Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Materi SMA Berkas Lingkaran. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Materi SMA Berkas Lingkaran. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Loading...
Kali ini kita akan mempelajari materi berkas lingkaran. Sebelum mempelajarinya, sebaiknya baca dulu materi yang terkait yaitu "persamaan lingkaran", dan "garis kuasa".
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $
2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $
3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+100) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 = 0 . $ .
Berkas Lingkaran
Berkas lingkaran adalah lingkaran-lingkaran yang dibuat melalui perpotongan dua lingkaran. Misalkan lingkaran L1 dan L2 berpotongan dititik P dan Q, maka persamaan berkas lingkaran yang melalui titik P dan Q adalah :
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $
Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.
Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
$ L_1 + \lambda L_2 = 0 \, $ atau $ L_1 + \lambda k = 0 \, $ atau $ L_2 + \lambda k = 0 $
Keterangan :
$ k \, $ adalah garis kuasa lingkaran L1 dan L2.
$ \lambda \, $ adalah konstanta tertentu.
Jika $ \lambda = -1 , \, $ maka persamaan berkas menjadi $ L_1 - L_2 = 0 \, $ yang merupakan persamaan garis kuasa.
Ilustrasi gambar berkas lingkaran dari lingkaran L1 dan L2.
Karena $ \lambda \, $ merupakan suatu konstanta yang tak hingga banyaknya, maka persamaan lingkaran yang terbentuk juga banyak tergantung nilai $ \lambda \, $ . Untuk lebih jelas, perhatikan gambar berkas lingkaran berikut ini.
Contoh Soal dan Pembahasan
1). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta melalui titik (1,1)?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \end{align} $
*). Lingkaran melalui titik (1,1), substitusi titik tersebut ke persamaan berkas lingkaran yang diperoleh,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (1^2 + 1^2 + 4.1 - 2.1 - 11) + \lambda (1^2 + 1^2 - 6.1 - 4.1 + 4) & = 0 \\ (1 + 1 + 4 - 2 - 11) + \lambda (1 + 1 - 6 - 4 + 4) & = 0 \\ (-7) + \lambda (-4) & = 0 \\ \lambda & = - \frac{7}{4} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{7}{4} \, $ ke persamaan berkas,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \left( - \frac{7}{4} \right) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ (4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44) + (-7) (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ 4x^2 + 4y^2 + 16x - 8y - 44 - 7x^2 - 7y^2 + 42x + 28y - 28 & = 0 \\ - 3x^2 - 3y^2 + 58x + 20y - 72 & = 0 \, \, \, \, \text{(kali -1)} \\ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 3x^2 + 3y^2 - 58x - 20y + 72 = 0 $
2). Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik potong kedua lingkaran
$ L_1 : \, x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 = 0 \, $ dan $ L_2: \, x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 = 0 $
serta memiliki titik pusat $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkas lingkarannya.
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + \lambda x^2 + \lambda y^2 - 6\lambda x - 4 \lambda y + 4 \lambda & = 0 \\ (1+\lambda )x^2 + (1 + \lambda )y^2 + (4 - 6\lambda )x - (2 + 4 \lambda ) y - ( 11 - 4 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 + \left( \frac{4 - 6\lambda }{1+\lambda} \right) x - \left( \frac{2 + 4 \lambda }{1+\lambda} \right) y - \frac{ 11 - 4 \lambda }{1+\lambda} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannnya adalah :
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} , \frac{2 + 4 \lambda }{2(1+\lambda )} \right) $
Sementara di soal diketahui pusatnya adalah $ \left( \frac{1}{2}, \frac{3}{2} \right) $ ,
Artinya nilai kedua pusat adalah sama, sehingga
$ -\frac{4 - 6\lambda }{2(1+\lambda )} = \frac{1}{2} \rightarrow -8 + 12 \lambda = 2 + 2 \lambda \rightarrow \lambda = 1 $
*). Substitusi nilai $ \lambda = 1 \, $ ke persamaan berkas lingkaran,
$ \begin{align} (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + \lambda (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ (x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11) + 1 . (x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4) & = 0 \\ x^2 + y^2 + 4x - 2y - 11 + x^2 + y^2 - 6x - 4y + 4 & = 0 \\ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 2x^2 + 2y^2 - 2x - 6y - 7 = 0 $
3). Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat pada garis $ x+y=5 $ dan melalui titik potong kedua lingkaran $x^2+y^2-2x-2y=34 \, $ dan $ x^2+y^2+8x-2y-100=0 \, $ ?
Penyelesaian :
*). Menyusun persamaan berkasnya :
$ \begin{align} L_1 + \lambda L_2 & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (1 + \lambda ) x^2 + (1 + \lambda ) y^2 - (2 - 8 \lambda ) x - (2 + 2 \lambda ) y - (34 + 100 \lambda ) & = 0 \\ x^2 + y^2 - \frac{(2 - 8 \lambda )}{(1 + \lambda )} x - \frac{(2 + 2 \lambda )}{(1 + \lambda )} y - \frac{(34 + 100 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 0 \end{align} $
Sehingga pusat lingkarannya adalah
Pusat $ (a,b) = \left( -\frac{A}{2}, - \frac{B}{2} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , \frac{(1 + \lambda )}{(1 + \lambda )} \right) = \left( \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} , 1 \right)$
*). Pusat lingkaran terletak pada garis $ x + y = 5 , \, $ substitusi titik pusat ke garis ini,
$ \begin{align} x + y & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} + 1 & = 5 \\ \frac{(1 - 4 \lambda )}{(1 + \lambda )} & = 4 \\ 1 - 4 \lambda & = 4 (1 + \lambda ) \\ 1 - 4 \lambda & = 4 + 4\lambda \\ \lambda & = - \frac{3}{8} \end{align} $
*). Substitusi nilai $ \lambda = - \frac{3}{8} \, $ ke persamaan berkas lisngkaran,
$ \begin{align} (x^2+y^2-2x-2y - 34) + \lambda (x^2+y^2+8x-2y-100) & = 0 \\ (x^2+y^2-2x-2y - 34) + (- \frac{3}{8}). (x^2+y^2 +8x-2y-100) & = 0 \, \, \, \, \text{(kali 8) } \\ (8x^2+8y^2-16x-16y - 272) + (-3x^2-3y^2 -24x+6y+100) & = 0 \\ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 & = 0 \end{align} $
Jadi, persamaan lingkarannya adalah $ 5x^2 + 5y^2 - 40x - 10 y - 172 = 0 . $ .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Materi SMA Berkas Lingkaran. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...