Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat

Mr Math    Juni 26, 2014    persamaan kuadrat   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat. Silakan disimak ya guys!
>

         Persamaan Kuadrat (PK) $ax^2 + bx + c = 0 \,$ secara umum mempunyai dua akar, misalkan $x_1 \,$ dan $x_2$ . Operasi akar-akar yang dimaksud adalah operasi penjumlahan $(x_1+x_2)$, perkalian $(x_1.x_2)$, dan pengurangan $(x_1-x_2)$. Kalau secara konsep, untuk menentukan hasil jumlah, perkalian, dan pengurangan akar-akarnya kita harus menentukan nilai akar-akarnya terlebih dahulu misalnya dengan menggunakan pemfaktoran atau kuadrat sempurna atau rumus ABC, setelah itu baru kita tentukan operasi akar-akarnya. Hanya saja jika kita menentukan akar-akarnya dulu, maka butuh waktu lama, sehingga dengan rumus operasi akar-akar yang ada akan lebih mudah dan cepat.
Berikut operasi akar-akarnya :

(i). $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a}$
(ii). $x_1 . x_2 = \frac{c}{a}$
(iii). $x_1 - x_2 = \pm \frac{\sqrt{D}}{a}$
dengan $D = b^2 - 4ac$

         Untuk beberapa soal persamaan kuadrat, operasi akar-akar ketiga rumus di atas belum cukup karena rumus tersebut hanya untuk akar-akar pangkat satu. Ini artinya kita butuh beberapa rumus bantu agar mudah dalam menyelesaikan soal-soal yang ada.
Beberapa rumus bantu yang berguna :

1. Jumlah kuadrat : $x_1^2+x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2$
2. Kuadrat jumlah : $(x_1+x_2)^2$
3. Selisih kuadrat : $x_1^2 - x_2^2 = (x_1 + x_2)(x_1 - x_2)$
4. Kuadrat selisih : $(x_1 - x_2 )^2$
5. Jumlah pangkat tiga :
$x_1^3 + x_2^3 = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2)$
6. Selisih pangkat tiga :
$x_1^3 - x_2^3 = (x_1-x_3)^3+3x_1x_2(x_1-x_2)$
7. Jumlah pangkat empat : $x_1^4 + x_2^4 = (x_1^2 + x_2^2)^2 - 2(x_1x_2)^2$
8. Selisih pangkat empat : $x_1^4 - x_2^4 = (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)$

         Tentu masih kurang rasanya jika hanya disediakan rumus-rumus seperti di atas. Ada baiknya kita lihat contoh-contoh soalnya berikut.

Contoh 1.

Persamaan kuadrat $x^2 - 3x -7 = 0 \,$ memiliki akar-akar $x_1 \,$ dan $x_2 \,$ . Tentukan nilai dari :
a. $x_1 + x_2 \, \, \,$ b. $x_1^3 + x_2^3$

Penyelesaian :
Jika kita menentukan akar-akarnya terlebih dahulu, maka akan sulit. Hal ini karena PK $x^2 - 3x -7 = 0 \,$ sulit untuk difaktorkan. Sehingga kita langsung menggunakan operasi akar-akarnya.
$\spadesuit \,$ PK $x^2 - 3x -7 = 0 \rightarrow a = 1, \, b = -3, \, c = -7$
a. $x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3 \,$
sehingga nilai $x_1 + x_2 = 3$
b. $x_1^3 + x_2^3$
$\begin{align} x_1^3 + x_2^3 & = (x_1+x_3)^3-3x_1x_2(x_1+x_2) \\ & = (\frac{-b}{a})^3-3.\frac{c}{a}.(\frac{-b}{a}) \\ & = (\frac{-(-3)}{1})^3-3.\frac{-7}{1}.(\frac{-(-3)}{1}) \\ & = (3)^3-3.(-7).(3) \\ & = 27 + 63 = 90 \end{align}$

Loading...

sehingga nilai $x_1^3 + x_2^3 = 90$

Contoh 2.

Persamaan kuadrat $x^2 +px +q = 0 \,$ memiliki akar-akar $x_1 \,$ dan $x_2 \,$ . Tentukan nilai dari jumlah kuadrat akar-akar dikalikan dengan selisih kuadrat akar-akarnya?

Penyelesaian :
$\spadesuit \,$ PK $x^2 +px +q = 0 \rightarrow a = 1, \, b = p, \, c = q$
yang ditanyakan adalah $(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2)$
$\spadesuit \,$ Menyelesaiakan soalnya
$\begin{align} & (x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) \\ & = [(x_1 + x_2)^2 - 2x_1.x_2].[(x_1 + x_2)(x_1 - x_2)] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{D}}{a})] \\ & = [(\frac{-b}{a})^2 - 2.\frac{c}{a}].[(\frac{-b}{a})(\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a})] \\ & = [(\frac{-p}{1})^2 - 2.\frac{q}{1}].[(\frac{-p}{1})(\pm \frac{\sqrt{p^2-4.1.q}}{1})] \\ & = [p^2 - 2q].[(-p)(\pm \sqrt{p^2-4q})] \\ & = (2pq-p^3).(\pm \sqrt{p^2-4q}) \\ & = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3) \end{align}$
Jadi, nilai $(x_1^2+x_2^2)(x_1^2-x_2^2) = (\pm \sqrt{p^2-4q}) (2pq-p^3)$

Contoh 3.

Jika jumlah akar-akar PK $x^2 - px +5 =0 \,$ sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK $x^2 - 3x + (p+2) = 0 \,$ . Tentukan nilai $p \,$ yang memenuhi kasus ini?

Penyelesaian :
$\spadesuit \,$ PK1 $x^2 - px +5 =0 \,$ misalkan akar-akarnya $x_1 \,$ dan $x_2$
$x_1 + x_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-p)}{1} = p$
$\spadesuit \,$ PK2 $x^2 - 3x + (p+2) = 0 \,$ misalkan akar-akarnya $y_1 \,$ dan $y_2$
$y_1 + y_2 = \frac{-b}{a} = \frac{-(-3)}{1} = 3$
$y_1 . y_2 = \frac{c}{a} = \frac{p+2}{1} = p+2$
$\spadesuit \,$ Jumlah akar-akar PK1 sama dengan jumlah kebalikan akar-akar PK2, dapat ditulis : $x_1 + x_2 = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2}$
$\spadesuit \,$ Menentukan nilai $p$
$\begin{align} x_1 + x_2 & = \frac{1}{y_1} + \frac{1}{y_2} \\ x_1 + x_2 & = \frac{y_1 + y_2}{y_1.y_2} \\ p & = \frac{3}{p+2} \\ p (p+2) & = 3 \\ p^2 + 2p - 3& = 0 \\ (p+3)(p-1) & = 0 \\ p = -3 \vee p & = 1 \end{align}$
Jadi, nilai $p \,$ yang memenuhi adalah $p = -3 \vee p = 1$ .

         Operasi akar-akar ini nantinya juga akan berguna dalam menentukan sifat-sifat akar yang akan dibahas pada artikel selanjutnya. Operasi akar-akar persamaan kuadrat sangat berguna karena kita tidak perlu mencari akar-akarnya terlebih dahulu. Untuk membuktikan kebenaran rumus operasi akar-akar, kita bisa menggunakan rumus ABC dimana $x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} \,$ dan $\, x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} \,$, pasti hasilnya akan sesuai dengan rumus di atas yang sudah kita pelajari sebelumnya dan sudah kita aplikasikan ke beberapa contoh soal.

         Selain untuk sifat-sifat akar, operasi akar-akar juga akan sangat berguna untuk materi "menyusun persamaan kuadrat".Jadi, meskipun sudah lewat materi ini, tetap harus diingat karena akan tetap kita gunakan lagi.

Sebenarnya operasi akar-akar suatu persamaan tidak hanya sebatas pada persamaan kuadrat, akan tetapi juga berlaku untuk operasi akar-akar persamaan suku banyak (polinomial) yang tentu pangkatnya lebih dari dua (bisa berderajat 3, berderajat 4, dan seterusnya). .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Operasi Akar-akar Persamaan Kuadrat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...