Rumus Trigonometri Sudut Ganda

Mr Math    November 10, 2014    trigonometri   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Rumus Trigonometri Sudut Ganda. Silakan disimak ya guys!
>

         Pada artikel kali ini kita akan mempelajari materi Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda. Sudut ganda yang dimaksud adalah $2\alpha \,$ dan juga bentuk $\frac{1}{2} \alpha$ . Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaik baca juga materi "Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut".

Rumus Trigonometri Sudut Ganda untuk $\sin 2\alpha , \, \cos 2\alpha , \, \tan 2\alpha$

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut ganda :
$\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
$\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$
$\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
$\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
$\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$

Pembuktian rumus trigonometri sudut ganda :
$\clubsuit$ Rumus $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$
*). Ingat rumus sinus jumlah sudut : $\sin (A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B$
$\begin{align} \sin 2\alpha & = \sin ( \alpha + \alpha ) \\ & = \sin \alpha \cos \alpha + \cos \alpha \sin \alpha \\ & = 2 \sin \alpha \cos \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\sin 2\alpha = 2 \sin \alpha \cos \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$
*). Ingat rumus $\cos (A + B) = \cos A \cos B - \sin A \sin B$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos (\alpha + \alpha ) \\ & = \cos \alpha \cos \alpha - \sin \alpha \sin \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
*). Ingat rumus identitas : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \sin ^2 A = 1 - \cos ^2 A$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = \cos ^2 \alpha - (1 - \cos ^2 \alpha ) \\ & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$

$\clubsuit$ Rumus : $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
*). Ingat rumus identitas : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \rightarrow \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A$
$\begin{align} \cos 2\alpha & = \cos ^2 \alpha - \sin ^2 \alpha \\ & = ( 1 - \sin ^2 \alpha ) - \sin ^2 \alpha \\ & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos 2\alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$

$\clubsuit$ Rumus : $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$
*). Ingat rumus : $\tan (A + B) = \frac{\tan A + \tan B}{1 - \tan A \tan B}$
$\begin{align} \tan 2\alpha & = \tan ( \alpha + \alpha ) \\ & = \frac{\tan \alpha + \tan \alpha }{1 - \tan \alpha \tan \alpha } \\ & = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan 2\alpha = \frac{2\tan \alpha }{1 - \tan ^2 \alpha }$

Contoh :
1). Diketahui nilai $\sin A = - \frac{3}{5} \,$ dengan A di kuadran III. Tentukan nilai $\sin 2A, \, \cos 2A, \,$ dan $\tan 2A$ ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $\cos A, \,$ dan $\tan A$
diketahui $\sin A = - \frac{3}{5} \rightarrow \sin A = - \frac{3}{5} = \frac{de}{mi}$
artinya sisi depan adalah 3 dan sisi miring adalah 5, berdasarkan pythagoras diperoleh sisi sampingnya adalah 4.
Sehingga, nilai $\cos A = \frac{sa}{mi} = - \frac{4}{5} \,$ dan $\tan A = \frac{de}{sa} = \frac{3}{4}$
Catatan : di kuadran III, nilai sin negatif, nilai cos negatif, dan nilai Tan positif.
*). Menentukan hasilnya ,
$\begin{align} \sin 2A & = 2 \sin A \cos A \\ & = 2 . (- \frac{3}{5}) . (- \frac{4}{5} ) \\ & = \frac{24}{25} \\ \cos 2A & = 2 \cos ^2 A - 1 \\ & = 2. ( - \frac{4}{5} )^2 - 1 \\ & = 2. \frac{16}{25} - 1 \\ & = \frac{32}{25} - \frac{25}{25} \\ & = \frac{7}{25} \\ \tan 2A & = \frac{2\tan A}{1 - \tan ^2 A} \\ & = \frac{2. \frac{3}{4} }{1 -( \frac{3}{4} )^2 } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } \\ & = \frac{ \frac{6}{4} }{1 - \frac{9}{16} } . \frac{16}{16} \\ & = \frac{ 24}{16 - 9 } \\ & = \frac{ 24}{7 } \end{align}$
Jadi, diperoleh : $\sin 2A = \frac{24}{25} , \, \cos 2A = \frac{7}{25}, \,$ dan $\tan 2A = \frac{ 24}{7 }$

Rumus Trigonometri untuk $\sin \frac{1}{2} A , \, \cos \frac{1}{2} A, \,$ dan $\tan \frac{1}{2} A$

       Berikut rumus dasarnya untuk sudut $\frac{1}{2}A$

Loading...

$\begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} \\ \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} \\ \tan \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align}$ Pembuktian Rumus sudut $\frac{1}{2} A$ :
Misalkan $2\alpha = A \rightarrow \alpha = \frac{1}{2} A$
Substitusi bentuk permisalan di atas ke persamaan yan digunakan.
$\spadesuit$ Rumus : $\sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}}$
*). gunakan rumus : $\cos 2 \alpha = 1 - 2\sin ^2 \alpha$
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 1 - 2\sin ^2 \alpha \\ \cos A & = 1 - 2\sin ^2 \frac{1}{2} A \\ 2\sin ^2 \frac{1}{2} A & = 1 - \cos A \\ \sin ^2 \frac{1}{2} A & = \frac{1 - \cos A}{2} \\ \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}}$

$\spadesuit$ Rumus : $\cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
*). gunakan rumus : $\cos 2 \alpha = 2\cos ^2 \alpha - 1$
$\begin{align} \cos 2 \alpha & = 2\cos ^2 \alpha - 1 \\ \cos A & = 2\cos ^2 \frac{1}{2}A - 1 \\ 2\cos ^2 \frac{1}{2}A & = 1 + \cos A \\ \cos ^2 \frac{1}{2}A & = \frac{1 + \cos A}{2} \\ \cos \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$

$\spadesuit$ Rumus : $\tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A }$
*). gunakan rumus : $\tan \frac{1}{2}A = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } , \, \sin \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} , \, \cos \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}}$
*). Rumus Pertama :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin \frac{1}{2}A }{\cos \frac{1}{2}A } \\ & = \frac{ \sqrt{\frac{1- \cos A}{2}} }{ \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2}} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \end{align}$
*). Rumus kedua :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{ \frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 + \cos A}{1 + \cos A} } \\ & = \sqrt{ \frac{1- \cos ^2 A}{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \sqrt{ \frac{\sin ^2 A }{(1 + \cos A)^2} } \\ & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \end{align}$
*). Rumus ketiga :
$\begin{align} \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} } \\ \tan \frac{1}{2}A & = \sqrt{\frac{1- \cos A}{1 + \cos A} \times \frac{1 - \cos A}{1 - \cos A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{1 - \cos ^2 A} } \\ & = \sqrt{\frac{(1- \cos A)^2}{\sin ^2 A } } \\ & = \frac{1- \cos A}{\sin A } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan \frac{1}{2} A = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{1 + \cos A}} = \frac{\sin A}{1+ \cos A} = \frac{1- \cos A}{\sin A }$

Contoh :
2). Hitunglah nilai dari :
a). $\sin 15^\circ$
b). $\cos 67,5^\circ$
c). $\tan 22,5^\circ$
Penyelesaian :
a). $\frac{1}{2}A = 15^\circ \rightarrow A = 30^\circ$
$\begin{align} \sin \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 - \cos A}{2} } \\ \sin 15^\circ & = \sqrt{\frac{1 - \cos 30^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 - \frac{1}{2} \sqrt{3} }{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{3} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} } \end{align}$
Jadi, nilai $\sin 15^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{3} }$

b). $\frac{1}{2}A = 67,5^\circ \rightarrow A = 135^\circ$
nilai $\cos 135^\circ = \cos ( 180^\circ - 45^\circ ) = -\cos 45^\circ = -\frac{1}{2} \sqrt{2}$
Lihat materi " Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi "
$\begin{align} \cos \frac{1}{2} A & = \sqrt{\frac{1 + \cos A}{2} } \\ \cos 67,5^\circ & = \sqrt{\frac{1 + \cos 135^\circ}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{1 + (-\frac{1}{2} \sqrt{2} )}{2} } \\ & = \sqrt{\frac{2 - \sqrt{2} }{4} } \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} } \end{align}$
Jadi, nilai $\cos 67,5^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2 - \sqrt{2} }$

c). $\frac{1}{2}A = 22,5^\circ \rightarrow A = 45^\circ$
$\begin{align} \tan \frac{1}{2} A & = \frac{\sin A}{1+ \cos A} \\ \tan 22,5^\circ & = \frac{\sin 45^\circ}{1+ \cos 45^\circ} \\ & = \frac{\frac{1}{2} \sqrt{2} }{1+ \frac{1}{2} \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \\ & = \frac{ \sqrt{2} }{2+ \sqrt{2} } \times \frac{2 - \sqrt{2} }{2 - \sqrt{2} } \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{4 - 2} \\ & = \frac{ 2\sqrt{2} - 2 }{2} \\ & = \sqrt{2} - 1 \end{align}$
Jadi, nilai $\tan 22,5^\circ = \sqrt{2} - 1$

Rumus Trigonometri Sudut rangkap tiga untuk $\sin 3\alpha , \, \cos 3\alpha , \, \tan 3\alpha$

       Berikut rumus-rumus trigonometri sudut rangkap tiga :
$\sin 3\alpha = 3 \sin \alpha - 4\sin ^3 \alpha$
$\cos 3\alpha = 4\cos ^3 \alpha - 3\cos \alpha$
$\tan 3 \alpha = \frac{3\tan \alpha - \tan ^3 \alpha}{1 - 3 \tan ^2 \alpha }$

Untuk pembuktiannya, coba sendiri dengan cara :
$\sin 3 \alpha = \sin (2\alpha + \alpha )$
$\cos 3 \alpha = \cos (2\alpha + \alpha )$
$\tan 3 \alpha = \tan (2\alpha + \alpha )$

.

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Rumus Trigonometri Sudut Ganda. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...