Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Contoh Metode Newton Raphson dalam Mencari Persamaan Tak Linier. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Metode Newton Raphson dalam Mencari Persamaan Tak Linier. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Metode Newton Raphson merupakan salah satu metode yang digunakan untuk menyelesaikan persamaan tak linier secara numerik. Secara numerik maksudnya penyelesaian persamaan dengan pendekatan angka tertentu, yang hasilnya akan mendekati hasil secara eksak (hasil sebenarnya) atau bahkan sama dengan hasil secara numerik tergantung galat yang digunakan. Persamaan tak linier adalah persamaan yang pangkat salah satu variabelnya lebih dari satu atau kurang dari satu (pangkat pecahan), misalkan 2x2−3x+1=0,x3−+2x2−x+5=0,5x32+x−1=0, dan lainnya. Sementara penyelesaian dari persamaan tak linier adalah nilai dari variabelnya (misalkan x) yang memenuhi persamaan tersebut atau biasa disebut dengan akar dari persamaan tersebut.
Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
Penyelesaian :
*). Persamaannya : x3−2x2+3x−6=0, artinya f(x)=x3−2x2+3x−6
sehingga turunannya : f′(x)=3x2−4x+3.
*). Pilih nilai x0=3 (salah satu contoh pemilihan nilai x0 , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan x0=3 dengan rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
iterasi ke-1 : menentukan nilai x1
x0=3→f(x0)=f(3)=33−2.32+3.3−6=12f′(x0)=f′(3)=3.32−4.3+3=18k=0→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x0+1=x0−f(x0)f′(x0)x1=3−1218x1=2,33333333
iterasi ke-2 : menentukan nilai x2
x1=2,33333333→f(x1)=f(2,33333333)=2,814814815f′(x1)=f′(2,33333333)=10k=1→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x1+1=x1−f(x1)f′(x1)x2=2,33333333−2,81481481510x2=2,05185
iterasi ke-3 : menentukan nilai x3
x2=2,05185→f(x2)=f(2,05185)=0,373856831f′(x2)=f′(2,05185)=0,373856831k=2→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x2+1=x2−f(x2)f′(x2)x3=2,05185−0,3738568310,373856831x3=2,00149
iterasi ke-4 : menentukan nilai x4
x3=2,00149→f(x3)=f(2,00149)=0,010413554f′(x3)=f′(2,00149)=7,011897728k=3→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x3+1=x3−f(x3)f′(x3)x4=2,00149−0,0104135547,011897728x4=2
iterasi ke-5 : menentukan nilai x5
Kemudian apa hubungannya turunan dengan metode Newton Rahpson untuk menyelesaikan persamaan tak linier?. Metode Newton Raphson ini melibatkan "garis singgung pada kurva" yang melibatkan turunan secara langsung yang akan kita bahas lebih jelas pada artikel kali ini. Dari namanya, metode ini ditemukan oleh dua orang yaitu Newton dan Raphson. Sebenarnya masih banyak lagi metode lain yang bisa digunakan dalam menyelesaikan persamaan tak linier yaitu metode biseksi (bagi dua), metode regula falsi (posisi palsu), metode secant, dan lainnya. Namun Metode Newton Raphson merupakan metode yang paling banyak dipakai, karena konvergensinya paling cepat diantara metode lainnya.
Pengertian Akar (pembuat nol) dari suatu persamaan f(x)=0
Misalkan f(x) adalah suatu fungsi kontinu. Setiap bilangan c pada domain f yang memenuhi f(c)=0 disebut akar persamaan f(x)=0, atau disebut juga pembuat nol fungsi f(x). Secara singkat, c disebut akar fungsi f(x).
Pengertian Metode Newton Raphson
Meotde Newton Raphson merupakan salah satu metode dalam menyelesaikan persamaan tak linier (menentukan salah satu akar dari persamaan tak linier), dengan prinsip utama sebagai berikut :
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.
Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan f(x)=0 ,
Dari grafik di atas, penyelesaian f(x)=0 (akarnya) adalah titik potong grafik fungsi f(x) terhadap sumbu X. Terlihat dari grafik, telah ditunjukan akar sebenarnya, dan untuk mencari akar sebenarnya menggunakan metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung. Misalkan kita pilih akar pertama yaitu x0 ,
*). substitusi x0 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung A(x0,f(x0)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di x1.
*). substitusi x1 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung B(x1,f(x1)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di x2.
*). substitusi x2 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung A(x2,f(x2)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di x3.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
i). Melakukan pendekatan terhadap kurva f(x) dengan garis singgung (gradien) pada suatu titik sebagai nilai awal,
ii). Nilai taksiran selanjutnya adalah titik potong antara garis singgung kurva dengan sumbu X.
Perhatikan pendekatan metode Newton Raphson untuk persamaan f(x)=0 ,
*). substitusi x0 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung A(x0,f(x0)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik A yaitu gs 1 yang memotong sumbu X di di x1.
*). substitusi x1 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung B(x1,f(x1)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik B yaitu gs 2 yang memotong sumbu X di di x2.
*). substitusi x2 ke fungsi f(x), kita peroleh titik singgung A(x2,f(x2)). Kemudian kita buat garis singgung melalui titik C yaitu gs 3 yang memotong sumbu X di di x3.
begitu seterusnya sehingga akar-akar pendekatannya mendekati akar sebenarnya dan sama dengan akar sebenarnya.
Rumus Metode Newton Raphson untuk menyelesaikan persamaan tak linier
Ketika kita memilih nilai x0, bagaimana selanjutnya cara untuk menentukan nilai x1,x2, dan lainnya? Kita akan menggunakan rumus metode Newton Raphson dengan bantuan garis singgung kurva.
Perhatikan gambar berikut,
*). Persamaan garis singgung pada titik A(xk,f(xk)) dengan gradien m=f′(xk) :
y−f(xk)=m(x−xk)→y−f(xk)=f′(xk)[(x−xk)]
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B(xk+1,0) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
(x,y)=(xk+1,0)→y−f(xk)=f′(xk)[(x−xk)]0−f(xk)=f′(xk)[(xk+1−xk)]−f(xk)=f′(xk)[(xk+1−xk)]−f(xk)f′(xk)=(xk+1−xk)xk+1=xk−f(xk)f′(xk)
dengan k={0,1,2,3,....} dan f′(xk) adalah turunan fungsi f(x) untuk x=xk
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
xk+1=xk−f(xk)f′(xk) dengan f′(xk)≠0.
Perhatikan gambar berikut,
y−f(xk)=m(x−xk)→y−f(xk)=f′(xk)[(x−xk)]
*). Titik potong garis singgung dengan sumbu X di titik B(xk+1,0) , substitusi titik B ke persamaan garis singgungnya :
(x,y)=(xk+1,0)→y−f(xk)=f′(xk)[(x−xk)]0−f(xk)=f′(xk)[(xk+1−xk)]−f(xk)=f′(xk)[(xk+1−xk)]−f(xk)f′(xk)=(xk+1−xk)xk+1=xk−f(xk)f′(xk)
dengan k={0,1,2,3,....} dan f′(xk) adalah turunan fungsi f(x) untuk x=xk
Jadi, Rumus yang digunakan pada metode Newton Raphson adalah :
xk+1=xk−f(xk)f′(xk) dengan f′(xk)≠0.
Langkah-langkah menggunakan metode Newton Raphson
langkah-langkah dalam menyelesaikan persamaan tak linier,
1). Tentukan nilai awal x0.
Nilai x0 yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai x1,x2, dan seterusnya.
2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya (x1,x,x3,...) dengan substitusi nilai x0 pada rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai f(xk)=0 atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap (xk+1=xk) atau
*). nilai galat relatif xk≤ toleransi galat x yang diminta.
dengan galat relatif xk=|xk−xk−1xk|
1). Tentukan nilai awal x0.
Nilai x0 yang kita pilih bebas, kalau semakin dekat dengan akar sebenarnya akan lebih baik karena iterasi yang akan kita lakukan semakin sedikit. iterasi maksudnya pengulangan untuk menentukan nilai x1,x2, dan seterusnya.
2). Lakukan iterasi (pengulangan) untuk menentukan taksiran akar selanjutnya (x1,x,x3,...) dengan substitusi nilai x0 pada rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
3). iterasi berhenti ketika :
*). diperoleh nilai f(xk)=0 atau
*). Nilai akar-akar taksirannya sudah tetap (xk+1=xk) atau
*). nilai galat relatif xk≤ toleransi galat x yang diminta.
dengan galat relatif xk=|xk−xk−1xk|
Catatan : Galat = error = kesalahan.
Contoh soal dan Pembahasan metode Newton Raphson :
1). Tentukan salah satu akar dari persamaan x3−2x2+3x−6=0 dengan metode Newton Raphson.Penyelesaian :
*). Persamaannya : x3−2x2+3x−6=0, artinya f(x)=x3−2x2+3x−6
sehingga turunannya : f′(x)=3x2−4x+3.
*). Pilih nilai x0=3 (salah satu contoh pemilihan nilai x0 , pilih angka yang lain juga boleh).
*). Melakukan iterasi dengan x0=3 dengan rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
iterasi ke-1 : menentukan nilai x1
x0=3→f(x0)=f(3)=33−2.32+3.3−6=12f′(x0)=f′(3)=3.32−4.3+3=18k=0→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x0+1=x0−f(x0)f′(x0)x1=3−1218x1=2,33333333
iterasi ke-2 : menentukan nilai x2
x1=2,33333333→f(x1)=f(2,33333333)=2,814814815f′(x1)=f′(2,33333333)=10k=1→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x1+1=x1−f(x1)f′(x1)x2=2,33333333−2,81481481510x2=2,05185
iterasi ke-3 : menentukan nilai x3
x2=2,05185→f(x2)=f(2,05185)=0,373856831f′(x2)=f′(2,05185)=0,373856831k=2→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x2+1=x2−f(x2)f′(x2)x3=2,05185−0,3738568310,373856831x3=2,00149
iterasi ke-4 : menentukan nilai x4
x3=2,00149→f(x3)=f(2,00149)=0,010413554f′(x3)=f′(2,00149)=7,011897728k=3→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x3+1=x3−f(x3)f′(x3)x4=2,00149−0,0104135547,011897728x4=2
iterasi ke-5 : menentukan nilai x5
Loading...
x4=2→f(x4)=f(2)=0
Karena nilai f(2)=0, maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah x=2.
Jadi, salah satu akar dari persamaan x3−2x2+3x−6=0 adalah 2.
Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.
2). Tentukan salah satu akar persamaan linier x5+2x2−4=0 dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal x0=1 dan toleransi galat relatif x adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : x5+2x2−4=0, artinya f(x)=x5+2x2−4
sehingga turunannya : f′(x)=5x4+4x.
*). Pilih nilai x0=1 (nilai x0 sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif xk=|xk−xk−1xk|
*). Melakukan iterasi dengan x0=1 dengan rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
iterasi ke-1 : menentukan nilai x1
x0=1→f(x0)=f(1)=15+2.12−4=−2f′(x0)=f′(1)=5.14+4.1=9k=0→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x0+1=x0−f(x0)f′(x0)x1=1−−29x1=1,111111galat :x1=|x1−x0x1|=|1,111111−11,111111|=0,1
Karena nilai galat x1=0,1 tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-2 : menentukan nilai x2
x1=1,111111→f(x1)=f(1,111111)=0,162644583f′(x1)=f′(1,111111)=12,06523396k=1→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x1+1=x1−f(x1)f′(x1)x2=1,111111−0,16264458312,06523396x2=1,09763galat :x2=|x2−x1x2|=|1,09763−1,1111111,09763|=0,012281
Karena nilai galat x2=0,012281 tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-3 : menentukan nilai x3
x2=1,09763→f(x2)=f(1,09763)=0,002826142f′(x2)=f′(1,09763)=11,64815483k=2→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x2+1=x2−f(x2)f′(x2)x3=1,09763−0,00282614211,64815483x3=1,09739galat :x3=|x3−x2x3|=|1,09739−1,097631,09739|=0,000221
Karena nilai galat x3=0,000221 kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah x=1,09739 .
Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.
3). Tentukan salah satu akar dari persamaan x2−x−6=0 dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : x2−x−6=0, artinya f(x)=x2−x−6
sehingga turunannya : f′(x)=2x−1.
*). Untuk soal nomor 3 ini, caranya sama dengan soal nomor 1 dan nomor 2 sebelumnya. Kita lebih menenkankan pada penggunaan nilai x0 yang dipilih. Sebenarnya persamaan x2−x−6=0 mempunyai dua akar yaitu -2 dan 3 seperti grafik di atas. Nilai x0 yang kita pilih akan menentukan akar yang akan kita peroleh tergantung dari x0 tersebut lebih dekat ke akar yang mana. Berikut berbagai variasi pemilihan nilai x0 yang langsung disajikan dalam tabel berikut.
*). Pilih nilai x0=4 yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk x0=4 maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai x0=1 yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk x0=1 maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai x0=0 yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk x0=0 maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
*). Pilih nilai x0=−3 yang lebih dekat dengan -2 daripada 3, maka ketika kita iterasi untuk x0=−3 maka hasil akarnya adalah -2 seperti pada tabel iterasi berikut,
Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.
Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan f(x)=0 yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih (x0) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya (x0) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai x0 nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya). Lanjutkan Membaca : http://mathsteria.blogspot.com/2014/12/contoh-soal-metode-newton-raphson.html.
Karena nilai f(2)=0, maka iterasi dihentikan. Artinya salah satu akar dari persamaannya adalah x=2.
Jadi, salah satu akar dari persamaan x3−2x2+3x−6=0 adalah 2.
Berikut tabel iterasi secara lengkap dari metode Newton Raphson.
2). Tentukan salah satu akar persamaan linier x5+2x2−4=0 dengan metode Newton Raphson , jika diketahui nilai awal x0=1 dan toleransi galat relatif x adalah 0,001.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : x5+2x2−4=0, artinya f(x)=x5+2x2−4
sehingga turunannya : f′(x)=5x4+4x.
*). Pilih nilai x0=1 (nilai x0 sudah ditentukan pada soal).
Toleransi galat = 0,001. Rumus galat relatif xk=|xk−xk−1xk|
*). Melakukan iterasi dengan x0=1 dengan rumus : xk+1=xk−f(xk)f′(xk) .
iterasi ke-1 : menentukan nilai x1
x0=1→f(x0)=f(1)=15+2.12−4=−2f′(x0)=f′(1)=5.14+4.1=9k=0→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x0+1=x0−f(x0)f′(x0)x1=1−−29x1=1,111111galat :x1=|x1−x0x1|=|1,111111−11,111111|=0,1
Karena nilai galat x1=0,1 tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-2 : menentukan nilai x2
x1=1,111111→f(x1)=f(1,111111)=0,162644583f′(x1)=f′(1,111111)=12,06523396k=1→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x1+1=x1−f(x1)f′(x1)x2=1,111111−0,16264458312,06523396x2=1,09763galat :x2=|x2−x1x2|=|1,09763−1,1111111,09763|=0,012281
Karena nilai galat x2=0,012281 tidak kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi dilanjutkan lagi.
iterasi ke-3 : menentukan nilai x3
x2=1,09763→f(x2)=f(1,09763)=0,002826142f′(x2)=f′(1,09763)=11,64815483k=2→xk+1=xk−f(xk)f′(xk)x2+1=x2−f(x2)f′(x2)x3=1,09763−0,00282614211,64815483x3=1,09739galat :x3=|x3−x2x3|=|1,09739−1,097631,09739|=0,000221
Karena nilai galat x3=0,000221 kurang dari galat toleransi 0,001 , sehingga iterasi sudah cukup dan dapat dihentikan karena sudah memenuhi toleransi galat.
Jadi, salah satu akarnya adalah x=1,09739 .
Berikut tabel iterasi metode Newton Raphson contoh 2.
3). Tentukan salah satu akar dari persamaan x2−x−6=0 dengan metode Newton Raphson.
Penyelesaian :
*). Persamaannya : x2−x−6=0, artinya f(x)=x2−x−6
sehingga turunannya : f′(x)=2x−1.
*). Pilih nilai x0=4 yang lebih dekat dengan 3 daripada -2, maka ketika kita iterasi untuk x0=4 maka hasil akarnya adalah 3 seperti pada tabel iterasi berikut,
Catatan : iterasi akan dihentikan ketika nilai akar taksirannya sudah sama terus dari sebelum dan sesudahnya seperti pada tabel masing-masing di atas.
Dari kasus soal nomor 3 ini dapat disimpulkan bahwa untuk persamaan f(x)=0 yang mempunyai akar lebih dari satu, dan untuk nilai awal yang dipilih (x0) mempengaruhi akar akhir yang diperoleh. Jika nilai awalnya (x0) berbeda , maka kemungkinan akar akhir (akar pendekatan) yang diperoleh juga berbeda tergantung nilai x0 nya lebih dekat ke akar yang manan (akar sebenarnya). Lanjutkan Membaca : http://mathsteria.blogspot.com/2014/12/contoh-soal-metode-newton-raphson.html.
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Metode Newton Raphson dalam Mencari Persamaan Tak Linier. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...
