Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
         Sebelumnya telah di poskan materi "penyelesaian limit fungsi trigonometri" dengan menggunakan sifat-sifat limit fungsi trigonometri. Kali ini kita akan pelajari Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri yang sangat berguna pada limit fungsi trigonometri.

         Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri sangat penting bagi kita, karena jika sifat-sifat limit fungsi trigonometri tersebut tidak benar maka hasil limit fungsi trigonometrinya juga tidak akan benar, sehingga kita pastikan sifat-sifat tersebut benar dengan cara membuktikannya. Untuk pembuktiannya memang tidak mudah karena rumusnya berkaitan langsung dengan rumus-rumus trigonometri, tapi rumus-rumus yang dibutuhkan sudah kami daftarkan di artikel ini. Semoga pembuktian sifat-sifat limit fungsi aljabar ini bisa bermanfaat bagi kita dalam mempelajari limit fungsi trigonometri.

Teori-teori yang dibutuhkan dalam pembuktian

       Berikut beberapa teori yang dibuthkan dalam pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :

Teorema Apit
Misalkan f,g, dan h fungsi yang terdefinisi pada interval terbuka I yang memuat a kecuali mungkin di a itu sendiri, sehingga f(x)g(x)h(x) untuk setiap xI,xa. Jika limxaf(x)=limxah(x)=L, maka limxag(x)=L .
Atau penulisannya :
limxaf(x)limxag(x)limxah(x)Llimxag(x)L
Artinya nilai limxag(x)=L

Luas Segitiga
Luas segitiga =12× alas × tinggi .

Luas Juring lingkaran :
Luas juring AOB =AOB2π.πr2=12.AOB.r2

Pembuktian Sifat-sifat limit fungsi Trigonometri

Perhatikan gambar berikut :
*). Perhatikan segitiga BOC : BOC=x
sinx=BCOBsinx=BCrBC=rsinx
cosx=OCOBcosx=OCrOC=rcosx
*). Perhatikan segitiga AOB : AOD=x
tanx=ADOAtanx=ADrAD=rtanx
*). Kita hitung luas segitiga BOC, Luas juring AOB, dan luas segitiga AOD
Luas BOC =12.OC.BC=12.rcosx.rsinx=12r2cosxsinx
Luas juring AOB =12.AOB.r2=12xr2
Luas AOD =12.OA.AD=12.r.rtanx=12r2tanx

*). Pembuktian sifat-sifat limit fungsi trigonometri :
Dari gambar di atas terlihat bahwa luas segitiga BOC lebih kecil dari luas juring AOB dan keduanya lebih kecil dari luas segitiga AOD.
Loading...
Luas BOC < Luas juring AOB < Luas AOD 12r2cosxsinx<12xr2<12r2tanx (bagi 12r2)12r2cosxsinx12r2<12xr212r2<12r2tanx12r2cosxsinx<x<tanx....pers(i)cosxsinx<x<tanx(bagi sinx)cosxsinxsinx<xsinx<tanxsinxcosx<xsinx<sinxcosxsinxcosx<xsinx<1cosxlimx0cosx<limx0xsinx<limx01cosxcos0<limx0xsinx<1cos01<limx0xsinx<111<limx0xsinx<1

Berdasarkan Teorema Apit, dari 1<limx0xsinx<1 berlaku limx0xsinx=1
Sehingga terbukti : limx0xsinx=1

*). Pembuktian bentuk : limx0sinxx=1
Gunakan sifat-sifat Limit, silahkan baca materinya pada "Sifat-sifat Limit Fungsi".
limx0xsinx=1limx0xsinx=limx011limx0xsinx=1limx01limx01xsinx=limx011limx0sinxx=limx01limx0sinxx=1
Sehingga terbukti : limx0sinxx=1

*). Pembuktian bentuk : limx0xtanx=1
Dari pers(i) di atas : cosxsinx<x<tanx dibagi dengan tanx

cosxsinx<x<tanxcosxsinxtanx<xtanx<tanxtanxcosxsinxsinxcosx<xtanx<1cos2x<xtanx<1limx0cos2x<limx0xtanx<limx01cos20<limx0xtanx<11<limx0xtanx<1

Berdasarkan Teorema Apit, dari 1<limx0xtanx<1 berlaku limx0xtanx=1
Sehingga terbukti : limx0xtanx=1

*). Pembuktian bentuk : limx0tanxx=1
Gunakan juga sifat-sifat limit fungsi :
limx0xtanx=1limx0xtanx=limx011limx0xtanx=1limx01limx01xtanx=limx011limx0tanxx=limx01limx0tanxx=1
Sehingga terbukti : limx0tanxx=1

*). Pembuktian bentuk : limx0sinaxax=1
Berdasarkan : limx0sinxx=1, berlaku juga untuk limy0sinyy=1

Misalkan y=ax , untuk x mendekati 0, maka y juga mendekati 0.

Substitusi bentuk ax=y
limx0sinaxax=limaxa.0sinaxax=limax0sinaxax=limy0sinyylimx0sinaxax=1
Sehingga terbukti : limx0sinaxax=1

*). Pembuktian bentuk : limx0sinaxbx=ab
Berdasarkan : limx0sinaxax=1

limx0sinaxbx=limx0sinaxbx×axax=limx0sinaxax×axbx=limx0sinaxax×ab=1×ablimx0sinaxbx=ab
Sehingga terbukti : limx0sinaxbx=ab
Catatan : Untuk yang lainnya caranya sama saja pembuktiannya..


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Cara Pembuktian Sifat-sifat Limit Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts