Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran. Silakan disimak ya guys!
>
         "Irisan dua lingkaran" akan membentuk suatu daerah irisan. Daerah irisan akan terbentuk jika kedua lingkaran berpotongan di dua titik yang berbeda, silahkan baca materinya di "kedudukan dua lingkaran". Materi dasar yang harus dikuasai untuk mempermudah mempelajari keliling dan luas irisan lingkaran adalah "panjang busur dan luas juring" serta "aturan kosinus" untuk menentukan besar sudutnya, dan jarak antara dua titik, yang semua materi dasar ini bisa langsung kita pelajari di "irisan dua lingkaran".

Keliling irisan dua lingkaran

       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau. Keliling daerah irisan yang dimaksud adalah jumlah busur lingkaran warna biru (busur 1) dan busur lingkaran berwarna orange (busur 2). Berikut busur masing-masing,

Menentukan keliling irisan dua lingkaran
Untuk menentukan keliling irisannya, kita harus menentukan panjang kedua busurnya, yaitu :
*). Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = CAD360.2π.r
*). Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = CBD360.2π.r
*). Sehingga keliling irisannya :
Keliling irisan = busur 1 + busur 2.
Keliling irisan = CAD360.2π.r+CBD360.2π.r

Menentukan besar sudut
Untuk menentukan besarnya sudut masing-masing busur, kita menggunakan aturan kosinus. Misalkan besar sudut CAD pada busur pertama, besar sudutnya :
cosCAD=AD2+AC2CD22.AD.AC=r2+r2CD22.r.r
cosCAD=2r2CD22r2

Menentukan panjang garis CD
Sebelum menentukan jarak atau panjang CD, kita harus menentukan titik C dan D (titik potong kedua lingkaran) terlebih dahulu. Untuk menentukan panjang CD, kita gunakan konsep jarak antar dua titik, misalkan titik C(x1,y1) dan D(x2,y2) , jarak atau panjang CD adalah
CD=(x2x1)2+(y2y1)2
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan keliling irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua busur lingkaran,
iv). Menentukan panjang busur kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua panjang busurnya

contoh :
1). Tentukan keliling lingkaran dari dua irisan lingkaran berikut
L1:(x+2)2+(y1)2=49 dan L2:(x6)2+(y1)2=9 ?
Penyelesaian :
*). gambar irisan kedua lingkaran
*). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
L1:(x+2)2+(y1)2=49x2+y2+4x2y44=0
L2:(x6)2+(y1)2=9x2+y212x2y+28=0
Eliminasi kedua persamaan lingkaran :
Loading...
x2+y2+4x2y44=0x2+y212x2y+28=016x72=0x=4,5
substitusi nilai x=4,5 ke persamaan lingkaran 2.
x=4,5(x6)2+(y1)2=9(4,56)2+(y1)2=92,25+(y1)2=9(y1)2=6,75y1=±6,75y=1±6,75y1=16,75y2=1+6,75
Sehingga titik potong kedua lingkaran: C(4,5;16,75 ) dan D(4,5;1+6,75)
*). Panjang CD
CD = (4,54,5)2+[(1+6,75)(16,75)]2=26,75
*). Menentukan sudut kedua busur :
busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
cosCAD=2r2CD22r2cosCAD=2.72(26,75)22.72cosCAD=982798cosCAD=7198CAD=arccos7198CAD=43,57=44
busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
cosCBD=2r2CD22r2cosCBD=2.32(26,75)22.32cosCBD=182718cosCBD=918cosCBD=12CBD=arccos12CBD=120
*). Menentukan panjang busur masing-masing :
Busur 1 pada lingkaran pertama (L1) :
busur 1 = CAD360.2π.r=44360.2227.7=5,38
Busur 2 pada lingkaran kedua (L2) :
busur 2 = CBD360.2π.r=120360.2227.3=6,29
*). Keliling irisan lingkarannya :
Keliling = busur 1 + busur 2 = 5,38 + 6,29 = 11,67
Jadi, keliling irisan kedua lingakaran adalah 11,67.

Luas irisan dua lingkaran

       Perhatikan gambar irisan dua lingkaran berikut,
Dari gambar irisan di atas, daerah irisan dua lingkarannya adalah daerah arsiran berwarna hijau dan warna biru. Ternyata daerah arsirannya adalah perpaduan dari dua tembereng yaitu tembereng 1 (dari lingkaran pertama) dan tembereng 2 (dari lingkaran kedua).

Menentukan luas irisan dua lingkaran
Untuk menentukan luas irisannya, kita harus menentukan luas kedua temberengnya. Luas tembereng diperoleh dari luas juring kurangi luas segitiganya.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 1 = CAD360.π.r21
Luas segitiga CAD = 12.AC.AD.sinCAD=12.r21.sinCAD
Tembereng 1 = luas juring 1 lusa segitiga CAD.
*). Tembereng 1 pada lingkaran pertama (L1) :
luas juring 2 = CBD360.π.r22
Luas segitiga CBD = 12.BC.BD.sinCBD=12.r22.sinCBD
Tembereng 2 = luas juring 2 lusa segitiga CBD.
*). Sehingga luas irisannya :
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2.
Catatan :
Langkah-langkah umum dalam menentukan luas irisan lingkaran :
i). Menentukan titik potong kedua lingkaran.
ii). Menentukan panjang CD,
iii). Menentukan sudut kedua juring lingkaran,
iv). Menentukan luas juring, luas segitiga dan tembereng kedua lingkaran,
v). Jumlahkan kedua luas tembereng

Contoh :
2). Tentukan luas irisan dua lingkaran yang ada pada soal nomor satu di atas!
Penyelesaian :
*). Dari pembahasan sola nomor satu di atas, diperoleh :
CAD=44,CBD=120
*). Menentukan luas juring, segitiga dan tembereng
Tembereng pertama (L1) :
luas juring 1 = CAD360.π.r21=44360.227.72=21,39
Luas segitiga CAD = 12.AC.AD.sinCAD=12.72.sin44=17,02
Tembereng 1 = luas juring 1 lusa segitiga CAD = 21,39 - 17,02 = 4,37.
Tembereng kedua (L2) :
luas juring 2 = CBD360.π.r22=120360.227.32=9,43
Luas segitiga CBD = 12.BC.BD.sinCBD=12.32.sin120=3,89
Tembereng 2 = luas juring 2 lusa segitiga CBD = 9,43 - 3,89 = 5,54.
*). Menentukan luas irisan lingkaran
Luas irisan = tembereng 1 + tembereng 2 = 4,37 + 5,54 = 9,91
Jadi, luas daerah irisannya adalah 9,91. .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Keliling dan Luas Irisan Dua Lingkaran. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts