Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1

Mr Math    Oktober 18, 2014    trigonometri   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Silakan disimak ya guys!
>

         Pada artikel kali ini kita akan membahas Pembahasan Soal Trigonometri 1. Soal Trigonometri ada banyak sekali, dan tentu tidak bagi kita untuk menyelesaikan soal-soalnya karena begitu banyaknya rumus yang dilibatkan. Salah satu soal trigonometri yang akan kita bahas berikut ini. Tentu untuk memudahkan dalam mempelajarinya, teman-teman harus menguasai materi trigonometri diantaranya "perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku" yang didalamnya juga ada identitas trigonometri, dan "Rumus Trigonometri untuk Sudut Ganda ".

Soal Trigonometri 1

Diketahui nilai trigonometri $\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \,$ dan $\, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2}$. Tentukan nilai dari $\frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} \,$ adalah ....

       Untuk menyelesaikan soal trigonometri 1 ini, kita akan menggunakan beberapa konsep trigonometri berikut ini.

Konsep Trigonometri yang digunakan

*). Perbandingan trigonometri pada segitiga siku-siku :
$\sin A = \frac{de}{mi} \,$ dan $\, \cos A = \frac{sa}{mi}$
*). Identitas trigonometri :
$\sin ^2 A + \cos ^2 A = 1 \,$ atau $\, \cos ^2 A = 1 - \sin ^2 A$
*). Sudut Rangkap :
$\sin 2A = 2\sin A \cos A$
$\cos 2A = 1 - 2\sin ^2 A$

Pembahasannya :
*). Pertama kita tentukan nilai $\frac{\sin 2x}{\sin 2y}$ :
Kalikan bentuk $\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \,$ dan $\, \frac{\cos x}{\cos y} =\frac{1}{2}$
Dan gunakan : $\sin 2x = 2\sin x \cos x \,$ dan $\, \sin 2y = 2\sin y \cos y$
$\begin{align} \frac{\sin x}{\sin y} \times \frac{\cos x}{\cos y} & = 3 \times \frac{1}{2} \\ \frac{\sin x \cos x}{\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{2\sin x \cos x}{2\sin y \cos y} & = \frac{3}{2} \\ \frac{\sin 2 x }{\sin 2y } & = \frac{3}{2} \end{align}$

*). Menentukan bentuk $\sin ^2 x \,$ dan $\cos ^2 x$ :
$\frac{\sin x}{\sin y} = 3 \rightarrow \sin x = 3\sin y \,$ atau
$\sin x = \frac{3\sin y}{1} = \frac{de}{mi}$
Sehingga panjang sampingnya $(sa)$ :
$sa = \sqrt{(mi)^2 - (de)^2} = \sqrt{1^2 - (3\sin y)^2} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y }$
gambar segitiganya :

Loading...

Sehingga nilai $\cos x$ :
$\cos x = \frac{sa}{mi} = \frac{\sqrt{1 - 9\sin ^2 y }}{1} = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y }$
Kita peroleh :
$\sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y$
$\cos x = \sqrt{1 - 9\sin ^2 y } \rightarrow \cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y$

*). Menentukan nilai $\sin ^2 y \,$ dan $\sin ^2 x$ :
$\begin{align} \frac{\cos x}{\cos y} & =\frac{1}{2} \\ \cos y & = 2 \cos x \, \, \, \, \, \, \text{(kuadratkan)} \\ \cos ^2 y & = 4 \cos ^2 x \\ \cos ^2 y & = 4 (1 - 9\sin ^2 y) \, \, \, \, \, \, \text{(identitas)} \\ 1 - \sin ^2 y & = 4 - 36\sin ^2 y \\ 35 \sin ^2 y & = 3 \\ \sin ^2 y & = \frac{3}{35} \end{align}$
Sehingga nilai $\sin ^2 x$
$\sin ^2 x = 9\sin ^2 y = 9 \times \frac{3}{35} = \frac{27}{35}$

*). Menentukan nilai $\frac{\cos 2x }{\cos 2 y} \,$ dengan sudut rangkap :
$\begin{align} \frac{\cos 2x }{\cos 2 y} & = \frac{1 - 2\sin ^2 x}{1 - 2\sin ^2 y} \\ & = \frac{1 - 2 \times \frac{27}{35} }{1 - 2 \times \frac{3}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \\ & = \frac{1 - \frac{54}{35} }{1 - \frac{6}{35} } \times \frac{35}{35} \\ & = \frac{35 - 54 }{ 35 - 6 } \\ & = \frac{-9}{ 29} \end{align}$

*). Menentukan hasil akhir :
$\begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} & = \frac{3}{2} + \frac{-9}{ 29} \\ & = \frac{3 \times 29}{2 \times 29} + \frac{-9 \times 2}{ 29 \times 2 } \\ & = \frac{87}{58} + \frac{-18}{ 58 } \\ & = \frac{87 - 18}{58} \\ & = \frac{69}{58} \end{align}$

Jadi, nilai $\begin{align} \frac{\sin 2x}{\sin 2y} + \frac{\cos 2x }{\cos 2y} = \frac{69}{58} \end{align}$ .

Catatan :
Sebenarnya untuk menentukan bentuk $\sin ^2 x \,$ dan $\cos ^2 x \,$ bisa juga tanpa menggunakan perbandingan segitiga siku-siku seperti di atas, yaitu cukup menggunakan identitas trigonometri saja.
Diketahui : $\sin x = 3\sin y \rightarrow \sin ^2 x = 9\sin ^2 y$
$\cos ^2 x = 1 - \sin ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y$
Bentuk $\cos ^2 x = 1 - 9\sin ^2 y \,$ sama dengan hasil cara di atas sebelumnya, namun cara ini lebih sederhana.

         Demikian Pembahasan Soal Trigonometri 1. Jika teman-teman memiliki pertanyaan tentang trigonometri, silahkan share di blog koma ini, kita akan bahas bersama-sama. Terima kasih, semoga pembahasan soal trigonometri ini bermanfaat. .

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Trigonometri 1. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...