ {}^3 \log 5 } \\ & = \frac{1 + \frac{1}{a} }{b } = \frac{1 + \frac{1}{a} }{b } . \frac{a}{a} = \frac{a + 1 }{ab } \end{align}$
d). ${}^{2} \log 5$
$\begin{align} {}^{2} \log 5 & = \frac{\log 5 }{\log 2 } = \frac{{}^3 \log 5 }{{}^3 \log 2 } = \frac{b }{\frac{1}{a} } =ab \end{align}$
e). ${}^{30} \log 150$
$\begin{align} {}^{30} \log 150 & = \frac{\log 150 }{\log 30 } = \frac{{}^3 \log 150 }{{}^3 \log 30 } \\ & = \frac{{}^3 \log (3.2.5^2) }{{}^3 \log (3.2.5) } = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5^2 }{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5} \\ & = \frac{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + 2 . {}^3 \log 5 }{{}^3 \log 3 + {}^3 \log 2 + {}^3 \log 5} \\ & = \frac{1 + \frac{1}{a} + 2 . b }{1 + \frac{1}{a} + b} = \frac{1 + \frac{1}{a} + 2 b }{1 + \frac{1}{a} + b} . \frac{a}{a} = \frac{a + 1 + 2ab }{a + 1 + ab} \end{align}$
f). ${}^{100} \log 50$
$\begin{align} {}^{100} \log 50 & = \frac{\log 50 }{\log 100 } = \frac{{}^3 \log (2 . 5^2) }{{}^3 \log (2^2 . 5^2)} \\ & = \frac{{}^3 \log 2 + {}^3 \log 5^2 }{ {}^3 \log 2^2 + {}^3 \log 5^2 } = \frac{{}^3 \log 2 + 2. {}^3 \log 5 }{ 2.{}^3 \log 2 + 2.{}^3 \log 5 } \\ & = \frac{\frac{1}{a} + 2. b }{ 2.\frac{1}{a} + 2.b } = \frac{\frac{1}{a} + 2b }{ 2.\frac{1}{a} + 2b } . \frac{a}{a} = \frac{1 + 2ab}{2 + 2ab} \end{align}$

Soal no. 7

Jika $b = a^4, \, a \,$ dan $b \,$ bilangan real positif, $a \neq 1, b \neq 1 , \,$ tentukan nilai ${}^a \log b - {}^b \log a !$

Gunakan sifat : ${{}^a}^m \log {b}^n = \frac{n}{m} {}^a \log b$
Substitusi bentuk $b = a^4$
$\begin{align} {}^a \log b - {}^b \log a & = {}^a \log a^4 - {{}^a}^4 \log a^1 \\ & = 4 . {}^a \log a - \frac{1}{4} . {}^a \log a \\ & = 4 . 1 - \frac{1}{4} . 1 = 4 - \frac{1}{4} = 3\frac{3}{4} \end{align}$
Jadi, nilai ${}^a \log b - {}^b \log a = 3\frac{3}{4} . \heartsuit$

Soal no. 8

Jika ${}^a \log b = 4 , \, {}^c \log b = 4 \,$ dan $a, b, c \,$ bilangan positif, $a , c \neq 1, \,$ tentukan nilai $\left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} !$

Gunakan sifat : ${}^a \log {b} = \frac{{}^p \log b}{{}^p \log a}$
$\begin{align} \left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} & = \left[ 4.{}^a \log (bc) \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{{}^b \log ab}{{}^b \log a} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{{}^b \log a + {}^b \log b}{{}^b \log a} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{\frac{1}{4} + 1}{\frac{1}{4}} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.\frac{\frac{5}{4} }{\frac{1}{4}} \right]^\frac{1}{2} \\ & = \left[ 4.5 \right]^\frac{1}{2} \\ & = 4^\frac{1}{2}.5^\frac{1}{2} = 2 \sqrt{5} \end{align}$
Jadi, nilai $\left[ {}^a \log (bc)^4 \right]^\frac{1}{2} = 2 \sqrt{5} . \heartsuit$

Soal no. 9

Buktikan $\log 1 = 0 \,$ dan $\log 10 = 1$ !

Definisi logaritma : ${}^a \log b = c \Leftrightarrow a^c = b$
Kita membuktikan berdasarkan definisi logaritma di atas :
$\begin{align} \log 1 = 0 \rightarrow {}^{10} \log 1 & = 0 \\ 10^0 & = 1 \\ \log 10 = 1 \rightarrow {}^{10} \log 10 & = 1 \\ 10^1 & = 10 \end{align}$
Jadi, berdasarkan definisi logaritma, terbukti yang diinginkan. $\heartsuit$

.

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Logaritma 2. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...