Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri

Mr Math    November 17, 2014    limit   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>

         Sebelumnya telah di poskan materi "penyelesaian limit fungsi trigonometri" dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Kali ini kita akan pelajari Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri yang sangat berguna pada limit fungsi trigonometri.

         Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri sangat penting bagi kita, karena jika sifat-sifat limit fungsi trigonometri tersebut tidak benar maka hasil limit fungsi trigonometrinya juga tidak akan benar, sehingga kita pastikan sifat-sifat tersebut benar dengan cara membuktikannya. Untuk pembuktiannya memang tidak mudah karena rumusnya berkaitan langsung dengan rumus-rumus trigonometri, tapi rumus-rumus yang dibutuhkan sudah kami daftarkan di artikel ini. Semoga pembuktian sifat-sifat limit fungsi aljabar ini bisa bermanfaat bagi kita dalam mempelajari limit fungsi trigonometri.

Teori-teori yang dibutuhkan dalam pembuktian

       Berikut beberapa teori yang dibuthkan dalam pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :

$\spadesuit$ Teorema Apit
Misalkan $f, g, \,$ dan $h \,$ fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka $I$ yang memuat $a \,$ kecuali mungkin di $a \,$ itu sendiri, sehingga $f(x) \leq g(x) \leq h(x) \,$ untuk setiap $x \in I , \, x \neq a . \,$ Jika $\displaystyle \lim_{x \to a } f(x) = \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) = L , \,$ maka $\displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L$ .
Atau penulisannya :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to a } f(x) \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq \displaystyle \lim_{x \to a } h(x) \\ L \leq & \displaystyle \lim_{x \to a } g(x) \leq L \end{align}$
Artinya nilai $\displaystyle \lim_{x \to a } g(x) = L$

$\spadesuit$ Luas Segitiga
Luas segitiga $= \frac{1}{2} \times \,$ alas $\, \times \,$ tinggi .

$\spadesuit$ Luas Juring lingkaran :
Luas juring AOB $= \frac{\angle AOB}{2\pi } . \pi r^2 = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2$

Pembuktian Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar berikut :

*). Perhatikan segitiga BOC : $\angle BOC = x$
$\sin x = \frac{BC}{OB} \rightarrow \sin x = \frac{BC}{r} \rightarrow BC = r \sin x$
$\cos x = \frac{OC}{OB} \rightarrow \cos x = \frac{OC}{r} \rightarrow OC = r \cos x$
*). Perhatikan segitiga AOB : $\angle AOD = x$
$\tan x = \frac{AD}{OA} \rightarrow \tan x = \frac{AD}{r} \rightarrow AD = r \tan x$
*). Kita hitung luas segitiga BOC, Luas juring AOB, dan luas segitiga AOD
$\begin{align} \text{Luas BOC } = \frac{1}{2} . OC . BC = \frac{1}{2}. r \cos x . r \sin x = \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x \end{align}$
$\begin{align} \text{Luas juring AOB } = \frac{1}{2} . \angle AOB . r^2 = \frac{1}{2} x r^2 \end{align}$
$\begin{align} \text{Luas AOD } = \frac{1}{2} . OA . AD = \frac{1}{2}. r . r \tan x = \frac{1}{2} r^2 \tan x \end{align}$

*). Pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD.

Loading...

$\begin{align} \text{Luas BOC } < \, & \text{ Luas juring AOB } < \, \text{ Luas AOD } \\ \frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x < \, & \frac{1}{2} x r^2 < \frac{1}{2} r^2 \tan x \, \, \, \, \text{ (bagi } \frac{1}{2}r^2 ) \\ \frac{\frac{1}{2}r^2 \cos x \sin x }{\frac{1}{2}r^2} < \, & \frac{\frac{1}{2} x r^2 }{\frac{1}{2}r^2} < \frac{ \frac{1}{2} r^2 \tan x }{\frac{1}{2}r^2} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \\ \cos x \sin x < \, & x < \tan x \, \, \, \, \, \text{(bagi } \sin x ) \\ \frac{\cos x \sin x }{\sin x} < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \tan x }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{ \frac{\sin x}{\cos x} }{\sin x } \\ \cos x < \, & \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos x} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{\cos x} \\ \cos 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{\cos 0} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < \frac{1}{1} \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \end{align}$

Berdasarkan Teorema Apit, dari $1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} < 1 \,$ berlaku $\, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1$
Sehingga terbukti : $\, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} = 1$

*). Pembuktian bentuk : $\, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \sin x }{ x} = 1$
Gunakan sifat-sifat Limit, silahkan baca materinya pada "Sifat-sifat Limit Fungsi".
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\sin x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\sin x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} & = 1 \end{align}$
Sehingga terbukti : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1$

*). Pembuktian bentuk : $\, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{ \tan x} = 1$
Dari pers(i) di atas : $\cos x \sin x < \, x < \tan x \,$ dibagi dengan $\tan x$

$\begin{align} \cos x \sin x < \, & x < \tan x \\ \frac{\cos x \sin x }{\tan x} < \, & \frac{ x }{\tan x} < \frac{ \tan x }{\tan x} \\ \frac{\cos x \sin x }{\frac{\sin x}{\cos x}} < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \cos ^2 x < \, & \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \cos ^2 x < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \cos ^2 0 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \\ 1 < \, & \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \end{align}$

Berdasarkan Teorema Apit, dari $1 < \, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} < 1 \,$ berlaku $\, \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1$
Sehingga terbukti : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} = 1$

*). Pembuktian bentuk : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1$
Gunakan juga sifat-sifat limit fungsi :
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \frac{1}{\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ x }{\tan x} } & = \frac{1}{ \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ \frac{ x }{\tan x} } & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{1}{ 1 } \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } 1 \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} & = 1 \end{align}$
Sehingga terbukti : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{ \tan x }{ x} = 1$

*). Pembuktian bentuk : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1$
Berdasarkan : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin x}{ x} = 1 , \,$ berlaku juga untuk $\displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} = 1$

Misalkan $y = ax \,$ , untuk $x \,$ mendekati 0, maka $y \,$ juga mendekati 0.

Substitusi bentuk $ax = y$
$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = \displaystyle \lim_{ax \to a.0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{ax \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \\ & = \displaystyle \lim_{y \to 0 } \frac{\sin y}{ y} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} & = 1 \end{align}$
Sehingga terbukti : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1$

*). Pembuktian bentuk : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b}$
Berdasarkan : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} = 1$

$\begin{align} \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} \times \frac{ax}{ax} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{ax}{bx} \\ & = \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ ax} \times \frac{a}{b} \\ & = 1 \times \frac{a}{b} \\ \displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} & = \frac{a}{b} \end{align}$
Sehingga terbukti : $\displaystyle \lim_{x \to 0 } \frac{\sin ax}{ bx} = \frac{a}{b}$
Catatan : Untuk yang lainnya caranya sama saja pembuktiannya..

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...