Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi

Mr Math    November 06, 2014    trigonometri   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi. Silakan disimak ya guys!
>

         Materi berikut yang akan kita pelajari adalah Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi. Maksudnya sudut-sudut berelasi disini adalah hubungan nilai perbandingan trigonometri dengan besar sudut ada pada kuadran II, kuadran III, kuadran IV, dan sudut yang besarnya di atas $360^\circ$. Materi Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi ini sangat penting karena tidak semua sudut yang ada pada kuadran-kuadran nilai trigonometrinya kita hafalkan, akan tetapi kita cukup mengingat nilai trigonometri untuk sudut-sudut pada kuadran I. Baca juga materi yang berkaitan yaitu "Ukuran Sudut : Derajat, Radian, dan Putaran", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran".

Nilai Perbandingan Trigonometri Sudut istimewa pada kuadran I

       Sudut-sudut istimewa yang ada pada kuadran I yang dimaksud adalah $0^\circ , \, 30^\circ, \, 45^\circ, \, 60^\circ, \,$ dan $90^\circ$.
Berikut tabel nilai perbandingan trigonometri untuk sin, cos, dan tan,

Penjelasan tabel di atas :
Nilai-nilai perbandingan trigonometrinya adalah ,
$\sin 0^\circ = 0 , \sin 30^\circ = \frac{1}{2}, \sin 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \sin 90^\circ = 1$
$\cos 0^\circ = 1 , \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}, \cos 45^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{2}, \cos 60^\circ = \frac{1}{2}, \cos 90^\circ = 0$
$\tan 0^\circ = 0 , \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3} , \tan 45^\circ = 1 , \tan 60^\circ = \sqrt{3}, \tan 90^\circ = \infty$

Contoh :
1). Tentukan nilai perbandingan trigonometri berikut,
a). $\sin 30^\circ . \cos 45^\circ$
b). $\frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ}$
Penyelesaian :
a). $\begin{align} \sin 30^\circ . \cos 45^\circ = \frac{1}{2}. \frac{1}{2}\sqrt{2} = \frac{1}{4} \sqrt{2} \end{align}$
b). Nilainya,
$\begin{align} \frac{\tan 45^\circ . \cos 60^\circ - \sin 30^\circ . \cos 30^\circ}{\sin 60^\circ} & = \frac{1.\frac{1}{2} - \frac{1}{2} .\frac{1}{2}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \\ & = \frac{\frac{1}{2} - \frac{1}{4}\sqrt{3} }{\frac{1}{2}\sqrt{3}} \times \frac{4}{4} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 - \sqrt{3} }{2\sqrt{3}} \times \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} - 3 }{2.3} \\ & = \frac{2 \sqrt{3} }{6} - \frac{ 3 }{6} \\ & = \frac{ \sqrt{3} }{3} - \frac{ 1 }{2} \\ & = \frac{ 1 }{3}\sqrt{3} - \frac{ 1 }{2} \end{align}$

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi

       Sebelumnya sudah ditampilkan nilai perbandingan trigonometri sudut-sudut pada kuadran I. Berikut kita pelajari hubungan sudut-sudut berelasi berbagai kuadran.
Perhatikan rumus hubungan setiap kuadran jika diketahui sudut $\alpha \,$ pada kuadran I berikut.

Dari gambar di atas, kita peroleh hubungan kuadrannya :
Kuadran I :
$\sin (90^\circ - \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ - \alpha ) = \sin \alpha$
$\tan (90^\circ - \alpha ) = \cot \alpha$

Kuadran II :
$\sin (90^\circ + \alpha ) = \cos \alpha , \, \cos (90^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha$
$\tan (90^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha$
$\sin (180^\circ - \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (180^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha$
$\tan (180^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha$

Kuadran III :
$\sin (180^\circ + \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (180^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha$
$\tan (180^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$
$\sin (270^\circ - \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha$
$\tan (270^\circ - \alpha ) = \cot \alpha$

Kuadran IV :
$\sin (270^\circ + \alpha ) = -\cos \alpha , \, \cos (270^\circ + \alpha ) = \sin \alpha$
$\tan (270^\circ + \alpha ) = -\cot \alpha$
$\sin (360^\circ - \alpha ) = -\sin \alpha , \, \cos (360^\circ - \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (360^\circ - \alpha ) = -\tan \alpha$

Sudut lebih besar $360^\circ$ :
$\sin (360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$

$\sin (n.360^\circ + \alpha ) = \sin \alpha , \, \cos (n.360^\circ + \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (n.360^\circ + \alpha ) = \tan \alpha$
dengan $n \,$ bilangan asli.

