Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Mengenal Sifat Sifat Pertidaksamaan dalam Matematika. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Mengenal Sifat Sifat Pertidaksamaan dalam Matematika. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Sifat-sifat Pertidaksamaan merupakan bagian penting dalam menyelesaikan pertidaksamaan itu sendiri. Sebelumnya telah dibahas tentang langkah-langkah umum dalam menyelesaiakan pertidaksamaan dalam artikel "Pertidaksamaan secara Umum". Namun sebelum melangkah ke penyelesaian tersebut, kita harus tau dulu tentang sifat-sifat pertidaksamaan. Berikut penjelasan tentang sifat-sifat pertidaksamaan yang dimaksud.
Contoh
1). Diketahui a<b dan b<c, cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). a<c
ii). a+2<b+2
iii). 2a<b+c
iv). a+b<2c
v). ab<bc
vi). a−d<c−d
Penyelesaian :
Sifat-sifat Pertidaksamaan
Untuk a,b,c,d,∈R, berlaku sifat-sifat pertidaksamaan berikut :
1). Jika a<b, maka b>a
2). Jika a<b dan b<c, maka a<c (sifat transitif)
3). Jika a<b dan c∈R, maka a+c<b+c.
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika a<b dan c>0, maka ac<bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika a<b dan c<0, maka ac>bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika a<b dan c<d, maka a+c<b+d
7). Jika ab<0 dan b≠0, maka ab<0
8). Jika ab>0 dan b≠0, maka ab>0
9). Untuk semua a∈R, berlaku a2≥0
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
1). Jika a<b, maka b>a
2). Jika a<b dan b<c, maka a<c (sifat transitif)
3). Jika a<b dan c∈R, maka a+c<b+c.
(Menambahkan kedua ruas dengan bilangan yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
4). Jika a<b dan c>0, maka ac<bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan positif yang sama tidak mengubah tanda ketaksamaan)
5). Jika a<b dan c<0, maka ac>bc.
(Mengalikan kedua ruas dengan bilangan negatif yang sama akan mengubah tanda ketaksamaan)
6). Jika a<b dan c<d, maka a+c<b+d
7). Jika ab<0 dan b≠0, maka ab<0
8). Jika ab>0 dan b≠0, maka ab>0
9). Untuk semua a∈R, berlaku a2≥0
Catatan :
*). Sifat 3 : jika setiap ruas ditambahkan/dikurangkan bilangan yang sama, maka tanda ketaksamaannya tetap (tidak berubah)
*). Sifat 4 dan 5 : Jika setiap ruas dikali/dibagi bilangan positif yang sama, maka tanda ketaksamaan tetap. dan jika dikali/dibagi bilangan negatif yang sama, maka tanda ketaksamaan berubah.
*). Untuk tanda ketaksamaan lihat artikel "Pertidaksamaan secara Umum"
Contoh
1). Diketahui a<b dan b<c, cek pernyataan berikut benar atau salah?
i). a<c
ii). a+2<b+2
iii). 2a<b+c
iv). a+b<2c
v). ab<bc
vi). a−d<c−d
Penyelesaian :
Loading...
i). a<c benar berdasarkan sifat 2.
ii). a+2<b+2 benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari a<b dan a<c , berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+a<b+c→2a<b+c
artinya benar untuk 2a<b+c
iv). dari a<c dan b<c berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+b<c+c→a+b<2c (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika b>0 maka a<c→ab<bc . Akan tetapi nilai b di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga ab<bc belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, a<c→a+(−d)<c+(−d)→a−d<c−d
2). Apakah a+b>√ab benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
(√a−√b)2≥0a+b−2√ab≥0a+b≥2√ab
Karena a+b≥2√ab, pasti berlaku juga a+b≥√ab
Jadi, pernyataan a+b≥√ab benar.
3). Jika a>b dan c>d, apakah ac+bd>ad+bc benar ?
Penyelesaian :
♠ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). a>b→a−b>0 (psositif)
*). c>d→c−d>0 (positif)
♠ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
(a−b)(c−d)>0ac−ad−bc+bd>0ac+bd>ad+bc
Jadi, benar untuk ac+bd>ad+bc
4). Jika x<−2 dan y>3, maka nilai y−x adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Kalikan −1 pada x<−2 dengan tanda ketaksamaan dibalik
x<−2→x.(−1)>−2.(−1)→−x>2
♣ Berdasarkan sifat 6 :
y>3 dan −x>2, berlaku y+(−x)>3+2→y−x>5
Jadi, nilai y−x adalah lebih besar dari 5.
5). Jika −4<y<5, maka nilai y−4 adalah ....
Penyelesaian :
♠ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
−4<y<5−4+(−4)<y+(−4)<5+(−4)−8<y−4<1
Jadi nilai y−4 adalah −8<y−4<1
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika −3<x<4, maka nilai (x−2)2 adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
−3<x<4−3+(−2)<x+(−2)<4+(−2)−5<x−2<2
Artinya nilai x−2 terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari (x−2)2=02=0 dan
nilai terbesarnya (x−2)2=(−5)2=25
Jadi, nilai (x−2)2 adalah 0≤(x−2)2<25 .
ii). a+2<b+2 benar berdasarkan sifat 3.
iii). dari a<b dan a<c , berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+a<b+c→2a<b+c
artinya benar untuk 2a<b+c
iv). dari a<c dan b<c berdasarkan sifat 6 berlaku :
a+b<c+c→a+b<2c (benar)
v). Berdasarkan sifat 4, jika b>0 maka a<c→ab<bc . Akan tetapi nilai b di bagian ini bisa positif atau bisa juga negatif, sehingga ab<bc belum tentu benar.
vi). Berdasarkan sifat 3, a<c→a+(−d)<c+(−d)→a−d<c−d
2). Apakah a+b>√ab benar ?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan sifat 9 : setiap bilangan dikuadratkan hasilnya positif atau nol.
(√a−√b)2≥0a+b−2√ab≥0a+b≥2√ab
Karena a+b≥2√ab, pasti berlaku juga a+b≥√ab
Jadi, pernyataan a+b≥√ab benar.
3). Jika a>b dan c>d, apakah ac+bd>ad+bc benar ?
Penyelesaian :
♠ Nolkan ruas kanan pertidaksamaan
*). a>b→a−b>0 (psositif)
*). c>d→c−d>0 (positif)
♠ Kedua bilangan dikalikan, positif kali positif hasilnya positif
(a−b)(c−d)>0ac−ad−bc+bd>0ac+bd>ad+bc
Jadi, benar untuk ac+bd>ad+bc
4). Jika x<−2 dan y>3, maka nilai y−x adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Kalikan −1 pada x<−2 dengan tanda ketaksamaan dibalik
x<−2→x.(−1)>−2.(−1)→−x>2
♣ Berdasarkan sifat 6 :
y>3 dan −x>2, berlaku y+(−x)>3+2→y−x>5
Jadi, nilai y−x adalah lebih besar dari 5.
5). Jika −4<y<5, maka nilai y−4 adalah ....
Penyelesaian :
♠ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-4)
−4<y<5−4+(−4)<y+(−4)<5+(−4)−8<y−4<1
Jadi nilai y−4 adalah −8<y−4<1
(terletak antara -8 sampai 1 )
6). Jika −3<x<4, maka nilai (x−2)2 adalah ... ?
Penyelesaian :
♣ Berdasarkan sifat 3 : Semua ruas ditambahkan (-2)
−3<x<4−3+(−2)<x+(−2)<4+(−2)−5<x−2<2
Artinya nilai x−2 terletak antara -5 sampai 2, sehingga :
nilai terkecil dari (x−2)2=02=0 dan
nilai terbesarnya (x−2)2=(−5)2=25
Jadi, nilai (x−2)2 adalah 0≤(x−2)2<25 .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Mengenal Sifat Sifat Pertidaksamaan dalam Matematika. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...
