Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Salah satu penggunaan trigonometri adalah menghitung besarnya sudut pada segitiga, menghitung panjang sisi-sisi segitga, dan luas segitiga. Kali ini kita mempelajari materi Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Prasyarat materi yang harus dikuasai sebelum mempelajari materi ini adalah "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", "Nilai Perbandingan Trigonometri di Berbagai Kuadran", dan "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi".
Contoh :
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :
ACsinB=BCsinAACsin60∘=4sin45∘AC12√3=412√2AC√3=4√2AC=4√3√2AC=4√3√2.√2√2AC=4√62AC=2√6
Jadi, panjang AC=2√6 .
2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut y∘ :
sinCAB=sinABCsiny∘8=sin45∘8√2siny∘1=12√2√2siny∘=12y∘=30∘
*). Menentukan besarnya sudut x∘
jumlah sudut segitiga ABC =180∘A+B+C=180∘45∘+x∘+30∘=180∘x∘=105∘
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus
ACsinB=ABsinCACsin105∘=8sin30∘ACsin105∘=812ACsin105∘=16AC=16sin105∘(gunakan kalkulator)AC=16×0,9659AC=15,4548
Jadi, panjang AC = 15,4548 .
Contoh :
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
Aturan Sinus
Perhatikan segitiga berikut!
Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :
asin∠A=bsin∠B=csin∠C atau sin∠Aa=sin∠Bb=sin∠Cc
Pembuktian Rumus aturan sinus :
*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, sinA=CDAC→CD=ACsinA→CD1=bsinA
Segitiga BDC, sinB=CDBC→CD=BCsinB→CD2=asinB
Dari panjang CD,
diperoleh CD1=CD2→bsinA=asinB→asin∠A=bsin∠B
persamaan (i) : asin∠A=bsin∠B
*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, sinA=EBAB→EB=ABsinA→EB1=csinA
Segitiga CEB, sinC=EBCB→EB=CBsinC→EB2=asinC
Dari panjang EB,
diperoleh EB1=EB2→csinA=asinC→asin∠A=csin∠C
persamaan (ii) : asin∠A=csin∠C
Dari pers(i) : asin∠A=bsin∠B dan pers(ii) : asin∠A=csin∠C
Diperoleh : asin∠A=bsin∠B=csin∠C
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.
Dari gambar di atas, berlaku aturan sinus yaitu :
asin∠A=bsin∠B=csin∠C atau sin∠Aa=sin∠Bb=sin∠Cc
Pembuktian Rumus aturan sinus :
*). Dari gambar (1a),
Segitiga ADC, sinA=CDAC→CD=ACsinA→CD1=bsinA
Segitiga BDC, sinB=CDBC→CD=BCsinB→CD2=asinB
Dari panjang CD,
diperoleh CD1=CD2→bsinA=asinB→asin∠A=bsin∠B
persamaan (i) : asin∠A=bsin∠B
*). Dari gambar (1b),
Segitiga AEB, sinA=EBAB→EB=ABsinA→EB1=csinA
Segitiga CEB, sinC=EBCB→EB=CBsinC→EB2=asinC
Dari panjang EB,
diperoleh EB1=EB2→csinA=asinC→asin∠A=csin∠C
persamaan (ii) : asin∠A=csin∠C
Dari pers(i) : asin∠A=bsin∠B dan pers(ii) : asin∠A=csin∠C
Diperoleh : asin∠A=bsin∠B=csin∠C
Jadi, terbukti rumus aturan sinusnya.
1). Tentukan panjang AC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Kita gunakan sudut A dan B untuk aturan sinusnya :
ACsinB=BCsinAACsin60∘=4sin45∘AC12√3=412√2AC√3=4√2AC=4√3√2AC=4√3√2.√2√2AC=4√62AC=2√6
Jadi, panjang AC=2√6 .
2). Tentukan panjang AC pada segitiga ABC berikut.