Catatan :
Dari hubungan semua relasi diatas, dapat disimpulkan :
*). Jika menggunakan ($90^\circ \pm \alpha$) atau ($270^\circ \pm \alpha$) , maka trigonometrinya berubah yaitu sin jadi cos, cos jadi sin, tan jadi cot, sec jadi csc, dan csc jadi sec. (menggunakan $90^\circ \,$ dan $270^\circ$).
*). Jika menggunakan ($180^\circ \pm \alpha$) atau ($360^\circ \pm \alpha$) , maka trigonometrinya tetap (tidak berubah). (menggunakan $180^\circ \,$ dan $360^\circ$).

Contoh :
2). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari :
a). $\sin 120^\circ$
b). $\cos 150^\circ$
c). $\tan 135^\circ$
d). $\tan 210^\circ$
e). $\cos 210^\circ$

Loading...

f). $\sin 300^\circ$
g). $\cos 330^\circ$
Penyelesaian :
a). Kuadran II : $\sin 120^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\sin 120^\circ = \sin (90^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\sin 120^\circ = \sin (180^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

b). Kuadran II : $\cos 150^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 150^\circ = \cos (90^\circ + 60^\circ) = -\sin 60^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 150^\circ = \cos (180^\circ - 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$

c). Kuadran II : $\tan 135^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\tan 135^\circ = \tan (90^\circ + 45^\circ) = -\cot 45^\circ = - \frac{1}{\tan 45^\circ } = -\frac{1}{1} = -1$
Cara II : $\tan 135^\circ = \tan (180^\circ - 45^\circ) = -\tan 45^\circ = -1$

d). Kuadran III : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\tan 210^\circ = \tan (180^\circ + 30^\circ) = \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3}$
Cara II : $\tan 210^\circ = \tan (270^\circ - 60^\circ) = \cot 60^\circ = \frac{1}{\tan 60^\circ } = \frac{1}{ \sqrt{3} } = \frac{1}{3}\sqrt{3}$

e). Kuadran III : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = -\frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$

f). Kuadran IV : $\tan 210^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\sin 300^\circ = \sin (270^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\sin 300^\circ = \sin (360^\circ - 60^\circ) = -\sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$

g). Kuadran IV : $\cos 330^\circ \,$ ada dua cara :
Cara I : $\cos 330^\circ = \cos (270^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$
Cara II : $\cos 330^\circ = \cos (360^\circ - 30^\circ) = \cos 30^\circ = \frac{1}{2}\sqrt{3}$

3). Tentukan nilai perbandingan trigonometri dari
a). $\sin 360^\circ$
b). $\cos 420^\circ$
c). $\tan 510^\circ$
d). $\sin 1290^\circ$
Penyelesaian :
a). $\sin 360^\circ = \sin (360^\circ + 0^\circ ) = \sin 0^\circ = 0$
b). $\cos 420^\circ = \cos (360^\circ + 60^\circ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
c). $\tan 510^\circ = \tan (360^\circ + 150^\circ) = \tan 150^\circ = \tan (180^\circ - 30^\circ) = - \tan 30^\circ = \frac{1}{3}\sqrt{3}$
d). $\sin 1290^\circ = \sin (3\times 360^\circ + 210^\circ) = \sin 210^\circ = \sin (180^\circ + 30^\circ) = -\sin 30^\circ = -\frac{1}{2}$

Catatan :
Untuk nilai negatif atau psositif, bergantung dari sudut awal pada soal, terletak pada kuadran berapa. Misalkan, nilai $\cos 210^\circ \,$, sudut $210^\circ \,$ ada pada kuadran III sehingga nilai cos nya negatif, sehingga bentuk sederhananya ditambahkan negatif. perhatikan perhitungan berikut,
Cara I : $\cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = \cos 30^\circ \,$ , bentuk sederhananya $\cos 210^\circ = \cos 30^\circ \,$ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$\cos 210^\circ = - \cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Cara II : $\cos 210^\circ = \cos (270^\circ - 60^\circ) = \sin 60^\circ \,$ , bentuk sederhananya $\cos 210^\circ = \sin 60^\circ \,$ , karena cos di kuadran III negatif, maka bentuk sederhananya diberi negatif.
$\cos 210^\circ = - \sin 60^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Sudut Komplemen pada Kuadran I

       Sudut komplemen maksudnya sudut yang jumlahnya $90^\circ \,$ pada kuadran I. Berikut bentuk-bentuk perbandingan trigonometri sudut-sudut komplemen :
$\sin \theta = \cos (90^\circ - \theta)$
$\cos \theta = \sin (90^\circ - \theta)$
$\tan \theta = \cot (90^\circ - \theta)$
$\cot \theta = \tan (90^\circ - \theta)$
$\sec \theta = \csc (90^\circ - \theta)$
$\csc \theta = \sec (90^\circ - \theta)$

Pada sudut komplemen, terjadi perubahan trigonometri yaitu :
sin berubah menjadi cos (dan sebalikny)
tan berubah menjadi cot (dan sebalikny)
sec berubah menjadi csc (dan sebalikny)

Contoh :
4). Tentukan perbandingan trigonometri sudut komplemen dari bentuk berikut :
a). $\sin 30^\circ$
b). $\cot 60^\circ$
c). $\cos 35^\circ$
Penyelesaian :
a). $\sin 30^\circ = \cos ( 90^\circ - 30^\circ ) = \cos 60^\circ$
artinya nilai $\sin 30^\circ \,$ sama dengan $\cos 60^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $30^\circ + 60^\circ = 90^\circ$
b). $\cot 60^\circ = \tan ( 90^\circ - 60^\circ ) = \tan 30^\circ$
artinya nilai $\cot 60^\circ \,$ sama dengan $\tan 30^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $60^\circ + 30^\circ = 90^\circ$
c). $\cos 35^\circ = \sin ( 90^\circ - 35^\circ ) = \sin 55^\circ$
artinya nilai $\cos 35^\circ \,$ sama dengan $\sin 55^\circ$
dimana jumlah sudutnya : $35^\circ + 55^\circ = 90^\circ$

5). Tentukan nilai $\sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ$ ?
Penyelesaian :
*). Gunakan identitas trigonometri : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$
*). Gunakan sudut komplemen :
$\sin 25^\circ = \cos ( 90^\circ - 25^\circ ) = \cos 65^\circ$
Sehingga : $\sin ^2 25^\circ = \cos ^2 65^\circ$
$\sin 40^\circ = \cos ( 90^\circ - 40^\circ ) = \cos 50^\circ$
Sehingga : $\sin ^2 40^\circ = \cos ^2 50^\circ$
*). Menentukan hasilnya :
$\begin{align} & \sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = \cos ^2 65^\circ + \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ \\ & = ( \cos ^2 65^\circ + \sin ^2 65^\circ) + ( \cos ^2 50^\circ + \sin ^2 50^\circ ) \\ & = ( 1 ) + ( 1 ) \\ & = 2 \end{align}$
Jadi, nilai $\sin ^2 25^\circ + \sin ^2 40^\circ + \sin ^2 50^\circ + \sin ^2 65^\circ = 2$ .

Nilai fungsi trigonometri untuk seudut negatif

       Berikut nilai fungsi trigonometri untuk sudut negatif :
$\sin (- \alpha ) = - \sin \alpha$
$\cos (- \alpha ) = \cos \alpha$
$\tan (- \alpha ) = - \tan \alpha$
$\sec (- \alpha ) = \sec \alpha$
$\csc (- \alpha ) = - \csc \alpha$
$\cot (- \alpha ) = - \cot \alpha$

Contoh :
Tentukan nilai fungsi trigonometri berikut :
a). $\sin (- 30^\circ )$
b). $\cos (- 60^\circ )$
c). $\sin (- 210^\circ )$
d). $\cos (- 210^\circ )$
Penyelesaian :
a). $\sin (- 30^\circ ) = - \sin 30^\circ = - \frac{1}{2}$
b). $\cos (- 60^\circ ) = \cos 60^\circ = \frac{1}{2}$
c). $\sin (- 210^\circ ) = - \sin 210^\circ = - \sin (180^\circ + 30^\circ) = -[-\sin 30^\circ] = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$
d). $\cos (- 210^\circ ) = \cos 210^\circ = \cos (180^\circ + 30^\circ) = -\cos 30^\circ = - \frac{1}{2}\sqrt{3}$ .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Perbandingan Trigonometri Sudut Sudut Berelasi. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...