Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Silakan disimak ya guys!
>
         Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penjelasan mengenai asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dulu materi "persamaan lingkaran" dan "Persamaan Garis Singgung Lingkaran". Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus" dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(0,0) dan berjari-jari r

Persamaan lingkarannya : x2+y2=r2
Persamaan garis singgungnya : x1.x+y1.y=r2
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A(x1,y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di P(0,0) dan berjari-jari r yaitu, x2+y2=r2. Asumsikan x10 dan y10 .
Gradien garis PA adalah mPA=y1x1 . Karena garis g tegak lurus garis PA, maka
mg.mPA=1mg.y1x1=1mg=x1y1 .
*).Persamaan garis g melalui titik (x1,y1) dengan mg=x1y1 .
(yy1)=mg(xx1)(yy1)=x1y1(xx1)y1(yy1)=x1(xx1)y1yy21=x1xx21x1x+y1y=x21+y21....pers(i)
*). Karena titik A(x1,y1) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A(x1,y1) ke lingkaran : x2+y2=r2 , diperoleh : x21+y21=r2
*). Substitusi bentuk x21+y21=r2 ke pers(i)
x1x+y1y=x21+y21x1x+y1y=r2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(0,0) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran x2+y2=r2 adalah x1x+y1y=r2 .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkarannya : (xa)2+(yb)2=r2
Persamaan garis singgungnya : (x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2
Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,
*). Misalnya titik A(x1,y1) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan berjari-jari r yaitu, (xa)2+(yb)2=r2. Asumsikan x10 dan y10 .
Gradien garis PA adalah mPA=y1bx1a . Karena garis g tegak lurus garis PA, maka
mg.mPA=1mg.y1bx1a=1mg=x1ay1b .
*).Persamaan garis g melalui titik (x1,y1) dengan mg=x1ay1b .
(yy1)=mg(xx1)(yy1)=x1ay1b(xx1)(y1b)(yy1)=(x1a)(xx1)y1yy21by+by1=(x1xx21ax+ax1)x1xax+ax1+y1yby+by1=x21+y21....pers(i)
Loading...
*). Karena titik A(x1,y1) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A(x1,y1) ke lingkaran : (xa)2+(yb)2=r2 , diperoleh :
(x1a)2+(y1b)2=r2x212ax1+a2+y212by1+b2=r2x21+y21=r2+2ax1a2+2by1b2
*). Substitusi bentuk x21+y21=r2+2ax1a2+2by1b2 ke pers(i)
x1xax+ax1+y1yby+by1=x21+y21x1xax+ax1+y1yby+by1=r2+2ax1a2+2by1b2(x1xaxax1+a2)+(y1ybyby1+b2)=r2(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran (xa)2+(yb)2=r2 adalah (x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2 .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat P(a,b) dan berjari-jari r

Persamaan lingkarannya : x2+y2+Ax+By+C=0
dengan a=A2,b=B2, dan C=a2+b2r2
Persamaan garis singgungnya : x1.x+y1.y+A(x1+x)2+B(y1+y)2+C=0
Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung (x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2 dan substitusikan bentuk a=A2,b=B2, dan C=a2+b2r2
*). Penjabaran bentuk (x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2
(x1a)(xa)+(y1b)(yb)=r2(x1xaxax1+a2)+(y1ybyby1+b2)=r2x1x+y1ya(x1+x)b(y1+y)+a2+b2r2=0x1x+y1y(A2).(x1+x)(B2)(y1+y)+C=0x1x+y1y+A(x1+x)2+B(y1+y)2+C=0
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik P(a,b) dan berjari-jari r yang melalui titik A(x1,y1) pada lingkaran x2+y2+Ax+By+C=0 adalah x1x+y1y+A(x1+x)2+B(y1+y)2+C=0 .

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran x2+y2=r2

Persamaan garis singgungnya : y=mx±r1+m2
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : y=mx+n
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : x2+y2=r2
x2+y2=r2x2+(mx+n)2=r2x2+m2x2+2mnx+n2=r2(m2+1)x2+2mnx+n2r2=0a=m2+1,b=2mn,c=n2r2
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : D=0
D=0b24ac=0(2mn)24.(m2+1).(n2r2)=04m2n24(n2+m2n2r2m2r2)=0(bagi 4)m2n2n2m2n2+r2+m2r2=0(bagi 4)n2=r2+m2r2n2=r2(1+m2)n=±r2(1+m2)n=±r1+m2
*). Substitusi nilai n=±r1+m2 ke garis :
y=mx+ny=mx+±r1+m2
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah y=mx+±r1+m2

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien m terhadap Lingkaran (xa)2+(yb)2=r2 atau x2+y2+Ax+By+C=0

Persamaan garis singgungnya : yb=m(xa)±r1+m2
Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : y=mx+n
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : (xa)2+(yb)2=r2
(xa)2+(yb)2=r2(xa)2+(mx+nb)2=r2x22ax+a2+m2x2+2m(nb)x+(nb)2r2=0(m2+1)x2+[2m(nb)2a]x+(nb)2+a2r2=0a=m2+1,b=[2m(nb)2a],c=(nb)2+a2r2
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : D=0
D=0b24ac=0[2m(nb)2a]24.(m2+1).((nb)2+a2r2)=0(bamn)2=r2(1+m2)bamn=±r2(1+m2)bamn=±r1+m2n=bam±r1+m2
*). Substitusi nilai n=bam±r1+m2 ke garis :
y=mx+ny=mx+bam±r1+m2yb=m(xa)±r1+m2
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah yb=m(xa)±r1+m2 .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts