Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran

Mr Math    Oktober 23, 2014    lingkaran   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Silakan disimak ya guys!
>

         Pembuktian Rumus Pesamaan Garis Singgung Lingkaran merupakan penjelasan mengenai asal-usul rumus persamaan garis singgung. Namun sebelumnya, coba baca dulu materi "persamaan lingkaran" dan "Persamaan Garis Singgung Lingkaran". Sementara untuk menyusun persamaan garis, silahkan baca materi "Gradien dan Menyusun Persamaan Garis Lurus" dan "Hubungan Dua Garis Lurus".

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $P(0, 0)$ dan berjari-jari $r$

Persamaan lingkarannya : $x^2 + y^2 = r^2$
Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} x_1.x + y_1.y = r^2 \end{align}$

Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,

*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $P(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ yaitu, $x^2 + y^2 = r^2.$ Asumsikan $x_1 \neq 0$ dan $y_1 \neq 0$ .
Gradien garis PA adalah $m_{PA} = \frac{y_1}{x_1} \,$ . Karena garis $g \,$ tegak lurus garis PA, maka
$m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1}{x_1} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1}{y_1}$ .
*).Persamaan garis $g \,$ melalui titik $(x_1,y_1) \,$ dengan $m_g = - \frac{x_1}{y_1}$ .
$\begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1}{y_1} ( x- x_1) \\ y_1(y - y_1 ) & = - x_1 ( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 & = - x_1 x- x_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$
*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $x^2 + y^2 = r^2 \,$ , diperoleh : $x_1^2 + y_1^2 = r^2$
*). Substitusi bentuk $x_1^2 + y_1^2 = r^2 \,$ ke pers(i)
$\begin{align} x_1 x + y_1y & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1 x + y_1y & = r^2 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $P(0, 0)$ dan berjari-jari $r$ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$ adalah $x_1 x + y_1y = r^2$ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$

Persamaan lingkarannya : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1-b)(y-b) = r^2 \end{align}$

Pembuktian :
*). Ilustrasi garis singgung dan lingkarannya,

*). Misalnya titik A($x_1, y_1$) terletak pada sebuah lingkaran yang berpusat di $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ yaitu, $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2.$ Asumsikan $x_1 \neq 0$ dan $y_1 \neq 0$ .
Gradien garis PA adalah $m_{PA} = \frac{y_1-b}{x_1-a} \,$ . Karena garis $g \,$ tegak lurus garis PA, maka
$m_g . m_{PA} = - 1 \rightarrow m_g. \frac{y_1-b}{x_1-a} = -1 \rightarrow m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b}$ .
*).Persamaan garis $g \,$ melalui titik $(x_1,y_1) \,$ dengan $m_g = - \frac{x_1-a}{y_1-b}$ .
$\begin{align} (y - y_1 ) & = m_g ( x- x_1) \\ (y - y_1 ) & = - \frac{x_1-a}{y_1-b} ( x- x_1) \\ (y_1-b)(y - y_1 ) & = - (x_1 -a)( x- x_1) \\ y_1y - y_1^2 - by + by_1 & = -(x_1x -x_1^2 - ax + ax_1) \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align}$

Loading...

*). Karena titik A($x_1, y_1$) terletak pada lingkaran, maka substitusi titik A($x_1, y_1$) ke lingkaran : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \,$ , diperoleh :
$\begin{align} (x_1-a)^2 + (y_1-b)^2 & = r^2 \\ x_1^2 - 2ax_1 + a^2 + y_1^2 - 2by_1 + b^2 & = r^2 \\ x_1^2 + y_1^2 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \end{align}$
*). Substitusi bentuk $x_1^2 + y_1^2 = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \,$ ke pers(i)
$\begin{align} x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = x_1^2 + y_1^2 \\ x_1x -ax + ax_1 + y_1y - by + by_1 & = r^2 + 2ax_1 - a^2 + 2by_1 - b^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$ adalah $(x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2$ .

Persamaan Garis Singgung melalui Suatu Titik pada Lingkaran berpusat $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$

Persamaan lingkarannya : $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$
dengan $a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \,$ dan $C = a^2 + b^2 - r^2$
Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} x_1.x + y_1.y + A \frac{(x_1+x)}{2} + B \frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0 \end{align}$

Pembuktian :
*). Untuk pembuktian persamaan garis singgungnya, kita cukup menjabarkan gari singgung $(x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2 \,$ dan substitusikan bentuk $a = -\frac{A}{2}, b = - \frac{B}{2}, \,$ dan $C = a^2 + b^2 - r^2$
*). Penjabaran bentuk $(x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) = r^2$
$\begin{align} (x_1-a)(x-a) + (y_1 - b)(y -b) & = r^2 \\ (x_1x -ax - ax_1 + a^2) + (y_1y - by - by_1 + b^2) & = r^2 \\ x_1x + y_1y - a(x_1 + x) - b(y_1+y) + a^2 + b^2 - r^2 & = 0 \\ x_1x + y_1y - (-\frac{A}{2}).(x_1 + x) - (-\frac{B}{2})(y_1+y) + C & = 0 \\ x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C & = 0 \end{align}$
Jadi, persamaan garis singgung lingkaran yang berpusat di titik $P(a,b)$ dan berjari-jari $r$ yang melalui titik A($x_1, y_1$) pada lingkaran $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$ adalah $x_1x + y_1y + A\frac{(x_1+x)}{2} +B\frac{(y_1 + y)}{2} + C = 0$ .

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$ terhadap Lingkaran $x^2 + y^2 = r^2$

Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} y = mx \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align}$

Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $y = mx + n$
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $x^2 + y^2 = r^2$
$\begin{align} x^2 + y^2 & = r^2 \\ x^2 + (mx+n)^2 & = r^2 \\ x^2 + m^2x^2 + 2mnx + n^2 & = r^2 \\ (m^2+1)x^2 + 2mnx + n^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = 2mn , \, c & = n^2 - r^2 \end{align}$
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $D = 0$
$\begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ (2mn)^2 - 4.(m^2 + 1) . (n^2 - r^2 ) & = 0 \\ 4m^2n^2 - 4(n^2 + m^2n^2 - r^2 - m^2r^2) & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ m^2n^2 - n^2 - m^2n^2 + r^2 + m^2r^2 & = 0 \, \, \, \, \text{(bagi 4)} \\ n^2 & = r^2 + m^2r^2 \\ n^2 & = r^2 (1 + m^2) \\ n & = \pm \sqrt{ r^2 (1 + m^2) } \\ n & = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align}$
*). Substitusi nilai $n = \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \,$ ke garis :
$\begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2} \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $y = mx + \pm r\sqrt{ 1 + m^2}$

Persamaan Garis Singgung dengan Gradien $m$ terhadap Lingkaran $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \,$ atau $x^2 + y^2 + Ax + By + C = 0$

Persamaan garis singgungnya : $\begin{align} y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1 + m^2} \end{align}$

Pembuktian :
*). Misalkan persamaan garis singgungnya : $y = mx + n$
*). Substitusi persamaan garis ke lingkaran : $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$
$\begin{align} (x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2 \\ (x-a)^2 + (mx + n -b)^2 = r^2 \\ x^2 -2ax + a^2 + m^2x^2 + 2m(n-b)x + (n-b)^2 - r^2 & = 0 \\ (m^2 + 1)x^2 + [2m(n-b) - 2a ]x + (n-b)^2 + a^2 - r^2 & = 0 \\ a = m^2 + 1, \, b = [2m(n-b) - 2a ] , \, c & = (n-b)^2 + a^2 - r^2 \end{align}$
*). Syarat garis menyinggung lingkaran : $D = 0$
$\begin{align} D & = 0 \\ b^2 - 4ac & = 0 \\ [2m(n-b) - 2a ]^2 - 4.(m^2 + 1) . ((n-b)^2 + a^2 - r^2 ) & = 0 \\ (b-am-n)^2 & = r^2(1+m^2) \\ b - am - n & = \pm \sqrt{r^2(1+m^2)} \\ b - am - n & = \pm r \sqrt{1+m^2} \\ n & = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align}$
*). Substitusi nilai $n = b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \,$ ke garis :
$\begin{align} y & = mx + n \\ y & = mx + b - am \pm r \sqrt{1+m^2} \\ y - b & = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2} \end{align}$
Jadi, terbukti bahwa persamaan garis singgungnya adalah $y - b = m(x-a) \pm r \sqrt{1+m^2}$ .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Pembuktian Rumus Persamaan Garis Singgung Lingkaran. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...