Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
         Setelah mempelajari materi "penyelesaian limit fungsi aljabar", kali ini kita akan lanjutkan materi limit untuk penyelesaian limit fungsi trigonometri. Disini kita akan melibatkan fungsi trigonometri, sehingga kita harus mempelajari materi yang berkaitan dengan trigonometri. Persamaan trigonometri yang biasa dipakai pada limit adalah persamaan identitas trigonometri yang bisa dibaca pada artikel "Perbandingan Trigonometri pada Segitiga Siku-Siku" , "rumus trigonometri untuk penjumlahan dan pengurangan", dan "rumus trigonometri jumlah dan selisih dua sudut".

         Penyelesaian limit fungsi trigonometri biasanya dilakukan dengan substitusi terlebih dahulu. Jika hasilnya bentuk tak tentu, maka kita lanjutkan prosesnya dengan cara pemfaktoran, terkadang kalikan bentuk sekawannya, dan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, serta bisa menggunakan turunan. Bentuk tentu dan bentuk tak tentu hasil limit suatu fungsi bisa dibaca lebih lanjut pada artikel "Penyelesaian Limit Fungsi Aljabar". Soal-soal yang biasanya adalah soal-soal dengan hasil limitnya bentuk tak tentu yang akan kita selesaikan dengan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri.

Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri

       Untuk menyelesaikan limit fungsi trigonometri salah satu caranya adalah menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri yaitu :

Sifat-sifat limit fungsi trigonometri paling dasar
i). limx0sinxx=1, berlaku juga limx0sinaxax=1
ii). limx0xsinx=1, berlaku juga limx0axsinax=1
iii). limx0tanxx=1, berlaku juga limx0tanaxax=1
iv). limx0xtanx=1, berlaku juga limx0axtanax=1

Sifat-sifat limit fungsi trigonometri Lebih Umum
i). limx0sinaxbx=ab atau limx0axsinbx=ab
ii). limx0tanaxbx=ab atau limx0axtanbx=ab
iii). limx0sinaxsinbx=ab atau limx0tanaxtanbx=ab
iv). limx0sinaxtanbx=ab atau limx0tanaxsinbx=ab

Catatan : Untuk bentuk fungsi cos, maka harus diubah dulu menjadi bentuk sin agar bisa menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Untuk pembuktian sifat-sifat di atas, silahkan baca pada artikel "pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri".
Contoh :
1). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx0sin3x5x b). limx02x3sin5x c). limx07tan2x4x d). limx02x9tan2x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara :
Cara I : Menggunakan sifat Dasar, limx0sinaxax=1
limx0sin3x5x=limx0sin3x5x×3x3x=limx0sin3x3x×3x5x=limx0sin3x3x×35=1×35=35
Sehingga nilai limx0sin3x5x=35

Cara II : Menggunakan sifat umum , limx0sinaxbx=ab
limx0sin3x5x=35
Sehingga nilai limx0sin3x5x=35
Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.
b). limx02x3sin5x=limx02xsin5x×13=25×13=215

c). limx07tan2x4x=limx07×tan2x4x=7×24=72

d). limx02x9tan2x=limx02xtan2x×19=22×19=19

2). Tentukan penyelesaian limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx0sin2xsin3x b). limx0tan6xtan2x c). limx0sin3xtan2x d). limx0tan4xsin8x e). limx03x.cot7x
Penyelesaian :
a). Kita menggunakan dua cara,
Cara I : Menggunakan sifat dasar,
limx0sin2xsin3x=limx0sin2xsin3x.2x2x.3x3x=limx0sin2x2x.3xsin3x.2x3x=limx0sin2x2x.3xsin3x.23=1.1.23=23
Sehingga nilai limx0sin2xsin3x=23

Cara II : Mengunakan sifat umum : limx0sinaxsinbx=ab
limx0sin2xsin3x=23

Catatan : Untuk soal sisanya kita menggunakan sifat umum saja.

b). limx0tan6xtan2x=62=3

c). limx0sin3xtan2x=32

d). limx0tan4xsin8x=48=12

e). limx03x.cot7x=limx03x.1tan7x=limx03xtan7x=37
Ingat : cotA=1tanA

3). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri di bawah ini :
a). limx022cos2x3x2 b). limx0cos2xxπ4 c). limx01cosxxsin2x d). limx03x+sin2x5x
Penyelesaian :
Kita langsung menggunakan sifat umum dan persamaan trigonometri.
a). Ingat rumus : cos2x=12sin2x
Loading...
limx022cos2x3x2=limx02(1cos2x)3x.x=limx02(1[12sin2x])3x.x=limx02(11+2sin2x)3x.x=limx02(2sin2x)3x.x=limx04sinxsinx3x.x=limx04.sinx3x.sinxx=4.13.1=43
Sehingga nilai limx022cos2x3x2=43

b). Ingat rumus : cos2x=12sin2x dan cos(π2+A)=sinA
Misalkan : p=xπ4x=p+π4
Untuk x mendekati π4 maka p mendekati 0.
Substitusi permisalan di atas semua ke limintnya :
limx0cos2xxπ4=limxπ40cos2xxπ4=limp0cos2(p+π4)p=limp0cos(π2+2p)p=limp0sin2pp=21=2
Sehingga nilai limx0cos2xxπ4=2

c). Ingat rumus : cospx=12sin2p2x
Sehingga : cosx=cos1.x=12sin212x
limx01cosxxsin2x=limx01(12sin212x)xsin2x=limx011+2sin212xxsin2x=limx02sin212xxsin2x=limx02sin12x.sin12xxsin2x=limx02.sin12xx.sin12xsin2x=2.121.122=2.12.14=14
Sehingga nilai limx01cosxxsin2x=14

d). limx03x+sin2x5x=limx0(3x5x+sin2x5x)=35+25=55=1

4). Tentukan nilai limit dari fungsi trigonometri berikut.
a). limxxsin1x b). limx0tanxsinx4x3
Penyelesaian :
a). Misalkan : y=1xx=1y
Untuk x mendekati maka y mendekati 0. (y=1x=1=0) .
Substitusikan semua permisalannya ake limitnya :
limxxsin1x=lim1x1xsin1x=limy01y.siny=limy0sinyy=1
Sehingga nilai limxxsin1x=

b). Ingat rumus : cosx=12sin212x dan tanx=sinxcosx
limx0tanxsinx4x3=limx0sinxcosxsinx4x3=limx0sinxcosxsinxcosxcosx4x3=limx0sinxsinxcosxcosx4x3=limx0sinxsinxcosx4x3.cosx=limx0sinx(1cosx)4x.x.x.cosx=limx0sinx(1[12sin212x])4x.x.x.cosx=limx0sinx(2sin212x)4x.x.x.cosx=limx02sinx.sin12x.sin12x4x.x.x.cosx=limx024.sinxx.sin12xx.sin12xx.1cosx=12.1.121.121.1cos0=12.1.12.12.11=18
Sehingga nilai limx0tanxsinx4x3=18

Kaitan Limit fungsi Trigonometri dan Fungsi Aljabar

       Penyelesaian limit yang ada kaitan limit fungsi trigonometri dan fungsi aljabar menggunakan sifat-sifat berikut :

i). limxksinaf(x)bf(x)=ab atau limxkaf(x)sinbf(x)=ab
ii). limxktanaf(x)bf(x)=ab atau limxkaf(x)tanbf(x)=ab
iii). limxksinaf(x)sinbf(x)=ab atau limxktanaf(x)tanbf(x)=ab
iv). limxksinaf(x)tanbf(x)=ab atau limxktanaf(x)sinbf(x)=ab

Dengan syarat : f(k)=0
Contoh :
5). Tentukan nilai limit fungsi trigonometri berikut :
a). limx1sin(x1)x21 b). limx2x2+x6tan(x2) c). limx0sinx4+x2
Penyelesaian :
a). Faktorkan bentuk aljabarnya : p2q2=(pq)(p+q)
limx1sin(x1)x21=limx1sin(x1)(x1)(x+1)=limx1sin(x1)(x1).1x+1=1.11+1=12
Sehingga nilai limx1sin(x1)x21=12

b). Faktorkan bentuk aljabarnya :
limx2x2+x6tan(x2)=limx2(x2)(x+3)tan(x2)=limx2(x2)tan(x2).(x+3)=1.(2+3)=5
Jadi, nilai limx2x2+x6tan(x2)=5

c). Kalikan sekawan bentuk akarnya :
limx0sinx4+x2=limx0sinx4+x2×4+x+24+x+2=limx0sinx(4+x)4×(4+x+2)=limx0sinxx×(4+x+2)=1×(4+0+2)=1×(2+2)=4
Jadi, nilai limx0sinx4+x2=4

6). Tentukan nilai limh0f(x+h)f(x)h untuk fungsi f(x)=cosx
Penyelesaian :
*). Ingat bentuk : cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB
Sehingga : f(x+h)=cos(x+h)=cosxcoshsinxsinh
*). Rumus : cospx=12sin212x
Sehingga : cosh=12sin212h
bentuk : cosh1=(12sin212h)1=2sin212h=2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
limh0f(x+h)f(x)h=limh0(cosxcoshsinxsinh)cosxh=limh0(cosxcoshcosx)sinxsinhh=limh0cosx(cosh1)sinxsinhh=limh0cosx(cosh1)hlimh0sinxsinhh=cosx.limh0(cosh1)hsinx.limh0sinhh=cosx.limh02sin12h.sin12hhsinx.limh0sinhh=cosx.limh0sin12hh.(2sin12h)sinx.limh0sinhh=cosx.12.(2sin120)sinx.1=cosx.12.(2sin0)sinx=cosx.12.(0)sinx=0sinxlimh0f(x+h)f(x)h=sinx .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Limit Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts