Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Pertidaksamaan Kuadrat erat kaitannya dengan persamaan kuadrat dan fungsi kuadrat. Untuk memudahkan dalam menyelesaikan pertidaksamaan kuadrat, sebaiknya baca dulu materi "Pertidaksamaan secara umum" dan "sifat-sifat pertidaksamaan".
Contoh :
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x2−x−6<0 adalah ....?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
x2−x−6<0(x+2)(x−3)=0x=−2∨x=3
♣ Garis bilangan
Jadi, solusinya HP = {−2<x<3}
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). 2x2−3x+4>0 b). −x2+2x−3>0
Penyelesaian :
a). 2x2−3x+4>0
Bentuk 2x2−3x+4=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. D=b2−4ac=(−3)2−4.2.4=9−32=−23 . Diperoleh nilai a=2>0, dan nilai D<0 . Karena nilai a>0 dan D<0, artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai x pasti memenuhi 2x2−3x+4>0 (positif).
Jadi, solusinya HP = {x∈R}.
(artinya semua nilai x memenuhi pertidaksamaan)
b). −x2+2x−3>0
Bentuk −x2+2x−3=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. D=b2−4ac=22−4.(−1).(−3)=4−12=−8
Diperoleh nilai a=−1<0 dan D<0 . Karena nilai a<0 dan D<0 artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai x nilai −x2+2x−3 adalah negatif. (−x2+2x−3<0).
Sementara pada soal yang diminta adalah −x2+2x−3>0 (positif), sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi −x2+2x−3>0.
Jadi, solusinya HP = {} (Himpunan kosong).
3). Jika himpunan penyelesaian 2x2+5x−3≥0 adalah x≤a atau x≥b,
maka nilai 2b−a=... ?
Penyelesaian :
♠ Menentukan akar-akar
2x2+5x−3=0→(2x−1)(x+3)=0→x=12∨x=−3
♠ Garis bilangannya
Jadi, HP = {x≤−3∨x≥12}
Bentuk Umum dan penyelesaian pertidaksamaan kuadrat
Pertidaksamaan kuadrat merupakan pertidaksamaan dengan pangkat variabelnya dua.
♠ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
ax2+bx+c<0,ax2+bx+c>0,
ax2+bx+c≤0,ax2+bx+c≥0
dengan a≠0, dan a,b,c∈R
♠ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
♠ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai ax2+bx+c selalu positif untuk semua nilai x. Syarat definit positif : a>0, dan D<0
*). Definit negatif artinya nilai ax2+bx+c selalu negatif untuk semua nilai x. Syarat definit negatif : a<0, dan D<0
nilai Disriminan : D=b2−4ac
♠ Bentuk umum pertidaksamaan kuadrat
ax2+bx+c<0,ax2+bx+c>0,
ax2+bx+c≤0,ax2+bx+c≥0
dengan a≠0, dan a,b,c∈R
♠ Penyelesaian pertidaksamaan kuadrat menggunakan langkah-langkah umum penyelesaian peridaksamaan. Langkah-langkah umum bisa dibaca pada materi "Pertidaksamaan secara umum"
♠ Kasus Definit.
Materi Definit merupakan bagian dari materi fungsi kuadrat. Jika persamaan kuadrat tidak mempunyai akar-akar, maka ada dua kemungkinan, yaitu definit positif atau definit negatif.
*). Definit positif artinya nilai ax2+bx+c selalu positif untuk semua nilai x. Syarat definit positif : a>0, dan D<0
*). Definit negatif artinya nilai ax2+bx+c selalu negatif untuk semua nilai x. Syarat definit negatif : a<0, dan D<0
nilai Disriminan : D=b2−4ac
Contoh :
1). Nilai x yang memenuhi pertidaksamaan x2−x−6<0 adalah ....?
Penyelesaian :
♣ Menentukan akar-akar
x2−x−6<0(x+2)(x−3)=0x=−2∨x=3
♣ Garis bilangan
2). Tentukan himpunan penyelesaian dari
a). 2x2−3x+4>0 b). −x2+2x−3>0
Penyelesaian :
a). 2x2−3x+4>0
Bentuk 2x2−3x+4=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol. D=b2−4ac=(−3)2−4.2.4=9−32=−23 . Diperoleh nilai a=2>0, dan nilai D<0 . Karena nilai a>0 dan D<0, artinya terjadi kasusu definit positif, sehingga semua nilai x pasti memenuhi 2x2−3x+4>0 (positif).
Jadi, solusinya HP = {x∈R}.
(artinya semua nilai x memenuhi pertidaksamaan)
b). −x2+2x−3>0
Bentuk −x2+2x−3=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya negatif. D=b2−4ac=22−4.(−1).(−3)=4−12=−8
Diperoleh nilai a=−1<0 dan D<0 . Karena nilai a<0 dan D<0 artinya terjadi kasus definit negatif, sehingga untuk semua nilai x nilai −x2+2x−3 adalah negatif. (−x2+2x−3<0).
Sementara pada soal yang diminta adalah −x2+2x−3>0 (positif), sehingga tidak ada nilai x yang memenuhi −x2+2x−3>0.
Jadi, solusinya HP = {} (Himpunan kosong).
3). Jika himpunan penyelesaian 2x2+5x−3≥0 adalah x≤a atau x≥b,
maka nilai 2b−a=... ?
Penyelesaian :
♠ Menentukan akar-akar
2x2+5x−3=0→(2x−1)(x+3)=0→x=12∨x=−3
♠ Garis bilangannya
Loading...
♠ Karena solusinya x≤a atau x≥b sama dengan x≤−3 atau x≥12, maka nilai a=−3 dan b=12
Sehingga nilai 2b−a=2.12−(−3)=1+3=4
Jadi, nilai 2b−a=4
4). Tentukan nilai p agar setiap nilai x memenuhi pertidaksamaan (p+1)x2+2x−(p−44)>0
Penyelesaian :
♣ Bentuk (p+1)x2+2x−(p−44)→a=p+1,b=2,c=−p−44
♣ Ini kasus definit positif karena setiap nilai x nilai (p+1)x2+2x−(p−44)>0 selalu positif.
♣ Syarat definit positif : a>0 dan D<0
*). a>0→p+1>0→p>−1 ....(HP1)
*). D<0
b2−4ac<022−4.(p+1).(−p−44)<04+(p+1).(p−4)<04+p2−3p−4<0p2−3p<0p(p−3)<0p=0∨p=3
HP2 = {0<p<3}
Sehingga solusinya :
HP=HP1∩HP2={p>−1}∩{0<p<3}={0<p<3}
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah {0<p<3}
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. (x2−4x+5)(x2+x−2)<0 b. (x−1)(−x2+2x−3)≥0
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari (x2−4x+5)(x2+x−2)<0
*). Bentuk x2−4x+5=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol (D<0a="1"nilai="">0 , artinya x2−4x+5 definit positif. Karena x2−4x+5 definit positif, maka untuk setiap x tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
(x2−4x+5)(x2+x−2)<0 ekuivalen(setara) dengan x2+x−2<0
*). Menentukan akar-akar dari x2+x−2<0
x2+x−2=0→(x+2)(x−1)=0→x=−2∨x=1
Jadi, solusinya HP = {−2<x<1}
b). Menentukan akar-akar dari −x2+2x−3=0
*). Bentuk −x2+2x−3 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol (D<0−x=""0="":=""a="−1"artinya=""bisa=""br=""dan=""definit=""dengan=""dibalik=""dicoret=""karena=""ketaksamaan=""konstanta=""maka=""menganggap=""menjadi=""negatif.=""negatif=""nilai=""pertidaksamaan=""sebagai=""tanda=""x−3=""> (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, ekuivalen(setara) (x-1) \leq 0 ∗).Penyelesaian: x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 Jadi,HP=\{ x \leq 1 \} 6).Untuk p \in R \, dan -3 < p < 5 , \, tentukansemuanilai x \, yangmemnuhi (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, !Penyelesaian:∗).Menentukanakar−akarUntuk - 3 < p < 5, \, bentuk x^2-px + 7 \, tidakpunyaakarkarenanilaidiskriminannyakurangdarinol(D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, dengan -3 < p < 5 ).Nilai a = 1 > 0 \, ,artinya x^2-px + 7 \, definitpositifdantidakmempengaruhipertidaksamaan.Pertidaksamaanmenjadi: (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, ekuivalen (x-1)^2(x+2) > 0 ∗). (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Jadi, HP = {−2<x<1 atau x>1} .
Sehingga nilai 2b−a=2.12−(−3)=1+3=4
Jadi, nilai 2b−a=4
4). Tentukan nilai p agar setiap nilai x memenuhi pertidaksamaan (p+1)x2+2x−(p−44)>0
Penyelesaian :
♣ Bentuk (p+1)x2+2x−(p−44)→a=p+1,b=2,c=−p−44
♣ Ini kasus definit positif karena setiap nilai x nilai (p+1)x2+2x−(p−44)>0 selalu positif.
♣ Syarat definit positif : a>0 dan D<0
*). a>0→p+1>0→p>−1 ....(HP1)
*). D<0
b2−4ac<022−4.(p+1).(−p−44)<04+(p+1).(p−4)<04+p2−3p−4<0p2−3p<0p(p−3)<0p=0∨p=3
Sehingga solusinya :
HP=HP1∩HP2={p>−1}∩{0<p<3}={0<p<3}
Jadi, nilai p yang memenuhi adalah {0<p<3}
5). Tentukan himpunan penyelesaian dari pertidaksamaan :
a. (x2−4x+5)(x2+x−2)<0 b. (x−1)(−x2+2x−3)≥0
Penyelesaian :
a). Menentukan akar-akar dari (x2−4x+5)(x2+x−2)<0
*). Bentuk x2−4x+5=0 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol (D<0a="1"nilai="">0 , artinya x2−4x+5 definit positif. Karena x2−4x+5 definit positif, maka untuk setiap x tidak mempengaruhi pertidaksamaan, sehingga bisa diabaikan/dicoret dengan menganggap sebagai konstanta yang selalu positif. Pertidaksamaan menjadi :
(x2−4x+5)(x2+x−2)<0 ekuivalen(setara) dengan x2+x−2<0
*). Menentukan akar-akar dari x2+x−2<0
x2+x−2=0→(x+2)(x−1)=0→x=−2∨x=1
b). Menentukan akar-akar dari −x2+2x−3=0
*). Bentuk −x2+2x−3 tidak mempunyai akar karena nilai diskriminannya kurang dari nol (D<0−x=""0="":=""a="−1"artinya=""bisa=""br=""dan=""definit=""dengan=""dibalik=""dicoret=""karena=""ketaksamaan=""konstanta=""maka=""menganggap=""menjadi=""negatif.=""negatif=""nilai=""pertidaksamaan=""sebagai=""tanda=""x−3=""> (x-1)(-x^2+2x-3) \geq 0 \, ekuivalen(setara) (x-1) \leq 0 ∗).Penyelesaian: x - 1 \leq 0 \rightarrow x \leq 1 Jadi,HP=\{ x \leq 1 \} 6).Untuk p \in R \, dan -3 < p < 5 , \, tentukansemuanilai x \, yangmemnuhi (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, !Penyelesaian:∗).Menentukanakar−akarUntuk - 3 < p < 5, \, bentuk x^2-px + 7 \, tidakpunyaakarkarenanilaidiskriminannyakurangdarinol(D=b^2-4ac = (-p)2 - 4.1.7 = p^2 - 28 < 0 \, dengan -3 < p < 5 ).Nilai a = 1 > 0 \, ,artinya x^2-px + 7 \, definitpositifdantidakmempengaruhipertidaksamaan.Pertidaksamaanmenjadi: (x^2-px + 7)(x-1)^2(x+2) > 0 \, ekuivalen (x-1)^2(x+2) > 0 ∗). (x-1)^2(x+2) = 0 \rightarrow x = 1 \vee x = -2 $
Jadi, HP = {−2<x<1 atau x>1} .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Pertidaksamaan Kuadrat. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...
