Cara Mencari dari sin 6 dan 12 derajat

Mr Math    Mei 01, 2014    trigonometri   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Cara Mencari dari sin 6 dan 12 derajat. Silakan disimak ya guys!
>

         Hay teman-teman, bagaimana kabarnya? Mudah-mudahan baik-baik saja. Pada artikel ini kita akan melanjutkan membahas nilai trigonometri untuk sudut-sudut bukan istimewa yaitu khusus sudut 6 derajat dan 12 derajat . Nilai trigonometri yang akan kita bahas adalah Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, kita membutuhkan materi rumus dasar trigonometri dan nilai dari sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Kemudian untuk menghitung nilai sin 12 derajat, kita akan membutuhkan nilai dari sin 6 derajat dan cos 6 derajat, artinya selain menghitung nilai sin 6 derajat juga harus menghitung nilai cos 6 derajat.

         Rumus dasar trigonometri yang digunakan untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat yaitu rumus trigonometri sudut ganda dan identitas trigonometri. Untuk menghitung nilai sin 6 derajat , kita butuh pengetahun tentang perkalian bentuk akar, karena kita menghitung nilai sin 6 derajat berdasarkan nilai sin 3 derajat dan cos 3 derajat. Untuk lebih lengkapnya, mari kita lihat pembahasannya berikut ini.

Rumus Dasar Trigonmetri yang digunakan

$\spadesuit \,$ Rumus trigonometri sudut ganda
$\sin 2A = 2 \sin A \cos A$
$\cos 2A = 2\cos ^2 A - 1$
$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$

$\clubsuit \,$ Identitas trigonmetri
$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos A = \sqrt{1 - \sin ^2 A}$
$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin A = \sqrt{1 - \cos ^2 A}$

Sebelumnya kita telah menemukan nilai sin dan cos 3 derajat pada materi "Menentukan nilai sin 3 dan 9 derajat" yaitu :
$\sin 3^\circ = \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$
$\cos 3^\circ = \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right)$

Nilai sin 6 derajat dan sin 12 derajat

$\sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2]$
$\sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } }$

Menentukan Nilai Eksak sin 6 dan 12 derajat :

*). Menentukan nilai sin 6 derajat,

Loading...

$\begin{align} & \sin 6^\circ = \sin 2 \times 3^\circ \\ & = 2 \sin 3^\circ \cos 3^\circ \\ & = 2 \times \frac{1}{8}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \frac{1}{8}\left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{32}\left( (-1 + \sqrt{5}). \sqrt{2 + \sqrt{3}} - \sqrt{10 + 2\sqrt{5}} . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & \times \left( \sqrt{10 + 2\sqrt{5} }. \sqrt{2 + \sqrt{3}} + (-1 + \sqrt{5}) . \sqrt{2 - \sqrt{3}} \right) \\ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 6^\circ = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2]$

*). Menentukan nilai cos 6 derajat,
$\begin{align} \sin 6^\circ & = \frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \sin ^2 6^\circ & = [\frac{1}{16}(-1 + \sqrt{5})[ \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } + 2] ]^2 \\ & = \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \cos 6^\circ & = \sqrt{1 - \sin ^2 6^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{32}( 18 - 4\sqrt{5} + (3-\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 6^\circ = \frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) }$

*). Menentukan nilai cos 12 derajat,
$\begin{align} & \cos 2A = 2\cos ^2 A - 1 \\ & \cos 12^\circ = \cos 2 \times 6^\circ = 2\cos ^2 6^\circ - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = 2 [\frac{1}{4} \sqrt{ 7 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } ]^2 - 1 \\ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 12^\circ = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } )$

*). Menentukan nilai sin 12 derajat,
$\begin{align} \cos 12^\circ & = \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 12^\circ & = [ \frac{1}{8} ( -1 + 2\sqrt{5} + \frac{1}{2} (-3+\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) ]^2 \\ & = \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ \sin A & = \sqrt{1 - \cos ^2 A} \\ \sin 12^\circ & = \sqrt{1 - \cos ^2 12^\circ} \\ & = \sqrt{1 - \frac{1}{64} ( 81 - 28\sqrt{5} + (13 - 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } ) } \\ & = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } } \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 12^\circ = \frac{1}{8} \sqrt{ -17 + 28\sqrt{5} + (-13 + 7\sqrt{5}) \sqrt{30 + 6\sqrt{5} } }$

       Sebenarnya untuk mengaplikasikan rumus dasar trigonometri tidaklah sulit untuk menentukan Nilai Eksak dari sin 6 dan 12 derajat. Hanya saja menurut saya, perhitungan bentuk akarnya yang menyulitkan dan tentu menjenuhkan untuk kita selesaikan. Karena melibatkan banyak bentuk akar, mohon koreksi dari teman-teman yang lagi membaca artikel ini, mungkin saja ada kesalahan dalam penghitungannya. Semoga materi ini bermanfaat . .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Cara Mencari dari sin 6 dan 12 derajat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...