Contoh Soal Menentukan Turunan Kedua dan Turunan Lanjut

Mr Math    Desember 09, 2014    turunan   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal Menentukan Turunan Kedua dan Turunan Lanjut. Silakan disimak ya guys!
>

         Untuk materi sebelumnya kita telah mempelajari "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri", namun turunan yang kita cari adalah turunan pertama saja. Pada artikel kali ini kita akan membahas materi menentukan turunan kedua dan turunan lanjut dari sebuah fungsi. Turunan lanjut di sini maksudnya adalah turunan ketiga, turunan keempat, dan seterusnya.

Menentukan Turunan Kedua dan Turunan lanjutannya

       Kita telah mempelajari turunan pertama suatu fungsi $y = f(x) \,$ yang dinotasikan $\frac{dy}{dx} \,$ atau $y^\prime \,$ atau $\frac{df(x)}{dx} \,$ atau $f^\prime (x)$.

       Turunan dari turunan pertama dari suatu fungsi dinamakan turunan kedua, yang dinotasikan :
$\frac{d}{dx}\left( \frac{dy}{dx} \right) = \frac{d^2 y }{dx^2} \,$ atau ditulis $y^{\prime \prime }$
$\frac{d}{dx}\left( \frac{df(x)}{dx} \right) = \frac{d^2 f(x) }{dx^2} \,$ atau ditulis $f^{\prime \prime } (x)$

Artinya turunan kedua dinotasikan :
$\frac{d^2 y }{dx^2} \,$ atau $y^{\prime \prime } \,$ atau $\frac{d^2 f(x) }{dx^2} \,$ atau $f^{\prime \prime } (x)$

       Dengan menurunkan lagi turunan kedua yang ada, maka kita peroleh turunan ketiga. Turunan ketiga kita turunkan lagi, kita akan peroleh turunan keempat, begitu seterusnya.
Untuk memudahkan dalam melakukan penurunan, silahkan baca juga rumus dasar "turunan fungsi aljabar" dan "turunan fungsi trigonometri".

Contoh :
1). Tentukan Turunan kedua dan ketiga dari fungsi :
a). $y = x^4 - 2x^2$
b). $f(x) = 3\sqrt{x}$
c). $y = \sin (2x+3)$
Penyelesaian :
a). Fungsi $y = x^4 - 2x^2$

Loading...

*). Menentukan turunan pertamanya ($y^\prime$) ,
$y = x^4 - 2x^2 \rightarrow y^\prime = 4x^3 - 4x$
*). Menentukan turunan keduanya ($y^{\prime \prime }$ ),
$y^\prime = 4x^3 - 4x \rightarrow y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4$
*). Menentukan turunan ketiganya ($y^{\prime \prime \prime }$),
$y^{\prime \prime } = 12x^2 - 4 \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = 24x$

b). Fungsi $f(x) = 3\sqrt{x}$
*). Menentukan turunan pertamanya ($f^\prime (x)$) ,
$f(x) = 3\sqrt{x} = 3x^\frac{1}{2} \rightarrow f^\prime (x) = 3.\frac{1}{2} . x^{-\frac{1}{2}} = \frac{3}{2}. \frac{1}{x^\frac{1}{2}} = \frac{3}{2\sqrt{x}}$
*). Menentukan turunan keduanya ($f^{\prime \prime } (x)$ ),
$f^\prime (x) = \frac{3}{2} . x^{-\frac{1}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = \frac{3}{2} . (-\frac{1}{2}) . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} = - \frac{3}{4\sqrt{x^3} }$
*). Menentukan turunan ketiganya ($f^{\prime \prime \prime } (x)$),
$f^{\prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . x^{-\frac{3}{2}} \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = - \frac{3}{4} . -\frac{3}{2} . x^{-\frac{5}{2}} = \frac{9}{8 \sqrt{x^5} }$

c). Fungsi $y = \sin (2x+3)$
*). Menentukan turunan pertamanya ($y^\prime$) ,
$y = \sin (2x+3) \rightarrow y^\prime = 2 \cos (2x+3)$
*). Menentukan turunan keduanya ($y^{\prime \prime }$ ),
$y^\prime = 2 \cos (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime } = -2.2 \sin (2x + 3) = -4 \sin (2x+3)$
*). Menentukan turunan ketiganya ($y^{\prime \prime \prime }$),
$y^{\prime \prime } = -4 \sin (2x+3) \rightarrow y^{\prime \prime \prime } = -4 . 2 \cos (2x+3) = -8\cos (2x+3)$

2). Tentukan nilai $f^{\prime \prime } (1) \,$ dan $f^{\prime \prime \prime } (2) \,$ dari fungsi $y = x^4 - 2x^2 + x - 1$ ?
Penyelesaian :
Fungsi $f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1$
*). Menentukan turunan pertamanya ($f^\prime (x)$) ,
$f(x) = x^4 - 2x^2 + x - 1 \rightarrow f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1$
*). Menentukan turunan keduanya ($f^{\prime \prime } (x)$ ),
$f^\prime (x) = 4x^3 - 4x + 1 \rightarrow f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4$
Sehingga nilai $f^{\prime \prime } (1) = 12.1^2 - 4 = 8$
*). Menentukan turunan ketiganya ($f^{\prime \prime \prime } (x)$),
$f^{\prime \prime } (x) = 12x^2 - 4 \rightarrow f^{\prime \prime \prime } (x) = 24x$
Sehingga nilai $f^{\prime \prime \prime } (2) = 24.2 = 48$
Jadi, nilai $f^{\prime \prime } (1) = 8 \,$ dan $f^{\prime \prime \prime } (2) = 48$

Catatan : Turunan kedua suatu fungsi dapat dipergunakan untuk menentukan jenis stasioner suatu fungsi dan biasanya digunakan untuk menentukan percepatan dari suatu fungsi jarak. .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal Menentukan Turunan Kedua dan Turunan Lanjut. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...