Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Setelah mempelajari materi "penyelesaian limit fungsi aljabar", kali ini kita akan lanjutkan materi limit untuk penyelesaian limit fungsi trigonometri. Disini kita akan melibatkan fungsi trigonometri, sehingga kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan trigonometri. Persamaan trigonometri yang biasa dipakai pada limit adalah persamaan identitas trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" , "rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan", dan "rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut".
Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→0sin3x5x b). limx→02x3sin5x c). limx→07tan2x4x d). limx→02x9tan2x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, limx→0sinaxax=1
limx→0sin3x5x=limx→0sin3x5x×3x3x=limx→0sin3x3x×3x5x=limx→0sin3x3x×35=1×35=35
Sehingga nilai limx→0sin3x5x=35
Cara II : Menggunakan sifat umum , limx→0sinaxbx=ab
limx→0sin3x5x=35
Sehingga nilai limx→0sin3x5x=35
c). limx→07tan2x4x=limx→07×tan2x4x=7×24=72
d). limx→02x9tan2x=limx→02xtan2x×19=22×19=19
2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→0sin2xsin3x b). limx→0tan6xtan2x c). limx→0sin3xtan2x d). limx→0tan4xsin8x e). limx→03x.cot7x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
limx→0sin2xsin3x=limx→0sin2xsin3x.2x2x.3x3x=limx→0sin2x2x.3xsin3x.2x3x=limx→0sin2x2x.3xsin3x.23=1.1.23=23
Sehingga nilai limx→0sin2xsin3x=23
Cara II : Mengunakan sifat umum : limx→0sinaxsinbx=ab
limx→0sin2xsin3x=23
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). limx→0tan6xtan2x=62=3
c). limx→0sin3xtan2x=32
d). limx→0tan4xsin8x=48=12
e). limx→03x.cot7x=limx→03x.1tan7x=limx→03xtan7x=37
Ingat : cotA=1tanA
3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). limx→02−2cos2x3x2 b). limx→0cos2xx−π4 c). limx→01−cosxxsin2x d). limx→03x+sin2x5x
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : cos2x=1−2sin2x
Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.
Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri
Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri salah satu caranya adalah menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri yaitu :
♣ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). limx→0sinxx=1, berlaku juga limx→0sinaxax=1
ii). limx→0xsinx=1, berlaku juga limx→0axsinax=1
iii). limx→0tanxx=1, berlaku juga limx→0tanaxax=1
iv). limx→0xtanx=1, berlaku juga limx→0axtanax=1
♣ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). limx→0sinaxbx=ab atau limx→0axsinbx=ab
ii). limx→0tanaxbx=ab atau limx→0axtanbx=ab
iii). limx→0sinaxsinbx=ab atau limx→0tanaxtanbx=ab
iv). limx→0sinaxtanbx=ab atau limx→0tanaxsinbx=ab
Catatan : Untuk bentuk fungsi cos, maka harus diubah dulu menjadi bentuk sin agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
♣ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). limx→0sinxx=1, berlaku juga limx→0sinaxax=1
ii). limx→0xsinx=1, berlaku juga limx→0axsinax=1
iii). limx→0tanxx=1, berlaku juga limx→0tanaxax=1
iv). limx→0xtanx=1, berlaku juga limx→0axtanax=1
♣ Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). limx→0sinaxbx=ab atau limx→0axsinbx=ab
ii). limx→0tanaxbx=ab atau limx→0axtanbx=ab
iii). limx→0sinaxsinbx=ab atau limx→0tanaxtanbx=ab
iv). limx→0sinaxtanbx=ab atau limx→0tanaxsinbx=ab
Catatan : Untuk bentuk fungsi cos, maka harus diubah dulu menjadi bentuk sin agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→0sin3x5x b). limx→02x3sin5x c). limx→07tan2x4x d). limx→02x9tan2x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, limx→0sinaxax=1
limx→0sin3x5x=limx→0sin3x5x×3x3x=limx→0sin3x3x×3x5x=limx→0sin3x3x×35=1×35=35
Sehingga nilai limx→0sin3x5x=35
Cara II : Menggunakan sifat umum , limx→0sinaxbx=ab
limx→0sin3x5x=35
Sehingga nilai limx→0sin3x5x=35
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.b). limx→02x3sin5x=limx→02xsin5x×13=25×13=215
c). limx→07tan2x4x=limx→07×tan2x4x=7×24=72
d). limx→02x9tan2x=limx→02xtan2x×19=22×19=19
2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→0sin2xsin3x b). limx→0tan6xtan2x c). limx→0sin3xtan2x d). limx→0tan4xsin8x e). limx→03x.cot7x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
limx→0sin2xsin3x=limx→0sin2xsin3x.2x2x.3x3x=limx→0sin2x2x.3xsin3x.2x3x=limx→0sin2x2x.3xsin3x.23=1.1.23=23
Sehingga nilai limx→0sin2xsin3x=23
Cara II : Mengunakan sifat umum : limx→0sinaxsinbx=ab
limx→0sin2xsin3x=23
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). limx→0tan6xtan2x=62=3
c). limx→0sin3xtan2x=32
d). limx→0tan4xsin8x=48=12
e). limx→03x.cot7x=limx→03x.1tan7x=limx→03xtan7x=37
Ingat : cotA=1tanA
3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). limx→02−2cos2x3x2 b). limx→0cos2xx−π4 c). limx→01−cosxxsin2x d). limx→03x+sin2x5x
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : cos2x=1−2sin2x
Loading...
limx→02−2cos2x3x2=limx→02(1−cos2x)3x.x=limx→02(1−[1−2sin2x])3x.x=limx→02(1−1+2sin2x)3x.x=limx→02(2sin2x)3x.x=limx→04sinxsinx3x.x=limx→04.sinx3x.sinxx=4.13.1=43
Sehingga nilai limx→02−2cos2x3x2=43
b). Ingat rumus : cos2x=1−2sin2x dan cos(π2+A)=−sinA
Misalkan : p=x−π4→x=p+π4
Untuk x mendekati π4 maka p mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
limx→0cos2xx−π4=limx−π4→0cos2xx−π4=limp→0cos2(p+π4)p=limp→0cos(π2+2p)p=limp→0−sin2pp=−21=−2
Sehingga nilai limx→0cos2xx−π4=−2
c). Ingat rumus : cospx=1−2sin2p2x
Sehingga : cosx=cos1.x=1−2sin212x
limx→01−cosxxsin2x=limx→01−(1−2sin212x)xsin2x=limx→01−1+2sin212xxsin2x=limx→02sin212xxsin2x=limx→02sin12x.sin12xxsin2x=limx→02.sin12xx.sin12xsin2x=2.121.122=2.12.14=14
Sehingga nilai limx→01−cosxxsin2x=14
d). limx→03x+sin2x5x=limx→0(3x5x+sin2x5x)=35+25=55=1
4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). limx→∞xsin1x b). limx→0tanx−sinx4x3
Penyelesaian :
a). Misalkan : y=1x→x=1y
Untuk x mendekati ∞ maka y mendekati 0. (y=1x=1∞=0) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
limx→∞xsin1x=lim1x→1∞xsin1x=limy→01y.siny=limy→0sinyy=1
Sehingga nilai limx→∞xsin1x=
b). Ingat rumus : cosx=1−2sin212x dan tanx=sinxcosx
limx→0tanx−sinx4x3=limx→0sinxcosx−sinx4x3=limx→0sinxcosx−sinxcosxcosx4x3=limx→0sinx−sinxcosxcosx4x3=limx→0sinx−sinxcosx4x3.cosx=limx→0sinx(1−cosx)4x.x.x.cosx=limx→0sinx(1−[1−2sin212x])4x.x.x.cosx=limx→0sinx(2sin212x)4x.x.x.cosx=limx→02sinx.sin12x.sin12x4x.x.x.cosx=limx→024.sinxx.sin12xx.sin12xx.1cosx=12.1.121.121.1cos0=12.1.12.12.11=18
Sehingga nilai limx→0tanx−sinx4x3=18
Contoh :
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→1sin(x−1)x2−1 b). limx→2x2+x−6tan(x−2) c). limx→0sinx√4+x−2
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : p2−q2=(p−q)(p+q)
limx→1sin(x−1)x2−1=limx→1sin(x−1)(x−1)(x+1)=limx→1sin(x−1)(x−1).1x+1=1.11+1=12
Sehingga nilai limx→1sin(x−1)x2−1=12
b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
limx→2x2+x−6tan(x−2)=limx→2(x−2)(x+3)tan(x−2)=limx→2(x−2)tan(x−2).(x+3)=1.(2+3)=5
Jadi, nilai limx→2x2+x−6tan(x−2)=5
c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
limx→0sinx√4+x−2=limx→0sinx√4+x−2×√4+x+2√4+x+2=limx→0sinx(4+x)−4×(√4+x+2)=limx→0sinxx×(√4+x+2)=1×(√4+0+2)=1×(2+2)=4
Jadi, nilai limx→0sinx√4+x−2=4
6). Tentukan nilai limh→0f(x+h)−f(x)h untuk fungsi f(x)=cosx
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
Sehingga : f(x+h)=cos(x+h)=cosxcosh−sinxsinh
*). Rumus : cospx=1−2sin212x
Sehingga : cosh=1−2sin212h
bentuk : cosh−1=(1−2sin212h)−1=−2sin212h=−2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(cosxcosh−sinxsinh)−cosxh=limh→0(cosxcosh−cosx)−sinxsinhh=limh→0cosx(cosh−1)−sinxsinhh=limh→0cosx(cosh−1)h−limh→0sinxsinhh=cosx.limh→0(cosh−1)h−sinx.limh→0sinhh=cosx.limh→0−2sin12h.sin12hh−sinx.limh→0sinhh=cosx.limh→0sin12hh.(−2sin12h)−sinx.limh→0sinhh=cosx.12.(−2sin120)−sinx.1=cosx.12.(−2sin0)−sinx=cosx.12.(0)−sinx=0−sinxlimh→0f(x+h)−f(x)h=−sinx .
Sehingga nilai limx→02−2cos2x3x2=43
b). Ingat rumus : cos2x=1−2sin2x dan cos(π2+A)=−sinA
Misalkan : p=x−π4→x=p+π4
Untuk x mendekati π4 maka p mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
limx→0cos2xx−π4=limx−π4→0cos2xx−π4=limp→0cos2(p+π4)p=limp→0cos(π2+2p)p=limp→0−sin2pp=−21=−2
Sehingga nilai limx→0cos2xx−π4=−2
c). Ingat rumus : cospx=1−2sin2p2x
Sehingga : cosx=cos1.x=1−2sin212x
limx→01−cosxxsin2x=limx→01−(1−2sin212x)xsin2x=limx→01−1+2sin212xxsin2x=limx→02sin212xxsin2x=limx→02sin12x.sin12xxsin2x=limx→02.sin12xx.sin12xsin2x=2.121.122=2.12.14=14
Sehingga nilai limx→01−cosxxsin2x=14
d). limx→03x+sin2x5x=limx→0(3x5x+sin2x5x)=35+25=55=1
4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). limx→∞xsin1x b). limx→0tanx−sinx4x3
Penyelesaian :
a). Misalkan : y=1x→x=1y
Untuk x mendekati ∞ maka y mendekati 0. (y=1x=1∞=0) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
limx→∞xsin1x=lim1x→1∞xsin1x=limy→01y.siny=limy→0sinyy=1
Sehingga nilai limx→∞xsin1x=
b). Ingat rumus : cosx=1−2sin212x dan tanx=sinxcosx
limx→0tanx−sinx4x3=limx→0sinxcosx−sinx4x3=limx→0sinxcosx−sinxcosxcosx4x3=limx→0sinx−sinxcosxcosx4x3=limx→0sinx−sinxcosx4x3.cosx=limx→0sinx(1−cosx)4x.x.x.cosx=limx→0sinx(1−[1−2sin212x])4x.x.x.cosx=limx→0sinx(2sin212x)4x.x.x.cosx=limx→02sinx.sin12x.sin12x4x.x.x.cosx=limx→024.sinxx.sin12xx.sin12xx.1cosx=12.1.121.121.1cos0=12.1.12.12.11=18
Sehingga nilai limx→0tanx−sinx4x3=18
Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar
Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat berikut :
i). limx→ksinaf(x)bf(x)=ab atau limx→kaf(x)sinbf(x)=ab
ii). limx→ktanaf(x)bf(x)=ab atau limx→kaf(x)tanbf(x)=ab
iii). limx→ksinaf(x)sinbf(x)=ab atau limx→ktanaf(x)tanbf(x)=ab
iv). limx→ksinaf(x)tanbf(x)=ab atau limx→ktanaf(x)sinbf(x)=ab
Dengan syarat : f(k)=0
i). limx→ksinaf(x)bf(x)=ab atau limx→kaf(x)sinbf(x)=ab
ii). limx→ktanaf(x)bf(x)=ab atau limx→kaf(x)tanbf(x)=ab
iii). limx→ksinaf(x)sinbf(x)=ab atau limx→ktanaf(x)tanbf(x)=ab
iv). limx→ksinaf(x)tanbf(x)=ab atau limx→ktanaf(x)sinbf(x)=ab
Dengan syarat : f(k)=0
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx→1sin(x−1)x2−1 b). limx→2x2+x−6tan(x−2) c). limx→0sinx√4+x−2
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : p2−q2=(p−q)(p+q)
limx→1sin(x−1)x2−1=limx→1sin(x−1)(x−1)(x+1)=limx→1sin(x−1)(x−1).1x+1=1.11+1=12
Sehingga nilai limx→1sin(x−1)x2−1=12
b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
limx→2x2+x−6tan(x−2)=limx→2(x−2)(x+3)tan(x−2)=limx→2(x−2)tan(x−2).(x+3)=1.(2+3)=5
Jadi, nilai limx→2x2+x−6tan(x−2)=5
c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
limx→0sinx√4+x−2=limx→0sinx√4+x−2×√4+x+2√4+x+2=limx→0sinx(4+x)−4×(√4+x+2)=limx→0sinxx×(√4+x+2)=1×(√4+0+2)=1×(2+2)=4
Jadi, nilai limx→0sinx√4+x−2=4
6). Tentukan nilai limh→0f(x+h)−f(x)h untuk fungsi f(x)=cosx
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : cos(A+B)=cosAcosB−sinAsinB
Sehingga : f(x+h)=cos(x+h)=cosxcosh−sinxsinh
*). Rumus : cospx=1−2sin212x
Sehingga : cosh=1−2sin212h
bentuk : cosh−1=(1−2sin212h)−1=−2sin212h=−2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
limh→0f(x+h)−f(x)h=limh→0(cosxcosh−sinxsinh)−cosxh=limh→0(cosxcosh−cosx)−sinxsinhh=limh→0cosx(cosh−1)−sinxsinhh=limh→0cosx(cosh−1)h−limh→0sinxsinhh=cosx.limh→0(cosh−1)h−sinx.limh→0sinhh=cosx.limh→0−2sin12h.sin12hh−sinx.limh→0sinhh=cosx.limh→0sin12hh.(−2sin12h)−sinx.limh→0sinhh=cosx.12.(−2sin120)−sinx.1=cosx.12.(−2sin0)−sinx=cosx.12.(0)−sinx=0−sinxlimh→0f(x+h)−f(x)h=−sinx .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...