Penyelesaian :
*). Menentukan besarnya sudut y∘ :
sinCAB=sinABCsiny∘8=sin45∘8√2siny∘1=12√2√2siny∘=12y∘=30∘
*). Menentukan besarnya sudut x∘
jumlah sudut segitiga ABC =180∘A+B+C=180∘45∘+x∘+30∘=180∘x∘=105∘
*). Menentukan panjang AC dengan aturan sinus
ACsinB=ABsinCACsin105∘=8sin30∘ACsin105∘=812ACsin105∘=16AC=16sin105∘(gunakan kalkulator)AC=16×0,9659AC=15,4548
Jadi, panjang AC = 15,4548 .
Aturan Cosinus
Perhatikan segitiga berikut!
Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :
a2=b2+c2−2bccosAb2=a2+c2−2accosBc2=a2+b2−2abcosC
Pembuktian Rumus aturan Cosinus :
Panjang AD=x, maka panjang BD=c−x, dengan AB=c.
*). Perhatikan segitiga ADC,
cosA=ADAC→cosA=xb→x=bcosA ...pers(i)
Pythagoras : CD2=AC2−AD2→CD2=b2−x2 ....pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras : CD2=BC2−BD2→CD2=a2−(c−x)2 ....pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :
CD2=CD2b2−x2=a2−(c−x)2b2−x2=a2−(c2−2cx+x2)b2−x2=a2−c2+2cx−x2a2=b2+c2−2cx[ substitusi pers(i) ]a2=b2+c2−2c.bcosAa2=b2+c2−2bccosA
Diperoleh aturan cosinus pertama : a2=b2+c2−2bccosA .
Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.
Dari gambar di atas, berlaku aturan cosinus yaitu :
a2=b2+c2−2bccosAb2=a2+c2−2accosBc2=a2+b2−2abcosC
Pembuktian Rumus aturan Cosinus :
Panjang AD=x, maka panjang BD=c−x, dengan AB=c.
*). Perhatikan segitiga ADC,
cosA=ADAC→cosA=xb→x=bcosA ...pers(i)
Pythagoras : CD2=AC2−AD2→CD2=b2−x2 ....pers(ii)
*). Perhatikan segitiga BDC,
Pythagoras : CD2=BC2−BD2→CD2=a2−(c−x)2 ....pers(iii)
*). Pers (i) dan pers(ii), panjang CD sama :
CD2=CD2b2−x2=a2−(c−x)2b2−x2=a2−(c2−2cx+x2)b2−x2=a2−c2+2cx−x2a2=b2+c2−2cx[ substitusi pers(i) ]a2=b2+c2−2c.bcosAa2=b2+c2−2bccosA
Diperoleh aturan cosinus pertama : a2=b2+c2−2bccosA .
Untuk pembuktian dua aturan cosinus lainnya, cara hampir sama dengan pembuktian aturan cosinus pertama di atas.
3). Tentukan panjang sisi BC pada segitiga berikut!
Penyelesaian :
Loading...
Berdasarkan aturan cosinus sudut A :
BC2=AC2+AB2−2.AC.AB.cosABC2=52+82−2.5.8.cos60∘BC2=25+64−80.12BC2=89−40BC2=49BC=√49BC=7
Jadi, panjang BC = 7.
4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, menentukan BC dengan aturan sinus
BCsinA=ABsinCBCsin60∘=2√6sin45∘BC12√3=2√612√2BC√3=2√6√2BC=2√6.√3√2BC=2√18√2BC=2.3√2√2BC=6
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, menentukan BD dengan aturan cosinus
BD2=BC2+DC2−2.BC.DC.cos∠BCDBD2=62+72−2.6.7.cos60∘BD2=36+49−2.6.7.12BD2=36+49−42BD2=43BD=√43
Jadi, panjang BD=√43
5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P
QR2=PR2+PQ2−2.PR.PQ.cosP(2√x+2)2=(x−1)2+(x+1)2−2.(x−1).(x+1).cos60∘4(x+2)=(x2−2x+1)+(x2+2x+1)−2.(x2−1).124x+8=(2x2+2)−(x2−1)x2−4x−5=0(x+1)(x−5)=0x=−1∨x=5
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah x=5
Sehingga, panjang sisi-sisi segitiga adalah :
x−1,x+1,2√x+2→4,6,2√7
Jadi, sisi-sisi segitiga adalah 4,6, dan 2√7
Contoh :
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!
Penyelesaian :
Luas ABC =12AC.AB.sinA=12.6.8.sin30∘=12.6.8.12=12
Jadi, luas segitiga ABC adalah 12 satuan luas.
a2=b2+c2−2bccosA→cosA=b2+c2−a22bc ....pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran : P2−Q2=(P+Q)(P−Q)
*). Identitas Trigonometri : sin2A+cos2A=1→sin2A=1−cos2A
*). Menentukan bentuk sinA dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan : s=12(a+b+c)
sin2A=1−cos2Asin2A=(1−cosA)(1+cosA)=(1−b2+c2−a22bc)(1+b2+c2−a22bc)=(2bc−b2−c2+a22bc)(2bc+b2+c2−a22bc)=(−(b−c)2+a22bc)((b+c)2−a22bc)=(a2−(b−c)22bc)((b+c)2−a22bc)=((a−b+c)(a+b−c)2bc)((b+c−a)(b+c+a)2bc)=(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(b+c+a)4b2c2=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)4b2c2×44=4(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)2.2.2.2.b2c2=4b2c2.(a+b+c2)(b+c−a2)(a+c−b2)(a+b−c2)=4b2c2.(a+b+c2)(b+c+a−2a2)(a+c+b−2b2)(a+b+c−2c2)=4b2c2.(a+b+c2)(b+c+a2−a)(a+c+b2−b)(a+b+c2−c)sin2A=4b2c2.(s)(s−a)(s−b)(s−c)sinA=√4b2c2.(s)(s−a)(s−b)(s−c)sinA=2bc√s(s−a)(s−b)(s−c)
*). Luas segitiga ABC menggunakan sudut A :
L=12.AB.AC.sinA=12.c.b.2bc√s(s−a)(s−b)(s−c)=√s(s−a)(s−b)(s−c)
Jadi, terbukti luas segitiganya.
Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai s :
diketahui nilai a=6,b=4,c=8
s=12(a+b+c)=12(6+4+8)=9
*). Luas segitiga menggunakan rumus Heron.
L=√s(s−a)(s−b)(s−c)L=√9.(9−6)(9−4)(9−8)L=√9.3.5.1L=3√15
Jadi, luas segitiga ABC adalah 3√15 satuan luas. .
BC2=AC2+AB2−2.AC.AB.cosABC2=52+82−2.5.8.cos60∘BC2=25+64−80.12BC2=89−40BC2=49BC=√49BC=7
Jadi, panjang BC = 7.
4). Tentukan panjang BD sari gambar berikut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan segitiga ABC, menentukan BC dengan aturan sinus
BCsinA=ABsinCBCsin60∘=2√6sin45∘BC12√3=2√612√2BC√3=2√6√2BC=2√6.√3√2BC=2√18√2BC=2.3√2√2BC=6
Diperoleh BC = 6.
*). Perhatikan segitiga BCD, menentukan BD dengan aturan cosinus
BD2=BC2+DC2−2.BC.DC.cos∠BCDBD2=62+72−2.6.7.cos60∘BD2=36+49−2.6.7.12BD2=36+49−42BD2=43BD=√43
Jadi, panjang BD=√43
5). Tentukan panjang sisi-sisi segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Aturan cosinus pada sudut P
QR2=PR2+PQ2−2.PR.PQ.cosP(2√x+2)2=(x−1)2+(x+1)2−2.(x−1).(x+1).cos60∘4(x+2)=(x2−2x+1)+(x2+2x+1)−2.(x2−1).124x+8=(2x2+2)−(x2−1)x2−4x−5=0(x+1)(x−5)=0x=−1∨x=5
Karena panjang segitiga selalu positif, maka yang memenuhi adalah x=5
Sehingga, panjang sisi-sisi segitiga adalah :
x−1,x+1,2√x+2→4,6,2√7
Jadi, sisi-sisi segitiga adalah 4,6, dan 2√7
Luas Segitiga dengan Fungsi Trigonometri
Perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
Luas segitiga ABC =12.a.c.sinB
Luas segitiga ABC =12.a.b.sinC
Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.
Luas segitiga ABC :
Luas segitiga ABC =12× alas × tinggi=12×AB×CD=12×c×t=12×c×bsinA=12cbsinA
Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.
Rumus Luas Segitiga yang melibatkan sudutnya adalah :
Luas segitiga ABC =12.b.c.sinALuas segitiga ABC =12.a.c.sinB
Luas segitiga ABC =12.a.b.sinC
Rumus luas di atas memberikan hasil yang sama, tergantung sudut yang diketahui.
Pembuktian Rumus Luas segitiga
Perhatikan segitiga ADC : sinA=tb→t=bsinALuas segitiga ABC :
Luas segitiga ABC =12× alas × tinggi=12×AB×CD=12×c×t=12×c×bsinA=12cbsinA
Jadi terbukti rumus luas pertama, rumus luas segitiga berikutnya juga pembuktiannya mirip dengan di atas.
6). Tentukan luas segitiga ABC berikut!
Penyelesaian :
Luas ABC =12AC.AB.sinA=12.6.8.sin30∘=12.6.8.12=12
Jadi, luas segitiga ABC adalah 12 satuan luas.
Luas Segitiga Diketahui ketiga sisinya
Pembuktian Rumus Heron :
*). Pada segitiga ABC berlaku aturan Cosinus sudut Aa2=b2+c2−2bccosA→cosA=b2+c2−a22bc ....pers(i)
*). Bentuk pemfaktoran : P2−Q2=(P+Q)(P−Q)
*). Identitas Trigonometri : sin2A+cos2A=1→sin2A=1−cos2A
*). Menentukan bentuk sinA dari pers(i), pemfaktoran, dan identitas
Serta misalkan : s=12(a+b+c)
sin2A=1−cos2Asin2A=(1−cosA)(1+cosA)=(1−b2+c2−a22bc)(1+b2+c2−a22bc)=(2bc−b2−c2+a22bc)(2bc+b2+c2−a22bc)=(−(b−c)2+a22bc)((b+c)2−a22bc)=(a2−(b−c)22bc)((b+c)2−a22bc)=((a−b+c)(a+b−c)2bc)((b+c−a)(b+c+a)2bc)=(a−b+c)(a+b−c)(b+c−a)(b+c+a)4b2c2=(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)4b2c2×44=4(a+b+c)(b+c−a)(a+c−b)(a+b−c)2.2.2.2.b2c2=4b2c2.(a+b+c2)(b+c−a2)(a+c−b2)(a+b−c2)=4b2c2.(a+b+c2)(b+c+a−2a2)(a+c+b−2b2)(a+b+c−2c2)=4b2c2.(a+b+c2)(b+c+a2−a)(a+c+b2−b)(a+b+c2−c)sin2A=4b2c2.(s)(s−a)(s−b)(s−c)sinA=√4b2c2.(s)(s−a)(s−b)(s−c)sinA=2bc√s(s−a)(s−b)(s−c)
*). Luas segitiga ABC menggunakan sudut A :
L=12.AB.AC.sinA=12.c.b.2bc√s(s−a)(s−b)(s−c)=√s(s−a)(s−b)(s−c)
Jadi, terbukti luas segitiganya.
Contoh :
7). Tentukan luas segitiga berikut!
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai s :
diketahui nilai a=6,b=4,c=8
s=12(a+b+c)=12(6+4+8)=9
*). Luas segitiga menggunakan rumus Heron.
L=√s(s−a)(s−b)(s−c)L=√9.(9−6)(9−4)(9−8)L=√9.3.5.1L=3√15
Jadi, luas segitiga ABC adalah 3√15 satuan luas. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...