Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya. Silakan disimak ya guys!
>
         Pada artikel sebelumnya kita telah mengepostkan materi "Dalil Menelaus pada Segitiga". Pada artikel kali ini, kita akan membahas materi Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya. Untuk memudahkan mempelajari materi ini, sebaiknya baca juga materi yang berkaitan dengan luas segitiga. Pada Dalil Ceva pada Segitiga, kita akan mempelajari dalil Ceva dan contoh soalnya, dan tidak kalah penting adalah pembuktian dalil Ceva itu sendiri dengan dua cara yaitu menggunakan luas segitiga dan dalil menelaus.

Dalil Ceva pada Segitiga

       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.
Dalil Ceva berbunyi :

Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren) ,jika dan hanya jika AFFB.BDDC.CEEA=1.

       Untuk memudahkan dalam mengingat, lihat putarannya, memutarnya bisa berlawanan jarum jam atau bisa searah putaran jarum jam seperti gambar berikut,

Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri

       Terdapat sebuah segitiga ABC, titik-titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi BC, sisi AC, dan sisi AF seperti gambar berikut.
Dalil Ceva trigonometri berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika sinACFsinBCF.sinBADsinCAD.sinCBEsinABE=1.
Contoh soal dalil Ceva pada segitiga :
1). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Tentukan nilai x ?
Penyelesaian :
*). Langsung kita gunakan dalil Ceva,
AFFB.BDDC.CEEA=132.49.x1=123.x=1x=32
Jadi, nilai x=32.

2). Diketahui titik D, E, dan F masing-masing terletak pada sisi AB, sisi BC, dan sisi AC dengan perbandingan BE : EC = 2 : 3 dan AF : FC = 8 : 9. Jika panjang sisi AB = 28 cm, dan garis AE, BF, CD berpotongan di satu titik, maka tentukan panjang AD?
Penyelesaian :
*). Perhatikan gambar berikut,
*). Kita gunakan dalil ceva,
ADDB.BEEC.CFFA=1ADDB.23.98=1ADDB.34=1ADDB=43
Kita peroleh perbandingan AD : DB = 4 : 3, sehingga AD : AB = 4 : 7.
*). Menentukan panjang AD
AD=ADAB×panjang AB=47×28=16
Jadi, panjang AD = 16 cm.

3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Jika panjang CD = 14 cm, maka tentukan panjang CO.
Penyelesaian :
*). Karena panjang CF = FA, sehingga CFFA=1.
*). Kita gunakan dalil ceva untuk AD : DB.
ADDB.BEEC.CFFA=1ADDB.23.1=1ADDB=32
kita peroleh AD : DB = 3 : 2.
*). Kita gunakan dalil menelaus pada gambar berikut,

Dalil menelaus untuk perbandingan DO : OC,

DOOC.CFFA.ABBD=1DOOC.1.52=1DOOC=25
Kita peroleh perbandingan DO : OC = 2 : 5, sehingga CO : CD = 5 : 7.
*). Menentukan panjang CO
CO=COCD×panjang CD=57×14=10
Jadi, panjang CO = 10 cm.

4). Perhatikan gambar berikut,
Diketahui perbandingan BE : EC = 2 : 3, CF : FA = 5 : 4, dan panjang AC = 15 cm. Jika garis GH sejajar dengan garis AC, tentukan panjang GH.
Penyelesaian :
*). Dalil Ceva untuk perbandingan AD : DB,
ADDB.BEEC.CFFA=1ADDB.23.54=1ADDB.56=1ADDB=65
*). Dalil Menenlaus untuk perbandingan FO : OB,
FOOB.BDDA.ACCF=1FOOB.56.95=1FOOB.32=1FOOB=23
*). Menentukan panjang GH dengan kesebangunan (dalil intercep),
Segitiga GBH sebangun dengan segitiga ABC,
GHAC=OBFBGH15=35GH=35×15GH=9
Jadi, panjang GH = 9 cm.

5). Diketahui gambar segitiga seperti berikut ini,
Loading...
Jika sinACF=asinBCF, maka tentukan nilai a2+3.
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Ceva trigonometri,
sinACFsinBCF.sinBADsinCAD.sinCBEsinABE=1sinACFsinBCF.sin30sin45.sin30sin30=1sinACFsinBCF.12122.1=1sinACFsinBCF.12=1sinACF=2sinBCF
Kita peroleh : sinACF=2sinBCF
dan juga telah diketahui sinACF=asinBCF
artinya nilai a=2.
*). Menentukan nilai a2+3.
a2+3=(2)2+3=2+3=5.
Jadi, nilai a2+3=5.

