Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat (PK). Silakan disimak ya guys!
>
Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC
Untuk teknik pemfaktoran PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $ a \, $ yaitu nilai $ a = 1 \, $ dan $ a \neq 1 $
atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (ax+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + aq = b \, $ dan $ p.q = c $
Sifat yang digunakan :
Catatan : nilai $ D = b^2-4ac \, $ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.
Contoh
Akar-akar persamaan kuadrat sangat penting dalam materi persamaan kuadrat karena setelah kita mengenal bentuk umum persamaan kuadrat maka kita akan melanjutkan dengan menentukan akar-akarnya. Biasanya akar-akar yang dipelajari adalah sebatas akar-akar bilangan real untuk tingkat SMP dan SMA, semetara akar-akar tidak real (imajiner) hanya sebatas syaratnya saja (tidak sampai menentukan akar-akar imajinernya).
Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat (PK). Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Loading...
Persamaan Kuadrat (PK) $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ memiliki variabel/peubah $ x \, $ (nilai $ x \, $ bisa diganti atau disubstitusikan dengan sembarang nilai), nilai $ x \, $ yang menyebabkan nilai dari PK $ ax^2 + bx + c \, $ sama dengan nol disebut sebagai akar-akar atau penyelesaian dari persamaan kuadrat tersebut dengan $ x \, $ merupakan suatu bilangan real. Setiap persamaan kuadrat biasanya memiliki akar paling banyak dua (karena pangkat dua), ini artinya persamaan kuadrat juga bisa saja tidak memiliki akar (maksudnya akar-akarnya tidak real).
Contoh 1.
PK : $ x^2 -3x-10=0 \, $ memiliki akar-akar $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $, karena kedua nilai $ x \, $ tersebut menyebabkan nilai dari $ x^2 -3x-10 \, $ sama dengan nol. Cekla kebenarannya!
Penyelesaian :
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x \, $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Untuk mengetahui kebenarannya, langsung saja kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ ke PK nya :
$\begin{align} x=-2 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (-2)^2 -3.(-2)-10 \\ & = 4 + 6 - 10 \\ & = 0 \\ x=5 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (5)^2 -3.5-10 \\ & = 25 -15- 10 \\ & = 0 \end{align}$
Setelah kita substitusikan nilai $ x = -2 \, $ dan $ x = 5 \, $ , ternyata hasilnya benar sama dengan nol, artinya kedua nilai $ x \, $ tersebut adalah benar akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Contoh 2.
Bagaimana sobat, sudah mengertikan apa itu yang dimaksud dengan akar-akar atau penyelesaian dari suatu persamaan? Mudah-mudahan sudah ya sobat. Selanjutnya kita akan membahas tentang cara menentukan akar-akar dari persamaan kuadrat. Apakah $ x = 1 \, $ merupakan akar-akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 \, $ ?
Penyelesaian :
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 \, $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Langsung kita substitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PK nya
$\begin{align} x=1 \rightarrow x^2 -3x-10 & = (1)^2 -3.1-10 \\ & = 1-3 - 10 \\ & = -12 \\ \end{align}$
Setelah disubstitusi nilai $ x = 1 \, $ ke PKnya, ternyata hasilnya tidak nol, itu artinya $ x = 1 \, $ bukan akar dari PK $ x^2 -3x-10=0 $ .
Menentukan akar - akar PK
Untuk menentukan akar-akar suatu persamaan kuadrat, kita tidak mungkin akan mensubstitusikan satu-satu nilai $ x \, $ sehingga diperoleh sama dengan nol. Ada tiga cara menentukan akar-akar suatu PK yaitu :
1). Pemfaktoran
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
3). Rumus ABC
1). Pemfaktoran
Dalam pemfaktoran digunakan sifat perkalian berikut : Jika $ ab=0 \, $ , maka $ a = 0 \, $ atau $ b = 0 $
Untuk teknik pemfaktoran PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dibagi menjadi dua berdasarkan nilai $ a \, $ yaitu nilai $ a = 1 \, $ dan $ a \neq 1 $
(i). Kasus pertama : nilai $ a = 1 $
PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (x+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + q = b \, $ dan $ p.q = c $ Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ x^2-2x-8=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 \, $ atau $ x = 4 \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ x^2-2x-8=0 \rightarrow a = 1, \, b = -2, \, c = -8 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -2 \\ p.q = -8 \end{array} \right\} \, p=2 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = -4 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} x^2-2x-8 & = 0 \\ (x+p)(x+q) & = 0 \\ (x+2)(x+(-4)) & = 0 \\ (x+2)(x-4) & = 0 \\ (x+2)=0 \rightarrow x & = -2 \\ (x-4) = 0 \rightarrow x & = 4 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = -2 \, $ atau $ x = 4 \heartsuit $
(ii). Kasus kedua : nilai $ a \neq 1 $
*). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + q = b \, $ dan $ p.q = ac $ atau cara yang kedua (caranya hampir mirip) :
**). PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat difaktorkan menjadi $ (ax+p)(x+q) = 0 \, $ dengan syarat $ p \, $ dan $ q \, $ memenuhi : $ p + aq = b \, $ dan $ p.q = c $
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - x -10 =0 \, $ ?
Penyelesaian : cara I :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+q = -1 \\ p.q = 2.(-10) = -20 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 4 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ a(x+\frac{p}{a})(x+\frac{q}{a}) & = 0 \\ 2(x+\frac{-5}{2})(x+\frac{4}{2}) & = 0 \\ 2(x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5}{2})(x+2) & = 0 \\ (x-\frac{5})=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
Penyelesaian : cara II:
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - x -10 = 0 \rightarrow a = 2, \, b = -1, \, c = -10 $
$ \left. \begin{array}{c} p+aq = -1 \rightarrow p+2q=-1 \\ p.q = -10 \end{array} \right\} \, p=-5 , \, \, \text{ dan } \, \, \, q = 2 $
$\spadesuit \, $ sehingga pemfaktorannya : $ (ax+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 2x^2 - x -10 & = 0 \\ (ax+p)(x+q) & = 0 \\ (2x-5)(x+2) & = 0 \\ (2x-5)=0 \rightarrow x & = \frac{5}{2} \\ (x+2) = 0 \rightarrow x & = -2 \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5}{2} \, $ atau $ x = -2 \heartsuit $
2). Melengkapkan bentuk kuadrat sempurna
Melengkapkan kuadrat sempurna artinya mengubah bentuk $ ax^2 + bx + c = 0 \, $ menjadi bentuk kuadrat sempurna yaitu $ (x+p)^2 = q \, $ dengan $ q \geq 0 $ . Cara ini dipakai bila persamaan kuadrat sulit difaktorkan. Sifat yang digunakan :
$x^2+px=(x+\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \, $ dan $ x^2-px=(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 $
catatan : Nilai $ a \, $ harus dibuat sama dengan 1 terlebih dulu dengan cara dibagi. Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 3x^2-6x+1=0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\clubsuit \,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \, $ atau $ x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit $
$\clubsuit \,$ PK $ 3x^2-6x+1=0 \rightarrow a = 3 , \, b = -6, \, c = 1 $
$\clubsuit \,$ sehingga pemfaktorannya : $ (x+p)(x+q) = 0 $
$\begin{align} 3x^2-6x+1 & =0 \, \, \, \, \text{(pindahkan c = 1 ke ruas kanan)} \\ 3x^2-6x & = -1 \, \, \, \, \text{(bagi 3 agar a = 1 )} \\ x^2-2x & = \frac{-1}{3} \\ & \left[ \text{gunakan } x^2-px =(x-\frac{p}{2})^2 - (\frac{p}{2})^2 \right] \\ (x-\frac{2}{2})^2 - (\frac{2}{2})^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - (1)^2 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 - 1 & = \frac{-1}{3} \\ (x-1)^2 & = \frac{-1}{3} + 1 \\ (x-1)^2 & = \frac{2}{3} \\ (x-1) & = \pm \sqrt{\frac{2}{3} } \\ x & = 1 \pm \sqrt{\frac{2}{3} } = 1 \pm \frac{1}{3}\sqrt{6} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = 1 + \frac{1}{3}\sqrt{6} \, $ atau $ x = 1 - \frac{1}{3}\sqrt{6} \heartsuit $
3). Rumus ABC
Penyelesaian PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ dapat diselesaikan dengan rumus ABC : Rumus ABC : $ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} $
Rumus ABC ini dapat digunakan untuk semua jenis pertidaksamaan yang akar-akarnya real. Catatan : nilai $ D = b^2-4ac \, $ disebut nilai Diskriminan ($D$) dari PK $ ax^2 +bx + c = 0 \, $ yang digunakan untuk menentukan jenis-jenis akarnya.
Untuk pembuktian rumus ABC ini, dapat menggunakan cara kedua yaitu dengan melengkapkan kuadrat sempurna. Jika sobat tertarik untuk melihat pembuktiannya, silahkan klik link ini : Cara pembuktian Rumus ABC dengan kuadrat sempurna.
Contoh
Tentukan akar-akar dari Persamaan kuadrat $ 2x^2 - 5x -1 =0 \, $ ?
Penyelesaian :
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, $ atau $ x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit $
$\spadesuit \, $ PK $ 2x^2 - 5x -1 =0 \rightarrow a = 2, \, b = -5, \, c = -1 $
$\spadesuit \, $ Dengan rusmus ABC
$\begin{align} x & = \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ x & = \frac{-(-5) \pm \sqrt{(-5)^2-4.2.(-1)}}{2.2} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{25+8}}{4} \\ x & = \frac{5 \pm \sqrt{33}}{4} \\ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, \text{ atau } \, & \, \, x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \end{align}$
Jadi, akar-akarnya adalah $ x = \frac{5 + \sqrt{33}}{4} \, $ atau $ x = \frac{5 - \sqrt{33}}{4} \heartsuit $
Tapi kita tidak cukup hanya tahu tentang cara menetukan akar-akarnya, karena terkadang soal-soal tertentu sudah diketahui operasi akar-akarnya dan sudah diketahui jenis-jenis akarnya. Artinya tidak cukup bagi kita hanya sebatas bisa mencari akar-akarnya saja, tapi harus lebih dari itu. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Menentukan Akar - Akar Persamaan Kuadrat (PK). Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...