Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Persamaan kuadrat ax2+bx+c=0 secara umum mempunyai dua akar yaitu x1 dan x2 . Tentu dari kedua akar-akar ini memiliki sifat-sifat tertentu, misalkan keduanya positif, keduanya negatif, berlainan tanda, berlawanan tanda, atau mungkin berkebalikan. Sifat-sifat akar persamaan kuadrat ini lah yang akan dibahas pada artikel ini, yang lebih khusus lagi tentang syarat-syarat yang harus terpenuhi sesuai dengan sifat masing-masing yang ada.
Sifat-sifat akar persamaan kuadrat sangat penting harus kita kuasai untuk materi persamaan kuadrat karena biasanya baik untuk soal Ujian Nasional maupun tes seleksi masuk perguruan tinggi sering keluar soal-soalnya. Untuk lebih jelasnya, silahkan simak materinya berikut ini.
Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :
Dari setiap sifat-sifat akar di atas, masing-masing terdapat beberapa syarat, semua syarat harus diiriskan dari masing-masing sifat yang ada (solusinya harus memenuhi semua syarat). Untuk lebih jelas, silahkan pelajari contoh-contoh soal berikut.
Adapun sifat akar-akar persamaan kuadrat yaitu :
(i). Akar-akar positif (x1>0 dan x2>0 )
Syaratnya : (1). x1+x2>0 (2). x1.x2>0 (3). D≥0
(ii). Akar-akar positif berlainan (x1>0,x2>0 dan x1≠x2 )
Syaratnya : (1). x1+x2>0 (2). x1.x2>0 (3). D>0
(iii). Akar-akar negatif (x1<0 dan x2<0 )
Syaratnya : (1). x1+x2<0 (2). x1.x2>0 (3). D≥0
(iv). Akar-akar negatif berlainan (x1<0,x2<0 dan x1≠x2 )
Syaratnya : (1). x1+x2<0 (2). x1.x2>0 (3). D>0
(v). Akar-akar berlainan tanda (x1>0 dan x2<0 atau
x1<0 dan x2>0)
Syaratnya : (1). x1.x2<0 (2). D>0
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( x1=−x2 atau x2=−x1 )
Syaratnya : (1). x1+x2=0 (2). x1.x2<0 (3). D>0
(vii). Akar-akar berkebalikan ( x1=1x2 atau x2=1x1 )
Syaratnya : (1). x1.x2=1 (2). D>0
Syaratnya : (1). x1+x2>0 (2). x1.x2>0 (3). D≥0
(ii). Akar-akar positif berlainan (x1>0,x2>0 dan x1≠x2 )
Syaratnya : (1). x1+x2>0 (2). x1.x2>0 (3). D>0
(iii). Akar-akar negatif (x1<0 dan x2<0 )
Syaratnya : (1). x1+x2<0 (2). x1.x2>0 (3). D≥0
(iv). Akar-akar negatif berlainan (x1<0,x2<0 dan x1≠x2 )
Syaratnya : (1). x1+x2<0 (2). x1.x2>0 (3). D>0
(v). Akar-akar berlainan tanda (x1>0 dan x2<0 atau
x1<0 dan x2>0)
Syaratnya : (1). x1.x2<0 (2). D>0
(vi). Akar-akar berlawanan tanda ( x1=−x2 atau x2=−x1 )
Syaratnya : (1). x1+x2=0 (2). x1.x2<0 (3). D>0
(vii). Akar-akar berkebalikan ( x1=1x2 atau x2=1x1 )
Syaratnya : (1). x1.x2=1 (2). D>0
Contoh 1.
Persamaan kuadrat x2−2x+m−1=0 mempunyai dua akar positif berlainan, tentukan interval nilai m yang memenuhi ?
Penyelesaian :
♣ PK x2−2x+m−1=0→a=1,b=−2,c=m−1
♣ Syarat akar-akar positif berlainan
♣ PK x2−2x+m−1=0→a=1,b=−2,c=m−1
♣ Syarat akar-akar positif berlainan
Loading...
(1). x1+x2>0→−ba>0→−(−2)1>0→2>0 (benar)
(2). x1.x2>0→ca>0→m−11>0→m>1 (HP1)
(3). D>0
b2−4ac>0(−2)2−4.1.(m−1)>04−4(m−1)>04−4m+4>0−4m>−8(bagi -4, tanda dibalik)m<2(HP2)
Nilai m yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat :
Sehingga solusinya : HP = HP1∩HP2={1<m<2}
Jadi, interval nilai m yang memenuhi adalah {1<m<2}.♡
Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar bisa terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang mudah dulu yaitu untuk penjumlahannya dan operasi perkaliannya, setelah itu baru kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit. .
(2). x1.x2>0→ca>0→m−11>0→m>1 (HP1)
(3). D>0
b2−4ac>0(−2)2−4.1.(m−1)>04−4(m−1)>04−4m+4>0−4m>−8(bagi -4, tanda dibalik)m<2(HP2)
Nilai m yang memenuhi adalah irisan dari semua syarat :
Sehingga solusinya : HP = HP1∩HP2={1<m<2}
Jadi, interval nilai m yang memenuhi adalah {1<m<2}.♡
Contoh 2.
Jika Persamaan kuadrat (2p−1)x2−5x+3p−2=0 mempunyai akar-akar berkebalikan, tentukan nilai p yang memenuhi?
Penyelesaian :
♠ PK (2p−1)x2−5x+3p−2=0
→a=2p−1,b=−5,c=3p−2
♠ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). x1.x2=1 (2). D>0
*). Syarat pertama : x1.x2=1
x1.x2=1ca=1c=a3p−2=2p−1p=1
Sehingga PK nya menjadi :
(2p−1)x2−5x+3p−2=0
(2.1−1)x2−5x+3.1−7=0
x2−5x+1=0
*). Cek syarat kedua : D>0
D=b2−4ac=(−5)2−4.1.1=25−4=21>0 (benar)
Karena nilai p=1 memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah p=1
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p=1.♡
Catatan : Jika setelah nilai p=1 disubstitusikan ke PK dan nilai D nya tidak lebih dari nol, maka p=1 bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.
♠ PK (2p−1)x2−5x+3p−2=0
→a=2p−1,b=−5,c=3p−2
♠ Syarat akar-akar berkebalikan : (1). x1.x2=1 (2). D>0
*). Syarat pertama : x1.x2=1
x1.x2=1ca=1c=a3p−2=2p−1p=1
Sehingga PK nya menjadi :
(2p−1)x2−5x+3p−2=0
(2.1−1)x2−5x+3.1−7=0
x2−5x+1=0
*). Cek syarat kedua : D>0
D=b2−4ac=(−5)2−4.1.1=25−4=21>0 (benar)
Karena nilai p=1 memenuhi kedua syarat, maka solusinya adalah p=1
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah p=1.♡
Catatan : Jika setelah nilai p=1 disubstitusikan ke PK dan nilai D nya tidak lebih dari nol, maka p=1 bukanlah sebagai solusi, artinya tidak ada solusi yang memenuhi.
Contoh 3.
Demikian untuk penjelasan tentang sifat-sifat akar persamaan kuadrat. Sifat-sifat akar ini paling sering keluar pada ujian seleksi masuk perguruan tinggi dan pada soal-soal Ujian Nasional. Dari semua sifat-sifat akar persamaan kuadrat yang ada, sifat berkelabikan akar yang paling mudah kita ingat dan mudah untuk mengerjakan soalnya. Persamaan kuadrat 2x2−(p3+2p2−3p−4)x+7=0 mempunyai dua akar berlawanan. Jika akar-akar PK tersebut adalah x1 dan x2 , maka nilai x21+x22 adalah .... ?
Penyelesaian :
♣ PK 2x2−(p3+2p2−3p−4)x+7=0
a=2,b=−(p3+2p2−3p−4),c=7
♣ Syarat akar-akar berlawanan : x1+x2=0
♣ Menentukan nilai x21+x22 , dengan operasi akar-akar
x21+x22=(x1+x2)2−2x1.x2=(0)2−2.ca=0−2.72=0−7x21+x22=7
Jadi, nilai x21+x22=7.♡
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai p nya dulu.
♣ PK 2x2−(p3+2p2−3p−4)x+7=0
a=2,b=−(p3+2p2−3p−4),c=7
♣ Syarat akar-akar berlawanan : x1+x2=0
♣ Menentukan nilai x21+x22 , dengan operasi akar-akar
x21+x22=(x1+x2)2−2x1.x2=(0)2−2.ca=0−2.72=0−7x21+x22=7
Jadi, nilai x21+x22=7.♡
Catatan : Pada penyelesaian ini kita tidak perlu menentukan nilai p nya dulu.
Dari syarat-syarat untuk masing-masing sifat akar, penting bagi kita untuk mengingat bahwa semua syarat harus terpenuhi. Agar bisa terpenuhi, maka kita harus mengiriskan semua syarat yang ada. Usahakan mengerjakan syarat yang mudah dulu yaitu untuk penjumlahannya dan operasi perkaliannya, setelah itu baru kita cari syarat nilai diskriminannya yang notabene lebih ribet dan sulit. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Sifat-sifat Akar Persamaan Kuadrat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...
