Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut

Mr Math    November 10, 2014    trigonometri   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut. Silakan disimak ya guys!
>

         Rumus Trigonometri untuk Jumlah dan Selisih Dua Sudut digunakan untuk menentukan nilai trigonometri dengan sudut yaang tidak istimewa. Mialkan, nilai $\sin 75^\circ \,$ dapat ditentukan dengan memecah sudutnya menjadi $\sin ( 45^\circ + 30^\circ )$ . contoh yang lain adalah nilai $\cos 15^\circ \,$ dapat dipecah menjadi $\cos ( 45^\circ - 30^\circ )$ . Untuk memudahkan memahami materi rumus trigonometri untuk jumlah dan selisih dua sudut, silahkan baca dulu materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi", "Koordinat Kutub dan Koordinat Cartesius pada Trigonometri", "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga", "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku", dan "jarak antara dua titik".

Rumus Trigonometri cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk cosinus adalah :
$\begin{align} \cos ( \alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \\ \cos ( \alpha - \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align}$

Pembuktian rumus cosinus jumlah dan selisih dua sudut.
Untuk membuktikan rumus cosinus, ada dua cara yaitu :

Cara I : Menggunakan konsep jarak dua titik
Perhatikan gambar berikut,

$\clubsuit$ Gambar di atas adalah lingkaran yang berpusat di O dan berjari-jari $r$. Dari gambar tersebut, diperoleh $OC=OB=OD=OA = r \,$ dan koordinat titik-titik kutubnya yaitu titik A, titik B, titik C, dan titik D, adalah $A(r, 0), B(r \cos \alpha, r \sin \alpha ), C(r \cos(\alpha + \beta ), r \sin(\alpha + \beta ))$ , dan $D(r \cos \beta , -r \sin \beta )$.
$\clubsuit$ Konsep jarak (AB) dua titik A($x_1,y_1$) dan B($x_2,y_2$) :
$\begin{align} AB & = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 } \\ AB^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \end{align}$
$\clubsuit$ Identitas trigonometri : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$
$\clubsuit$ Jarak AC : $A(r, 0) \,$ dan $C (r \cos(\alpha + \beta ) , r \sin(\alpha + \beta ))$
$\begin{align} AC^2 & = [r \cos(\alpha + \beta ) - r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) - 0 ]^2 \\ & = [r \cos(\alpha + \beta ) - r]^2 + [r \sin(\alpha + \beta ) - 0 ]^2 \\ & = r^2 \cos ^2 (\alpha + \beta ) - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 + r^2 \sin ^2 (\alpha + \beta ) \\ & = r^2 [\cos ^2 (\alpha + \beta ) + \sin ^2 (\alpha + \beta ) ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 \\ & = r^2 [1 ]- 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) + r^2 \\ AC^2 & = 2r^2 - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) \end{align}$
$\clubsuit$ Jarak DB : $D(r \cos \beta , -r \sin \beta ) \,$ dan $B(r \cos \alpha, r \sin \alpha )$
$\begin{align} DB^2 & = [r \cos \alpha - r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha - ( -r \sin \beta ) ]^2 \\ & = [r \cos \alpha - r \cos \beta]^2 + [r \sin \alpha + r \sin \beta ]^2 \\ & = (r^2 \cos ^2 \alpha - 2r^2 \cos \alpha \cos \beta + r^2 \cos ^2 \beta ) + ( r^2 \sin ^2 \alpha + 2r^2 \sin \alpha \sin \beta + r^2 \sin ^2 \beta ) \\ & = r^2 (\cos ^2 \alpha + \sin ^2 \alpha ) + r^2 ( \cos ^2 \beta + \sin ^2 \beta) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ & = r^2 (1 ) + r^2 ( 1 ) -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ DB^2 & = 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \end{align}$
$\clubsuit$ Panjang AC sama dengan panjang DB
$\begin{align} AC & = DB \\ AC^2 & = DB^2 \\ 2r^2 - 2r^2 \cos(\alpha + \beta ) & = 2r^2 -2r^2 ( \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta ) \\ \cos(\alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align}$
Sehingga Terbukti : $\cos(\alpha + \beta ) = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$

$\clubsuit$ Membuktikan rumus $\cos(\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$
Konsep sudut negatif : $\sin (-A) = - \sin A \,$ dan $\cos ( -A) = \cos A$
Menggunakan rumus jumlah dua sudut : $\begin{align} \cos(\alpha + \beta ) & = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta \end{align}$
$\begin{align} \cos(\alpha - \beta ) & = \cos(\alpha + (- \beta) ) \\ & = \cos \alpha \cos (-\beta) - \sin \alpha \sin (- \beta ) \\ & = \cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha . (- \sin \beta) \\ & = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta \end{align}$
Sehingga terbukti : $\cos(\alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

Cara II : Menggunakan aturan cosinus pada segitiga :
Perhatikan gambar berikut,

Pada gambar, lingkaran dengan jari-jari 1 dan pusat lingkaran O. Titik koordinat kutubnya adalah titik P dan titik Q yaitu $P(\cos a , \sin a) \,$ dan $Q(\cos b , \sin b ) \,$ serta PO = QO = 1.
$\spadesuit$ Identitas trigonometri : $\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1$
$\spadesuit$ Jarak titik P dan Q :
$\begin{align} PQ^2 & = (x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2 \\ PQ^2 & = (\cos a - \cos b)^2 + (\sin a - \sin b)^2 \\ & = (\cos ^2 a - 2\cos a \cos b + \cos ^2 a) + (\sin ^2 a - 2\sin a \sin b + \sin ^2 a) \\ & = ( \sin ^2 a + \cos ^2 a ) + (\sin ^2 b + \cos ^2 b ) - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ & = (1) + (1 ) - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ PQ^2 & = 2 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \end{align}$
$\spadesuit$ Aturan cosinus pada segitiga POQ
substitusi juga $PQ^2 = 2 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b)$
$\begin{align} PQ^2 & = PO^2 + QO^2 - 2.PO.QO .\cos (a-b) \\ PQ^2 & = 1^2 + 1^2 - 2.1.1 . \cos (a-b) \\ 2 - 2 \cos (a-b) & = PQ^2 \, \, \, \, \, \text{(substitusi } PQ^2 ) \\ 2 - 2 \cos (a-b) & = 2 - 2(\cos a \cos b + \sin a \sin b) \\ \cos (a-b) & = \cos a \cos b + \sin a \sin b \end{align}$
sehingga terbukti : $\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$

Contoh :
1). Tentukan nilai trigonometri berikut :
a). $\cos 75^\circ$
b). $\cos 15^\circ$
c). $\cos 105^\circ$
Penyelesaian :
a). Nilai $\cos 75^\circ$
Gunakan rumus : $\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\begin{align} \cos 75^\circ & = \cos (45^\circ + 30^\circ) \\ & = \cos 45^\circ \cos 30^\circ - \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} - 1) \end{align}$
Sehingga nilai $\cos 75^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\sqrt{3} - 1)$

b). Nilai $\cos 15^\circ$
Gunakan rumus : $\cos (a-b) = \cos a \cos b + \sin a \sin b$
$\begin{align} \cos 15^\circ & = \cos (45^\circ - 30^\circ) \\ & = \cos 45^\circ \cos 30^\circ -+ \sin 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\frac{1}{2}\sqrt{3} + 1) \end{align}$
Sehingga nilai $\cos 15^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (\sqrt{3} + 1)$

c). Nilai $\cos 105^\circ$
Gunakan rumus : $\cos (a+b) = \cos a \cos b - \sin a \sin b$
$\begin{align} \cos 105^\circ & = \cos (60^\circ + 45^\circ) \\ & = \cos 60^\circ \cos 45^\circ - \sin 60^\circ \sin 45^\circ \\ & = \frac{1}{2} . \frac{1}{2}\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{3} . \frac{1}{2} \sqrt{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2} (1- \sqrt{3}) \end{align}$

Loading...

Sehingga nilai $\cos 105^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2} (1- \sqrt{3})$

Rumus Trigonometri sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk sinus adalah :
$\begin{align} \sin ( \alpha + \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \\ \sin ( \alpha - \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \\ \end{align}$

Pembuktian rumus sinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*). Sebelumnya telah dipelajari sudut komplemen pada materi "Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut Berelasi" .
Sudut komplemen : $\sin A = \cos (90^\circ - A ) \,$ dan $\cos A = \sin (90^\circ - A)$
*). Menenrapkan sudut komplemen dan rumus cosinus untuk jumlah dan selisih dua sudut :
$\begin{align} \sin ( \alpha + \beta ) & = \cos [90^\circ - ( \alpha + \beta )] \\ & = \cos [90^\circ - \alpha - \beta ] \\ & = \cos [(90^\circ - \alpha) - \beta ] \\ & = \cos (90^\circ - \alpha) \cos \beta + \sin (90^\circ - \alpha) \sin \beta \\ \sin ( \alpha + \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta \end{align}$
Jadi, terbukti : $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$

*). Pembuktian rumus sinus : $\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
$\begin{align} \sin ( \alpha - \beta ) & = \sin ( \alpha +(-\beta)) \\ & = \sin \alpha \cos (-\beta ) + \cos \alpha \sin ( - \beta ) \\ & = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha . (- \sin \beta ) \\ \sin ( \alpha - \beta ) & = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta \end{align}$
Jadi, terbukti : $\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

Contoh :
2). Tentukan nilai trigonometri beriktu :
a). $\sin 75^\circ$
b). $\sin 15^\circ$
penyelesaian :
a). Nilai $\sin 75^\circ$
gunakan rumus : $\sin ( \alpha + \beta ) = \sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta$
$\begin{align} \sin 75^\circ & = \sin ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ + \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} + \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1) \end{align}$
Sehingga nilai $\sin 75^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} + 1)$

b). Nilai $\sin 15^\circ$
gunakan rumus : $\sin ( \alpha - \beta ) = \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$
$\begin{align} \sin 15^\circ & = \sin ( 45^\circ - 30^\circ ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 30^\circ - \cos 45^\circ \sin 30^\circ \\ & = \frac{1}{2}\sqrt{2}. \frac{1}{2}\sqrt{3} - \frac{1}{2}\sqrt{2} . \frac{1}{2} \\ & = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1) \end{align}$
Sehingga nilai $\sin 15^\circ = \frac{1}{4}\sqrt{2}(\sqrt{3} - 1)$

Rumus Trigonometri Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut

       Rumus Jumlah dan selisih dua sudut untuk Tan adalah :
$\begin{align} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{\tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } \\ \tan ( \alpha - \beta ) & = \frac{\tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta } \\ \end{align}$

Pembuktian rumus Tan untuk jumlah dan selisih dua sudut :
*) gunakan rumus sin dan cos jumlah serta selisih sudut, dan $\tan A = \frac{\sin A}{\cos A}$
$\begin{align} \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \sin ( \alpha + \beta ) }{\cos ( \alpha + \beta )} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} \\ & = \frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta} . \frac{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{1}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha \cos \beta }{\cos \alpha \cos \beta} + \frac{\cos \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}}{\frac{ \cos \alpha \cos \beta}{\cos \alpha \cos \beta} - \frac{ \sin \alpha \sin \beta}{\cos \alpha \cos \beta}} \\ & = \frac{\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha } + \frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}}{1 - \frac{ \sin \alpha }{\cos \alpha }\frac{ \sin \beta}{ \cos \beta}} \\ \tan ( \alpha + \beta ) & = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta }$

*). Pembuktian rumus : $\tan ( \alpha - \beta ) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta }$
*). sudut negatif : $\tan (-A) = - \tan A$
$\begin{align} \tan ( \alpha - \beta ) & = \tan ( \alpha + (- \beta )) \\ & = \frac{ \tan \alpha + \tan (-\beta )}{1 - \tan \alpha \tan (-\beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 - \tan \alpha . (- \tan \beta ) } \\ & = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta }{1 + \tan \alpha \tan \beta } \end{align}$
Sehingga terbukti : $\tan ( \alpha - \beta ) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta }$

Contoh :
3). Tentukan nilai trigonometri dari :
a). $\tan 75^\circ$
b). $\tan 15^\circ$
Penyelesaian :
a). $\tan 75^\circ$
gunakan : $\tan ( \alpha + \beta ) = \frac{ \tan \alpha + \tan \beta}{1 - \tan \alpha \tan \beta }$
$\begin{align} \tan 75^\circ & = \tan ( 45^\circ + 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ + \tan 30^\circ}{1 - \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 - \frac{1}{3} \sqrt{3} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } . \frac{ 3 + \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 + 6\sqrt{3} + 3 }{9 - 3 } \\ & = \frac{ 12 + 6\sqrt{3} }{6 } \\ \tan 75^\circ & = 2 + \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\tan 75^\circ = 2 + \sqrt{3}$

b). $\tan 15^\circ$
gunakan : $\tan ( \alpha - \beta ) = \frac{ \tan \alpha - \tan \beta}{1 + \tan \alpha \tan \beta }$
$\begin{align} \tan 15^\circ & = \tan ( 45^\circ - 30^\circ ) \\ & = \frac{ \tan 45^\circ - \tan 30^\circ}{1 + \tan 45^\circ \tan 30^\circ } \\ & = \frac{ 1 - \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 + 1.\frac{1}{3} \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 1 - \frac{1}{3} \sqrt{3} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3 + \sqrt{3} } . \frac{ 3 - \sqrt{3} }{3 - \sqrt{3} } \\ & = \frac{ 9 - 6\sqrt{3} + 3 }{9 - 3 } \\ & = \frac{ 12 - 6\sqrt{3} }{6 } \\ \tan 15^\circ & = 2 - \sqrt{3} \end{align}$
Jadi, nilai $\tan 15^\circ = 2 - \sqrt{3}$

4). Jika diketahui $\sin 5^\circ = x \,$ , tentukan nilai dari :
a). $\sin 50^\circ$
b). $\cos 65^\circ$
c). $\tan 25^\circ$
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $\cos 5^\circ \,$ dan $\tan 5^\circ$
Diketahui $\sin 5^\circ = x \rightarrow \sin 5^\circ = \frac{de}{mi} = \frac{x}{1}$
artinya sisi depan adalah $x \,$ dan sisi miring adalah 1, dengan pythagoras diperoleh sisi samping adalah $\sqrt{1-x^2}$ .
sehingga nilai : $\cos 5^\circ = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1-x^2}}{1} = \sqrt{1-x^2} \,$ dan $\tan 5^\circ = \frac{de}{sa} = \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}$
a). Nilai $\sin 50^\circ$
$\begin{align} \sin 50^\circ & = \sin (45^\circ + 5^\circ) \\ & = \sin 45^\circ \cos 5^\circ + \cos 45^\circ \sin 5^\circ \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2}. \sqrt{1-x^2} + \frac{1}{2} \sqrt{2}. x \\ & = \frac{1}{2} \sqrt{2}( \sqrt{1-x^2} + x ) \end{align}$
jadi, nilai $\sin 50^\circ = \frac{1}{2} \sqrt{2}( \sqrt{1-x^2} + x )$

b). Nilai $\cos 65^\circ$
$\begin{align} \cos 65^\circ & = \cos (60^\circ + 5^\circ) \\ & = \cos 60^\circ \cos 5^\circ - \sin 60^\circ \sin 5^\circ \\ & = \frac{1}{2}. \sqrt{1-x^2} - \frac{1}{2} \sqrt{3} . x \\ & = \frac{1}{2} ( \sqrt{1-x^2} - \sqrt{3} x ) \end{align}$
jadi, nilai $\cos 65^\circ = \frac{1}{2} ( \sqrt{1-x^2} - \sqrt{3} x )$

c). Nilai $\tan 25^\circ$
$\begin{align} \tan 25^\circ & = \tan (30^\circ - 5^\circ ) \\ & = \frac{\tan 30^\circ - \tan 5^\circ }{1 + \tan 30^\circ \tan 5^\circ } \\ & = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{3} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} . \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} } \\ & = \frac{\frac{1}{3} \sqrt{3} - \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} }{1 + \frac{1}{3} \sqrt{3} \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} } . \frac{3}{3} \\ & = \frac{ \sqrt{3} - \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} }{3 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{1-x^2}} } \end{align}$
jadi, nilai $\tan 25^\circ = \frac{ \sqrt{3} - \frac{3x}{\sqrt{1-x^2}} }{3 + \frac{\sqrt{3} x}{\sqrt{1-x^2}} }$ .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Rumus Trigonometri untuk Selisih dan Jumlah Dua Sudut. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...