Catatan :
Sebenarnya contoh-contoh soal pada artikel ini kita mempermudahnya dengan langsung ada gambarnya masing-masing. Sebenarnya untuk soal-soal lain, soalnya dalam bentuk cerita sehingga kita harus menggambarnya terlebih dulu yang tentu akan lebih mempersulit kita dalam mengerjakannya.

Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga

       Untuk membuktikan dalil Ceva pada segitiga, ada dua cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini yaitu menggunakan luas segitiga dan menggunakan dalil Menenlaus .

       Pada dalil Ceva terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka AFFB.BDDC.CEEA=1.

Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku AFFB.BDDC.CEEA=1,
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.

Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren),
maka AFFB.BDDC.CEEA=1.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga Dengan Luas segitiga
       Perhatikan gambar berikut,
*). Kita misalkan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan AF : FB .
*). Perhatikan ΔAOB,
ΔAOF dengan alas AF dan ΔBOF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan t1.
[AOF]=12.AF.t1 dan [BOF]=12.FB.t1
*). Perhatikan ΔACB,
ΔACF dengan alas AF dan ΔBCF dengan alas FB memiliki tinggi yang sama misalkan t2.
[ACF]=12.AF.t2 dan [BCF]=12.FB.t2
*). Menentukan luas segitiga AOC dan luas segitiga BOC .
[AOC]=[ACF][AOF].
[AOC]=12.AF.t212.AF.t1=12.AF.(t2t1).
[BOC]=[BCF][BOF] .
[BOC]=12.FB.t212.FB.t1=12.FB.(t2t1) .
*). Perbandingan AF : FB ,
[AOC][BOC]=12.AF.(t2t1)12.FB.(t2t1)[AOC][BOC]=AFFB
Kita peroleh : AFFB=[AOC][BOC] ....pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga BOC dan segitiga BAC kita peroleh,
Perbandingan : BDDC=[AOB][AOC] ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga AOC dan segitiga ABC kita peroleh,
Perbandingan : CEEA=[BOC][AOB] ....pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
AFFB.BDDC.CEEA=[AOC][BOC].[AOB][AOC].[BOC][AOB]=1
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka AFFB.BDDC.CEEA=1.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga dengan Dalil Menelaus
       Perhatikan gambar berikut yang diperoleh dari gambar asli di atas yang dibagi menjadi dua untuk memudahkan dalam menggunakan dalil menelaus.



*). Dalil Menelaus pada gambar (a),
FOOC.CEEA.ABFB=1 ....pers(i).
*). Dalil Menelaus pada gambar (b),
FOOC.CDDB.ABAF=1FOOC=DBCD.AFAB ....pers(ii).
*). Substitusi pers(ii) ke pers(i) :
FOOC.CEEA.ABFB=1(DBCD.AFAB).CEEA.ABFB=1DBCD.AFFB.CEEA=1AFFB.BDDC.CEEA=1
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka AFFB.BDDC.CEEA=1.
Pembuktian Dalil Ceva pada Segitiga berbentuk Trigonometri
Dalil Ceva berbunyi :
Garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
jika dan hanya jika sinACFsinBCF.sinBADsinCAD.sinCBEsinABE=1.


Kita buktikan dari kiri ke kanan saja.
Perhatikan gambar berikut,
untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".

Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga AOB,
OBsinBAO=OAsinABOsinBAOsinABO=OBOA
sinBADsinABE=OBOA ....pers(1).
*). Segitiga BOC,
OCsinCBO=OBsinBCOsinCBOsinBCO=OCOB
sinCBEsinBCF=OCOB ....pers(2).
*). Segitiga COA,
OAsinACO=OCsinCAOsinACOsinCAO=OAOC
sinACFsinCAD=OAOC ....pers(3).
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
sinBADsinABE.sinCBEsinBCF.sinACFsinCAD=OBOA.OCOB.OAOCsinACFsinBCF.sinBADsinCAD.sinCBEsinABE=1
Jadi, terbukti bahwa Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka sinACFsinBCF.sinBADsinCAD.sinCBEsinABE=1.

Pembuktian dari kanan ke kiri
Jika berlaku AFFB.BDDC.CEEA=1,
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.
       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), maka AFFB.BDDC.CEEA=1.

Misalkan AD dan BE berpotongan dititik O, perpanjangan garis CO memotong sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
AFFB.BDDC.CEEA=1 ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
AFFB.BDDC.CEEA=1 ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
AFFB=AFFB
artinya F = F' atau titik F dan F' berimpit, sehingga terbukti bahwa garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku AFFB.BDDC.CEEA=1,
maka garis AD, BE, dan CF berpotongan di satu titik (konkuren)
.
.


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Dalil Ceva pada Segitiga dan Pembuktiannya. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts