Home geometri bidang datar

Dalil Menelaus pada Segitiga dan Pembuktiannya

     
          Pada artikel kali ini kita akan membahas materi dalil menelaus pada segitiga yang merupakan bagian dari "geometri bidang datar" yang ada pada matematika peminatan kelas X. Silahkan baca juga materi "Dalil Titik Tengah dan Perpotongan Segitiga" untuk lebih melengkapi materi yang ada.

Konsep Dalil Menelaus pada Segitiga

       Diberikan sebuah segitiga ABC, titik D terletak pada garis AC dan titik E terletak pada garis BC. Kemudian titik D dan E dihubungkan membentuk garis DE. Garis AB dan DE diperpanjang sehingga keduanya berpotongan di titik F seperti nampak pada gambar berikut.

Dalil Menelaus berbunyi :
Titik D, E, dan F segaris (Kolinear)
jika dan hanya jika memenuhi $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $.

Untuk memudahkan dalam mengingat, perhatikan alur panah berikut :
Contoh soal Dalil Menelaus pada Segitiga :
1). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ x $?
Penyelesaian :
*). Panjang LO = OM sehingga $ \frac{LO}{OM} = 1 $.
*). Kita menggunakan dalil Menenlaus pada segitiga :
$ \begin{align} \frac{LO}{OM} . \frac{MN}{NK} . \frac{KP}{LP} & = 1 \\ 1 . \frac{2}{3} . \frac{8+x}{8} & = 1 \\ \frac{16 + 2x}{24} & = 1 \\ 16 + 2x & = 24 \\ 2x & = 8 \\ x & = 4 \end{align} $
Jadi, panjang $ x = 4 $.

2). Perhatikan gambar berikut,
Tentukan nilai $ y $?
Penyelesaian :
*). Panjang PS = SR sehingga $ \frac{PR}{RS} = \frac{2}{1} $.
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{ST}{TU} . \frac{UQ}{QP} . \frac{PR}{RS} & = 1 \\ \frac{2}{y}. \frac{4x}{x} . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{16}{y} & = 1 \\ y & = 16 \end{align} $
Jadi, panjang $ y = 16 $.

3). Diketahui gambar seperti berikut dengan BE : EC = 2 : 3
dan AB : FB = 5 : 3. Tentukan nilai AD : AC?
Penyelesaian :
*). Nilai AB : FB = 5 : 3 sehingga AF : FB = 8 : 3 .
*). Langsung kita gunakan dalil menelaus :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC} . \frac{CD}{DA} . \frac{AF}{FB} & = 1 \\ \frac{2}{3} . \frac{CD}{DA} . \frac{8}{3} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} . \frac{16}{9} & = 1 \\ \frac{CD}{DA} & = \frac{9}{16} \end{align} $
Karena nilai CD : DA = 9 : 16 , maka AD : AC = 16 : 25.
Jadi, nilai AD : AC = 16 : 26 .

4). Pada segitiga ABC, titik D terletak pada sisi AB dengan perbandingan AD : DB = 2 : 3 dan titik E terletak pada sisi BC dengan perbandingan BE : EC = 5 : 4 seperti gambar berikut.
Tentukan :
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
Penyelesaian :
Kita menggunakan dalil Menelaus dan luas segitiga dengan tinggi sama.
*). perbandingan DO : OC dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{DO}{OC} . \frac{CE}{EB} . \frac{BA}{DA} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . \frac{4}{5} . \frac{5}{2} & = 1 \\ \frac{DO}{OC} . 2 & = 1 \\ \frac{DO}{OC} & = \frac{1}{2} \end{align} $
*). perbandingan EO : OA dengan dalil Menelaus
$ \begin{align} \frac{EO}{OA} . \frac{AD}{DB} . \frac{BC}{EC} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{2}{3} . \frac{9}{4} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} . \frac{3}{2} & = 1 \\ \frac{EO}{OA} & = \frac{2}{3} \end{align} $
Sehingga gambar lengkapnya :
*). Misalkan [ABC] menyatakan luas segitiga ABC.
Kita misalkan juga luas AOD adalah $ [AOD]= x $.
*). Perhatikan segitiga ADC,
$\Delta$AOD dengan alas DO dan $\Delta$AOC dengan alas OC memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[AOC]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OC.t_1}{\frac{1}{2}.DO.t_1} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ OC }{DO} \\ \frac{[AOC]}{x} & = \frac{ 2 }{1} \\ [AOC] & = 2x \end{align} $
*). Perhatikan segitiga ACE,
$\Delta$AOC dengan alas AO dan $\Delta$COE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[COE]}{[AOC]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_2}{\frac{1}{2}.AO.t_2} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ OE }{AO} \\ \frac{[COE]}{2x} & = \frac{ 2 }{3} \\ [COE] & = \frac{4}{3}x \end{align} $
sehingga : [ACD] = [AOD] + [AOC] = $ x + 2x = 3x $.
*). Perhatikan segitiga ABC,
$\Delta$ACD dengan alas AD dan $\Delta$BCD dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_3$.
$ \begin{align} \frac{[BCD]}{[ACD]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_3}{\frac{1}{2}.AD.t_3} \\ \frac{[COE] + [EODB]}{3x} & = \frac{ DB }{AD} \\ \frac{\frac{4}{3}x + [EODB]}{3x} & = \frac{3 }{2} \\ \frac{4}{3}x + [EODB] & = \frac{9}{2}x \\ [EODB] & = \frac{9}{2}x - \frac{4}{3}x \\ [EODB] & = \frac{19}{6}x \end{align} $

*). Menentukan perbandingan masing-masing soal,
a). perbandingan luas AOD dan luas COE,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[COE]} = \frac{x}{\frac{4}{3}x} = \frac{3}{4} \end{align} $.
b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.
c). perbandingan luas AOC dan luas segiempat EODB.
$\begin{align} \frac{[AOC]}{[EODB]} = \frac{2x}{\frac{19}{6}x } = \frac{12}{19} \end{align} $.

Cara II :
untuk soal 4 bagian (b). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB
Perhatikan gambar berikut, kita tarik garis DE.
*). Misalkan luas AOD adalah $ [AOD]=x$,
*). Perhatikan segitiga ADE,
$\Delta$AOD dengan alas AO dan $\Delta$DOE dengan alas OE memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_1$.
$ \begin{align} \frac{[DOE]}{[AOD]} & = \frac{\frac{1}{2}.OE.t_1}{\frac{1}{2}.AO.t_1} \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ OE }{ AO } \\ \frac{[DOE]}{x} & = \frac{ 2 }{ 3 } \\ [DOE] & = \frac{ 2 }{ 3 }x \end{align} $
sehingga : [ADE] = [AOD] + [DOE] = $ x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 5 }{ 3 }x $.
*). Perhatikan segitiga AEB,
$\Delta$AED dengan alas AD dan $\Delta$BED dengan alas DB memiliki tinggi yang sama yaitu misalkan $t_2$.
$ \begin{align} \frac{[BED]}{[AED]} & = \frac{\frac{1}{2}.DB.t_2}{\frac{1}{2}.AD.t_2} \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ DB }{ AD } \\ \frac{[BED]}{\frac{ 5 }{ 3 }x} & = \frac{ 3 }{ 2 } \\ [BED] & = \frac{ 3 }{ 2 } . \frac{ 5 }{ 3 }x \\ [BED] & = \frac{ 5 }{ 2 }x \end{align} $
sehingga : [EODB] = [BED] + [DOE] = $ \frac{ 5 }{ 2 }x + \frac{ 2 }{ 3 }x = \frac{ 19 }{ 6 }x $.
*). perbandingan luas AOD dan luas segiempat EODB,
$ \begin{align} \frac{[AOD]}{[EODB]} = \frac{x}{\frac{19}{6}x } = \frac{6}{19} \end{align} $.

Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga
       Untuk membuktikan dalil menelaus pada segitiga, ada tiga cara pembuktian yang akan ditampilkan pada artikel ini yaitu menggunakan kesebangunan, menggunakan luas segitiga, dan menggunakan aturan sinus pada segitiga.

       Pada dalil menelaus terdapat kata "jika dan hanya jika", artinya pembuktiannya ada dua arah yaitu dari kiri dan dari kanan , kedua arah harus dibuktikan.
Pembuktian dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .
Pembuktian dari kanan ke kiri :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear).

Pembuktian Dari kiri ke kanan
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga Dengan Konsep Kesebangunan
       Proyeksi titik A, B, dan C pada garis DEF, akan diperoleh seperti gambar berikut.
Hasil proyeksi titik A pada garis DEF adalah titik P.
Hasil proyeksi titik B pada garis DEF adalah titik R.
Hasil proyeksi titik C pada garis DEF adalah titik Q.

Dua bangun datar dikatakan sebangun jika perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
*). $\Delta $BER sebangun dengan $\Delta $QEC , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{BE}{EC} = \frac{BR}{QC} \, $ ....pers(i).
*). $\Delta $CDQ sebangun dengan $\Delta $ADP , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{CD}{DA} = \frac{QC}{PA} \, $ ....pers(ii).
*). $\Delta $BRF sebangun dengan $\Delta $APF , sehingga :
perbandingannya : $ \frac{AF}{FB} = \frac{PA}{BR} \, $ ....pers(iii).
*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{BR}{QC}\times \frac{QC}{PA}\times \frac{PA}{BR} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Luas segitiga
       Perpanjang garis ED, kemudian beri titik P dan Q serta hubungan beberapa titik seperti gambar berikut.

*). Kita misalkan $ [ABC] \, $ menyatakan luas segitiga ABC.
*). Menentukan perbandingan BE : EC .
*). Perhatikan $\Delta$BPC,
$\Delta$BPE dengan alas BE dan $\Delta$EPC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_1 $.
$ [BPE] = \frac{1}{2}.BE . t_1 \, $ dan $ [EPC] = \frac{1}{2}.EC.t_1 $
*). Perhatikan $\Delta$BQC,
$\Delta$BQE dengan alas BE dan $\Delta$EQC dengan alas EC memiliki tinggi yang sama misalkan $ \, t_2 $.
$ [BQE] = \frac{1}{2}.BE . t_2 \, $ dan $ [EQC] = \frac{1}{2}.EC.t_2 $
*). Menentukan luas segitiga BQP dan luas segitiga CQP .
$ [BQP] = [BQE]-[BPE] $.
$ [BQP] = \frac{1}{2}.BE.t_2 - \frac{1}{2}.BE . t_1 = \frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1) $.
$ [CQP] = [EQC]-[EPC] $ .
$ [CQP] = \frac{1}{2}.EC.t_2 - \frac{1}{2}.EC.t_1 = \frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1) $ .
*). Perbandingan BE : EC ,
$ \begin{align} \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{\frac{1}{2}.BE . (t_2 - t_1)}{\frac{1}{2}.EC.(t_2-t_1)} \\ \frac{[BQP]}{[CQP]} & = \frac{BE}{EC} \end{align} $
Kita peroleh : $ \frac{BE}{EC} = \frac{[BQP]}{[CQP]} \, $ ....pers(a).

Dengan cara yang sama kita peroleh :
*). Menggunakan segitiga APC dan segitiga AQC kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{CD}{DA} = \frac{[CQP]}{[AQP]} \, $ ....pers(b).
*). Menggunakan segitiga APF dan segitiga AQF kita peroleh,
Perbandingan : $ \frac{AF}{FB} = \frac{[AQP]}{[BQP]} \, $ ....pers(c).

*). Kalikan ketiga perbandingan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = \frac{[BQP]}{[CQP]} \times \frac{[CQP]}{[AQP]} \times \frac{[AQP]}{[BQP]} = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .
Pembuktian Dalil Menelaus pada Segitiga dengan Aturan Sinus
       Perhatikan gambar berikut,
untuk aturan sinus, silahkan baca materinya di "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".

Kita terapkan aturan sinus pada segitiga yang ada berikut,
*). Segitiga CDE,
$ \frac{CE}{\sin \angle CDE} = \frac{CD}{\sin \angle CED} \rightarrow \frac{CD}{CE} = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} \, $ ....pers(1).
*). Segitiga ADF,
$ \frac{AF}{\sin \angle ADF} = \frac{AD}{\sin \angle AFD} \rightarrow \frac{AF}{AD} = \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} \, $ ....pers(2).
*). Segitiga BEF,
$ \frac{EB}{\sin \angle EFB} = \frac{FB}{\sin \angle BEF} \rightarrow \frac{EB}{FB} = \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \, $ ....pers(3).
Catatan :
$ \sin \angle CED = \sin \angle BEF , \, \sin \angle EFB = \sin \angle AFD $.
dan $ \sin \angle ADF = \sin (180^\circ - \angle CDE ) = \sin \angle CDE $.
*). Kalikan ketiga persamaan yang diperoleh :
$ \begin{align} \frac{CD}{CE} . \frac{AF}{AD} . \frac{EB}{FB} & = \frac{\sin \angle CED}{\sin \angle CDE} . \frac{\sin \angle ADF}{\sin \angle AFD} . \frac{\sin \angle EFB}{\sin \angle BEF} \\ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} & = 1 \end{align} $
Jadi, terbukti bahwa Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

Pembuktian dari kanan ke kiri

Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear).
       Sebelumnya telah terbukti dari kiri ke kanan :
Jika titik D, E, dan F segaris (Kolinear),
maka berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 $ .

Misalkan perpanjangan garis DE pada perpanjangan sisi AB di titik F', cukup kita tunjukkan F = F'.
Dari pembuktian dari kiri ke kanan, maka berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF'}{F'B} = 1 \, $ ....pers(i).
Sementara dari arah kanan ke kiri berlaku :
$ \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 \, $ ....pers(ii).
Dari pers(i) dan pers(ii), kita peroleh :
$ \frac{AF'}{F'B} = \frac{AF}{FB} $
artinya F = F', sehingga garis DEF' berimpit dengan garis DEF karena titik F dan F' sama. Sehingga terbukti bahwa titik D, E, dan F segaris (kolinear), atau lebih lengkapnya :
Jika berlaku $ \, \frac{BE}{EC}\times \frac{CD}{DA}\times \frac{AF}{FB} = 1 , \, $
maka titik D, E, dan F segaris (Kolinear).

Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga

     
         Pada kesempatan kali ini kita melanjutkan materi "geometri bidang datar", khususnya materi dalil titik tengah dan dalil intercep segitiga.

Dalil Titik Tengah Segitiga

Perhatikan segitiga ABC berikut,
Pada segitiga ABC di atas, titik D dan E adalah titik tengah masing-masing sisi AC dan BC, kemudian ditarik garis DE (gambar (ii)) yang memenuhi dalil titik tengah.

       Dalil Titik Tengah Segitiga yaitu segmen garis penghubung titik-titik tengah dari kedua sisi segitiga (garis DE) adalah sejajar dengan sisi segitiga (sisi AB) dan panjangnya adalah setengah kali panjang sisi ketiga segitiganya (sisi AB).
Artinya panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB$.
Contoh :
1). Pada segitiga ABC diketahui panjang AB = 14 cm, CD = DA, CE = EB, dan DE sejajar dengan garis AB. Tentukan panjang garis DE?
Penyelesaian :
*). Berdasarkan dalil titik tengah segitiga,
panjang $ DE = \frac{1}{2} \times AB = \frac{1}{2} \times 14 = 7 $.
Jadi, panjang DE = 7 cm.

2). perhatikan gambar segitiga berikut.
.
Tentukan panjang sisi AB.?
Penyelesaian :
*). Dari gambarnya, maka berlaku dalil titik tengah segitiga.
$ DE = \frac{1}{2} \times AB \rightarrow AB = 2 \times DE = 2 \times 3 = 6 $.
Jadi, panjang AB = 6 cm.

Dalil Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Pada segitiga PQR ditarik garis TU yang sejajar dengan sisi QR.

       Dalil intercep segitiga yaitu Jika sebuah garis sejajar dengan salah satu sisi sebuah segitiga PQR (misalkan garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR) memotong dua sisi lain dari segitiga PQR (garis TU memotong sisi PQ dan PR) di titik T dan U, maka berlaku perbandingan PT : TQ = PU : UR dan PT : PQ = PU : PR = TU : QR..
Contoh :
3). perhatikan segitiga berikut,
Tentukan nilai $ x \, $ dan $ y $.?
Penyelesaian :
*). Kita akan menggunakan dalil intercep segitiga.
*). Menentukan nilai $ x $ ,
$ \begin{align} \frac{PU}{UR} & = \frac{PT}{TQ} \\ \frac{x}{3} & = \frac{3}{2} \\ x & = \frac{3}{2} \times 3 \\ & = \frac{9}{2} \\ & = 4,5 \end{align} $.
Sehingga panjang $ PU = x = 4,5 $.
*). Menentukan nilai $ y $ ,
$ \begin{align} \frac{TU}{QR} & = \frac{PT}{PQ} \\ \frac{y}{10} & = \frac{3}{5} \\ y & = \frac{3}{5} \times 10 \\ & = \frac{30}{5} \\ & = 6 \end{align} $.
Sehingga panjang $ TU = y = 6 $.

4). Dari gambar berikut, tentukan nilai $ m + n $.
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai $ m $.
Perhatikan segitiga AFG,
$ \frac{DE}{FG} = \frac{AD}{AF} \rightarrow \frac{m}{10} = \frac{1}{2} \rightarrow m = 5 $.
*). Menentukan nilai $ n $.
Perhatikan segitiga ABC,
$ \frac{FG}{BC} = \frac{AF}{AB} \rightarrow \frac{10}{n} = \frac{2}{3} \rightarrow n = 15 $.
Sehingga nilai $ m + n = 5 + 15 = 20 $.

Cara II :
Untuk soal seperti gambar pada soal nomor 4 ini, maka berlaku :
$ m + n = 2 \times 10 = 20 $.
Maksudnya, jika panjang garis $ FG = a , \, $ maka $ m + n = 2a $.

Pembuktian Dalil Titik Tengah dan Intercep Segitiga
Perhatikan gambar segitiga PQR berikut,
Garis TU sejajar dengan sisi QR pada segitiga PQR.

       Untuk membuktikan kedua dalil ini, konsep yang digunakan adalah "kesebangunan" pada segitiga. Segitiga PTU sebangun dengan segitiga PQR sehingga berlaku perbandingan yang sama pada sisi-sisi yang bersesuaian.
Perbandingan yang berlaku : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} \, $ ....pers(i).
sehingga terbukti untuk dalil intercep : $ \frac{PT}{PQ}=\frac{TU}{QR}=\frac{PU}{PR} $

*). Pembuktian dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.
Dari segitiga PQR, maka $ PQ = PT + TQ \, $ dan $ PR = PU + UR $.
kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & =\frac{PU}{PR} \\ PT.PR & = PU.PQ \\ PT.(PU+UR) & = PU.(PT+TQ) \\ PT.PU + PT.UR & = PU.PT + PU.TQ \\ PT.UR & = PU.TQ \\ \frac{PT}{TQ} & =\frac{PU}{PR} \end{align} $
Sehingga terbukti dalil intercep : $ \frac{PT}{TQ} = \frac{PU}{UR} $.

*). Pembuktian dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.
Untuk dalil titik tengah, maka PT = TQ sehingga $ \frac{PT}{PQ} = \frac{1}{2} $.
Kita gunakan pers(i) :
$\begin{align} \frac{PT}{PQ} & = \frac{TU}{QR} \\ \frac{1}{2} & = \frac{TU}{QR} \\ TU & = \frac{1}{2} \times QR \end{align} $
Jadi, terbukti dalil titik tengah : $ TU = \frac{1}{2} \times QR $.

Materi Belajar Geometri Bidang Datar

     
         Geometri bidang datar merupakan materi SMA kelas X Kurikulum 2013 bidang matematika peminatan. Geometri bidang datar secara umum membahas materi "titik, garis, dan bidang", "Sudut : pengertian sudut, pengukuran sudut, hubungan sudut, dan sudut garis sejajar", "dalil titik tengah segitiga", "dalil intercep", "dalil Menelaus", "dalil Ceva", dan "dalil segmen garis : dalil stewart, garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi". Juga membahas tentang luas sgitiga yang bisa dicari materinya pada blog Mathsteria ini. Dari sub materi yang ada, terlihat bahwa kebanyakan membahas bidang datar khususnya segitiga.

         Selain materi yang sudah disebutkan di atas, pada artikel Geometri Bidang Datar juga membahas konsep jarak baik antara dua titik ataupun jarak titik ke garis. Di samping itu juga dibahas tentang titik tengah antara dua titik. Materi jarak ini bisa kita baca pada artikel "Jarak Dua Titik dan Titik ke Garis".

         Untuk lebih jelas materi-materi yang dibahas pada geometri bidang datar, langsung saja klik link-link yang berkaitan dengan materinya. Sementara untuk sedikit mengingatkan kembali teori-teori yang ada, berikut kami akan sajikan contoh-contoh soalnya langsung beserta penyelesaiannya.

Contoh :
1). Tentukan jarak dan titik tengah dari dua titik A(1,4) dan B(-3,1)?
Penyelesaian :
*). Menentukan jarak titik A dan B :
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \sqrt{(x_2-x+1)^2 + (y_2-y_1)^2} \\ & = \sqrt{(1 - (-3))^2 + (4 - 1)^2} \\ & = \sqrt{(4)^2 + (3)^2} \\ & = \sqrt{16 + 9} \\ & = \sqrt{25} \\ & = 5 \end{align} $
Sehingga jarak titik A dan B adalah 25 satuan.
*). Menentukan titik tengah A dan B.
$ \begin{align} \text{Jarak AB } & = \left( \frac{x_1+x_2}{2} , \frac{y_1+y_2}{2} \right) \\ & = \left( \frac{1 + (-3)}{2} , \frac{4 + 1}{2} \right) \\ & = \left( \frac{-2}{2} , \frac{5}{2} \right) \\ & = \left( -1 , \frac{5}{2} \right) \end{align} $
Sehingga titik tengan AB adalah $ \left( -1 , \frac{5}{2} \right) $.

2). Perhatikan gambar sudut berikut,
Tentukan nilai $ x $ .
Penyelesaian :
*). Sudut $(2x+10^\circ) \, $ dan $ (3x + 20^\circ) \, $ adalah luar sepihak, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ \begin{align} (2x+10^\circ) + (3x + 20^\circ) & = 180^\circ \\ 5x + 30^\circ & = 180^\circ \\ 5x & = 150^\circ \\ x & = \frac{150^\circ }{5} \\ x & = 30^\circ \end{align} $
Jadi, nilai $ x = 30^\circ $ .

3). Perhatikan gambar segitiga berikut,
Diketahui sebarang segitiga PQR, dengan panjang sisi PQ, QR, dan RP diperpanjang berturut-turut sehingga PQ = QB, QR = RC, dan RP = PA. Tentukan perbandingan luas segitiga PQR dan luas segitiga ABC.
Penyelesaian :
*). Konsep luas segitiga : Luas $ = \frac{1}{2} \times \text{ alas } \times \text{ tinggi}$.
Misalkan luas segitiga PQR adalah $ y \, $ satuan luas.
*). Kita buat garis RB, QA dan garis PC seperti gambar berikut,
*). Perhatikan segitiga PBR,
segitiga PQR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BQR = luas PQR = $ y $.
*). Perhatikan segitiga BQC,
segitiga BCR dan BQR memiliki panjang alas dan tinggi yang sama, sehingga luasnya sama.
artinya luas BCR = luas BQR = $ y $.
*). Hal yang sama juga bisa diterapkan pada segitiga AQR dan segitiga APB, begitu juga segitiga PQC dan segitiga ARC.
Dapat disimpulkan bahwa luas semua segitiga kecil-kecil itu sama, yaitu
$\Delta APQ = \Delta AQB = \Delta BQR = \Delta BRC = \Delta CRP = \Delta CPA = \Delta PQR = y $ .
*). Luas segitiga ABC adalah :
$\begin{align} \text{Luas ABC } & = \Delta APQ + \Delta AQB + \Delta BQR + \Delta BRC + \Delta CRP + \Delta CPA + \Delta PQR \\ & = y + y + y + y + y + y + y \\ & = 7y \end{align} $
*). Perbandingan segitiga PQR dan segitiga ABC
$\begin{align} \frac{\text{Luas PQR}}{\text{Luas ABC}} & = \frac{y}{7y} = \frac{1}{7} \end{align} $
Jadi, perbandingan luasnya adalah 1 : 7 .

Cara Menghitung Panjang Garis Bagi pada Segitiga dan Pembuktiannya

     
         Garis istimewa segitiga terakhir yang kita bahas kali ini adalah garis bagi. Pada materi Panjang Garis Bagi pada Segitiga dan Pembuktiannya ini kita akan membahas teorinya, contoh-contoh soal, dan tentu pembuktiannya rumus yang ada yang berkaitan dengan panjang garis bagi. Silahkan baca juga materi "Dalil Stewart" dan "aturan cosinus" yang digunakan untuk membuktikan rumus panjang garis bagi ini.

Menentukan Panjang Garis Bagi pada Segitiga

       Garis bagi sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga memotong sisi didepan titik sudut tersebut dengan membagi dua sama besar suudut tersebut, seperti gambar berikut.
Dalil-dalil yang berlaku pada garis bagi segitiga yaitu :
1). Garis bagi segitiga (garis AD,BE,dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut titik bagi (titik O).

2). Garis bagi sudut sebuah segitiga membagi sisi yang didepannya menjadi dua bagian yang rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi yang berdekatan dengan bagian tersebut, perbandingan yang dimaksud yaitu $ BD : DC = AB : AC $.

3). Titik bagi sebuah segitiga merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga seperti gambar berikut.
4). Menentukan panjang garis bagi dengan rumus berikut,
Menentukan panjang garis bagi.
perhatikan gambar garis bagi berikut,
Misalkan panjang garis bagi $ AD = d , \, $
menentukan panjang $ d \, $ dengan rumus : $ \, d^2 = bc - mn $
dengan $ m : n = c : b $
sehingga $ m = \frac{c}{ b+ c} \times a \, $ dan $ n = \frac{b}{ b+ c} \times a $

Contoh soal garis bagi segitiga :

1). Segitiga ABC siku-siku di A dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Dari titik sudut A ditarik garis bagi AD. Tentukan panjang AD!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC dan garis bagi AD.
*). Dengan pythagoras, maka kita peroleh panjang BC = 5 cm.
*). Menentukan panjang $ m \, $ dan $ n $.
$ \frac{m}{n} = \frac{3}{4} $, dari perbandingan ini maka,
$ m = \frac{3}{7}.BC = \frac{3}{7}.5 = \frac{15}{7} $.
$ n = \frac{4}{7}.BC = \frac{4}{7}.5 = \frac{20}{7} $.
*). Menentukan panjang AD,
$ \begin{align} d^2 & = bc - mn \\ & = 4.3 - \frac{15}{7} . \frac{20}{7} \\ & = 12 - \frac{300}{49} \\ & = \frac{588}{49} - \frac{300}{49} \\ d^2 & = \frac{288}{49} \\ d & = \sqrt{\frac{144.2}{49} } \\ d & = \frac{12}{7}\sqrt{2} \end{align} $
Jadi, panjang garis bagi $ AD = d = \frac{12}{7}\sqrt{2} \, $ cm.

2). Sebuah segitiga ABC dengan AB = 21 cm, BC = 18 cm, dan AC = 12 cm. CD adalah garis bagi. E adalah titik tengah BC. Hitunglah panjang DE!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambarnya,
*). Menentukan panjang garis bagi CD.
Perbandingan : $ \frac{m}{n} = \frac{18}{12} = \frac{3}{2} $,
Sehingga $ m = \frac{3}{5}AB = \frac{3}{5}.21 = \frac{63}{5} $
dan $ DB = n = \frac{2}{5}AB = \frac{2}{5}.21 = \frac{42}{5} $
Panjang CD :
$ \begin{align} CD^2 & = CA.CB - mn \\ CD^2 & = 12.18 - \frac{63}{5} . \frac{42}{5} \\ CD^2 & = \frac{2754}{25} \end{align} $
*). Titik E ada di tengah BC, artinya DE adalah garis berat pada segitiga BDC.
Panjang garis berat DE pada segitiga BDC,
$ \begin{align} DE^2 & = \frac{1}{2}.CD^2 + \frac{1}{2}.DB^2 - \frac{1}{4}.BC^2 \\ DE^2 & = \frac{1}{2}. \frac{2754}{25} + \frac{1}{2}. (\frac{42}{5})^2 - \frac{1}{4}.12^2 \\ DE^2 & = \frac{1377}{25} + \frac{882}{25} - 36 \\ DE^2 & = \frac{2259}{25} - 36 \\ DE^2 & = \frac{2259}{25} - \frac{900}{25} \\ DE^2 & = \frac{1359}{25} = \frac{9 . 151}{25} \\ DE & = \sqrt{ \frac{9 . 151}{25} } \\ DE & = \frac{3}{5}\sqrt{ 151} \end{align} $
Jadi, panjang $ DE = \frac{3}{5}\sqrt{ 151} \, $ cm.

3). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 3 cm dan BC = 6 cm. Jika garis berat AD, garis bagi BE, dan garis tinggi CF berpotongan pada satu titik O, maka tentukan panjang AC!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC,
*). Garis BE adalah garis bagi, sehingga perbandingan AE : EC ,
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AB}{BC} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} $.
*). Ketiga garis berptongan pada satu titik, maka berlaku dalil Ceva pada segitiga ABC,
$ \begin{align} \frac{AF}{FB}. \frac{BD}{DC} . \frac{CE}{EA} & = 1 \\ \frac{AF}{FB}. 1 . \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{AF}{FB} & = \frac{1}{2} \end{align} $
Dari perbandingan AF : FB = 1 : 2, maka
$ AF = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3}. 3 = 1 $
dan $ FB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3}. 3 = 2 $
*). Gari CF adalah garis tinggi, sehingga berlaku dalil proyeksi garis tingi CF,
$ \begin{align} BC^2 & = AC^2 + AB^2 - 2.AF.AB \\ 6^2 & = AC^2 + 3^2 - 2.1.3 \\ 36 & = AC^2 + 9 - 6 \\ AC^2 & = 33 \\ AC & = \sqrt{33} \end{align} $
Jadi, panjang $ AC = \sqrt{33} \, $ cm.

Pembuktian dalil (2) garis bagi segitiga

Dalil (2) garis berat berbunyi :
       Garis bagi sudut sebuah segitiga membagi sisi yang didepannya menjadi dua bagian yang rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi yang berdekatan dengan bagian tersebut, perbandingan yang dimaksud yaitu $ BD : DC = AB : AC $.

Perhatikan gambar segitiga garis begi berikut,
Kita tarik garis tinggi dari titik D yaitu garis tinggi DE dan DF.
*). Perhatikan segitiga ADF dan segitiga ADE,
Sudut FAD = sudut EAD (sudut sama),
Sudut AFD = sudut AED (sudut sama),
Sisi AD beripit pada kedua segitiga (sisi sama).
Karena memenuhi sudut-sudut-sisi (yang sama pada kedua segitiga), maka segitiga ADF dan segitiga ADE kongruen (bentuk dan ukuran sama). Sehingga panjang garis tinggi DE = DF.
*). Perhatikan segitiga ABD dan segitiga ACD,
Perbandingan luasnya : ingat DE = DF,
$ \frac{\text{Luas ABD}}{\text{Luas ACD}} = \frac{\frac{1}{2}AB.DF}{\frac{1}{2}AC.DF} = \frac{AB}{AC} \, $ ....pers(i)
*). Segitiga ABD dengan alas BD dan segitiga ACD dengan alas DC mempunyai tinggi yang sama, misalkan $ t_1 $.
$ \frac{\text{Luas ABD}}{\text{Luas ACD}} = \frac{\frac{1}{2}BD.t_1}{\frac{1}{2}DC.t_1} = \frac{BD}{DC} = \frac{m}{n} \, $ ....pers(ii)
Dari pers(i) dan pers(ii) kita peroleh : $ \frac{m}{n} = \frac{AB}{AC} \, $ atau $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} $.
Jadi terbukti untuk dalil (2) garis bagi segitiga.

Pembuktian Panjang Garis Bagi dengan Aturan Cosinus

       Untuk materi aturan cosinus, silahkan baca langsung materinya pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Besar sudut BAD = sudut CAD = $ x $.
Perbandingan sisi : $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} \rightarrow bm = cn \, $ ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ m^2 = d^2 + c^2 - 2.d.c .\cos x , \, $ kalikan $ b $ kedua ruas,
$ \rightarrow b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 - 2.b.d.c .\cos x \, $ ....pers(ii).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ n^2 = d^2 + b^2 - 2.d.b .\cos x , \, $ kalikan $ c $ kedua ruas,
$ \rightarrow c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 - 2.d.b .c.\cos x \, $ ....pers(iii).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(iii) :
$ \begin{array}{cc} b.m^2 = b.d^2 + b.c^2 - 2.b.d.c .\cos x & \\ c.n^2 = c.d^2 + c.b^2 - 2.d.b .c.\cos x & - \\ \hline b.m^2 - c.n^2 = d^2(b-c) - bc(b-c) & \end{array} $
Substitusi bentuk pers(i) : $ bm = cn $
$ \begin{align} b.m^2 - c.n^2 & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ (bm).m - (cn).n & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ (cn).m - (bm).n & = d^2(b-c) - bc(b-c) \\ -mn(b-c) & = d^2(b-c) - bc(b-c) \, \, \, \, \, \text{(bagi dg } b-c) \\ -mn & = d^2 - bc \\ d^2 & = bc - mn \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis bagi $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = bc - mn $ .

Pembuktian Panjang Garis Bagi dengan Dalil Stewart

Perhatikan segitiga ABC berikut.
Perbandingan sisi : $ \frac{m}{n} = \frac{c}{b} \rightarrow bm = cn. $
dan panjang $ m + n = a $ .
*). Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi $ bm = cn $.
$ \begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + n.c^2 - m.n.a \\ d^2 . a & = (bm).b + (cn).c - m.n.a \\ d^2 . a & = (cn).b + (bm).c - m.n.a \\ d^2 . a & = bc(m+n) - m.n.a \\ d^2 . a & = bc.a - m.n.a \, \, \, \, \, \text{(bagi dg } a) \\ d^2 & = bc - mn \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis bagi $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = bc - mn $ .

Cara Menghitung Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya

     
         Salah satu jenis garis istimewa adalah garis berat. Pada artikel kali ini kita akan maembahas Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Silahkan juga baca materi "Dalil Stewart pada Segitiga" karena materi ini penting dalam membuktikan rumus panjang garis berat pada segitiga dan juga materi "aturan cosinus".

Menentukan Panjang Garis Berat pada Segitiga

       Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Perhatikan gambar garis berat berikut,
Dalil-dalil yang berlaku pada garis berat yaitu :
1). Ketiga garis berat (garis AD, BE, dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut dengan titik berat (titik O).

2). Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

3). Panjang garis beratnya bisa kita hitung dengan rumus berikut.

Cara Menentukan panjang garis beratnya.

perhatikan gambar gari berat AD berikut,
Misalkan panjang $ AD = d \, $,
menentukan panjang garis berat dengan rumus :
              $ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}a^2 $.
Contoh soal garis berat pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 5 cm, BC = 7 cm , dan AC = 6 cm. Jika garis berat AD dan BE berpotongan di titik O, tentukan panjang AD dan BO!
Penyelesaian :
*). Gambar segitiga ABC dan garis berat AD serta BD.
*). Menentukan panjang garis berat AD.
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.AC^2 - \frac{1}{4}.BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2}. 5^2 + \frac{1}{2}.6^2 - \frac{1}{4}.7^2 \\ AD^2 & = \frac{25}{2} + \frac{36}{2} - \frac{49}{4} \\ AD^2 & = \frac{50}{4} + \frac{72}{4} - \frac{49}{4} \\ AD^2 & = \frac{73}{4} \\ AD & = \sqrt{\frac{73}{4}} \\ AD & = \frac{1}{2}\sqrt{73} \end{align} $
Sehingga panjang garis berat $ AD = \frac{1}{2}\sqrt{73} \, $ cm.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.BC^2 - \frac{1}{4}.AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2}. 5^2 + \frac{1}{2}.7^2 - \frac{1}{4}.6^2 \\ BE^2 & = \frac{25}{2} + \frac{49}{2} - \frac{36}{4} \\ BE^2 & = \frac{50}{4} + \frac{98}{4} - \frac{36}{4} \\ BE^2 & = \frac{112}{4} = 28 = 4.7 \\ BE & = \sqrt{4.7} \\ BE & = 2\sqrt{7} \end{align} $
Sehingga panjang garis berat $ BE = 2\sqrt{7} \, $ cm.
*). Berdasarkan perbandingan titik berat, perbandingan BO : OE = 2 : 1,
Sehingga : $ BO = \frac{2}{3}BE = \frac{2}{3}. 2\sqrt{7} = \frac{4}{3}\sqrt{7} $.
Jadi, panjang $ BE = \frac{4}{3}\sqrt{7} \, $ cm.

2). Garis tinggi AD dan garis berat BE berpotongan di titik O pada segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm. Tentukan panjang OE!.
Penyelesaian :
*). Gambar ilustrasinya.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2}. AB^2 + \frac{1}{2}.BC^2 - \frac{1}{4}.AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2}. 4^2 + \frac{1}{2}.6^2 - \frac{1}{4}.5^2 \\ BE^2 & = \frac{16}{2} + \frac{36}{2} - \frac{25}{4} \\ BE^2 & = \frac{32}{4} + \frac{72}{4} - \frac{25}{4} \\ BE^2 & = \frac{79}{4} \\ BE & = \sqrt{\frac{79}{4}} \\ BE & = \frac{1}{2}\sqrt{79} \end{align} $
Sehingga panjang garis berat $ BE = \frac{1}{2}\sqrt{79} \, $ cm.
*). Menentukan panjang BD dengan dalil proyeksi pada garis tinggi AD.
$ \begin{align} AC^2 & = AB^2 + BC^2 - 2. BC.BD \\ 5^2 & = 4^2 + 6^2 - 2. 6.BD \\ 12BD & = 27 \\ BD & = \frac{27}{12} = \frac{9}{4} \end{align} $.
Panjang $ DC = BC - BD = 6 - \frac{9}{4} = \frac{15}{4} $
Sehingga perbandingan : $ \frac{BD}{DC} = \frac{\frac{9}{4}}{\frac{15}{4}} = \frac{9}{15} = \frac{3}{5} $.
*). Dalil Menelaus untuk EB dengan perbandingan EO : OB.
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}. \frac{CA}{EA} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{3}{5}. \frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. \frac{6}{5} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{5}{6} \end{align} $.
Dari perbandingan EO : OB = 5 : 6, maka
$ OE = \frac{5}{11} BE = \frac{5}{11} . \frac{1}{2}\sqrt{79} = \frac{5}{22} \sqrt{79} $ .
Jadi, panjang $ OE = \frac{5}{22} \sqrt{79} \, $ cm.

3). Terdapat segitiga ABC dengan garis berat AD = $ \sqrt{10}, \, BE = \sqrt{31}, \, $ CF dan panjang AB = 4 cm. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga lainnya dan panjang garis berat CF!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.
*). Menyusun persamaan dari panjang garis berat.
Garis berat $ AD = \sqrt{10} $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ (\sqrt{10})^2 & = \frac{1}{2} .4^2 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} a^2 \\ 10 & = 8 + \frac{1}{2} b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 40 & = 32 + 2b^2 - a^2 \\ -a^2 + 2b^2 & = 8 \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ (\sqrt{31})^2 & = \frac{1}{2} .4^2 + \frac{1}{2} a^2 - \frac{1}{4} b^2 \\ 31 & = 8 + \frac{1}{2} a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{(kali 4)} \\ 124 & = 32 + 2a^2 - b^2 \\ 2a^2 - b^2 & = 92 \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{c|c|cc} -a^2 + 2b^2 = 8 & \text{kali 2} & -2a^2 + 4b^2 = 16 & \\ 2a^2 - b^2 = 92 & \text{kali 2} & 2a^2 - b^2 = 92 & + \\ \hline & & 3b^2 = 108 & \\ & & b^2 = 36 & \\ & & b = 6 & \end{array} $
Pers(i) : $ -a^2 + 2b^2 = 8 \rightarrow -a^2 + 2. 6^2 = 8 \rightarrow a^2 = 64 \rightarrow a = 8 $.
Kita peroleh panjang sisi-sisi segitiganya : AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm.
*). Menentukan panjang garis berat CF,
$ \begin{align} CF^2 & = \frac{1}{2} BC^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} AB^2 \\ & = \frac{1}{2} .8^2 + \frac{1}{2}.6^2 - \frac{1}{4} .4^2 \\ & = 32 + 18 - 4 \\ CF^2 & = 46 \\ CF & = \sqrt{46} \end{align} $
Jadi, panjang garis berat $ CF = \sqrt{46} \, $ cm.

4). Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang $ AB = x , \, $ maka tentukan panjang BE!
Penyelesaian :
*). ilustrasi gambar segitiga ABC,
*). Menyusun persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
$ AB^2 + AC^2 = BC^2 \rightarrow x^2 + b^2 = a^2 \rightarrow b^2 - a^2 = -x^2 \, $ ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga $ BO = \frac{2}{3}BE $.
AO : OD = 2 : 1, sehingga $ AO = \frac{2}{3}AD $.
$ AO^2 + OB^2 = AB^2 \rightarrow (\frac{2}{3}AD)^2 + (\frac{2}{3}BE)^2 = x^2 $
$ \frac{4}{9}AD^2 + \frac{4}{9}BE^2 = x^2 \rightarrow AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 \, $ ....pers(ii).
*). Menyusun persamaan dari garis berat.
Garis berat $ AD $
$ \begin{align} AD^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}AC^2 - \frac{1}{4} BC^2 \\ AD^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
Garis berat $ BE = \sqrt{31} $
$ \begin{align} BE^2 & = \frac{1}{2} AB^2 + \frac{1}{2}BC^2 - \frac{1}{4} AC^2 \\ BE^2 & = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
$ \begin{array}{cc} AD^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}b^2 - \frac{1}{4} a^2 & \\ BE^2 = \frac{1}{2} x^2 + \frac{1}{2}a^2 - \frac{1}{4} b^2 & - \\ \hline AD^2 - BE^2 = \frac{1}{2}(b^2-a^2) + \frac{1}{4}(b^2 - a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(b^2-a^2) & \\ AD^2 - BE^2 = \frac{3}{4}(-x^2) & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & \end{array} $
Kita peroleh : $ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 \, $ ....pers(v).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
$\begin{array}{cc} AD^2 + BE^2 = \frac{9}{4}x^2 & \\ AD^2 - BE^2 = -\frac{3}{4}x^2 & - \\ \hline 2BE^2 = 3x^2 & \\ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 & \end{array} $
Dari bentuk $ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 $, kita peroleh :
$ BE^2 = \frac{3}{2} x^2 \rightarrow BE^2 = \frac{6}{4} x^2 \rightarrow BE = \sqrt{\frac{6}{4} x^2 } = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.
Jadi, kita peroleh panjang $ BE = \frac{1}{2}x\sqrt{6} $.

Pembuktian perbandingan pada dalil 2 garis berat.

Dalil 2 garis berat berbunyi :
       Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

Untuk membuktikan dalil ini, kita menggunakan dalil Menenlaus,
Perhatikan gambar berikut.
*). Dalil Menelaus untuk gambar (a).
Perbandingan AO : OD dengan $ \frac{AF}{FB} = 1 \, $ dan $ \frac{BC}{CD} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{DO}{OA}. \frac{AF}{FB}.\frac{BC}{DC} & = 1 \\ \frac{DO}{OA}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{DO}{OA} & = \frac{1}{2} \\ \frac{AO}{OD} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Perbandingan CO : OF dengan $ \frac{CD}{DB} = 1 \, $ dan $ \frac{BA}{FA} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{FO}{OC}. \frac{CD}{DB}.\frac{BA}{FA} & = 1 \\ \frac{FO}{OC}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{FO}{OC} & = \frac{1}{2} \\ \frac{CO}{OF} & = \frac{2}{1} \end{align} $
*). Dalil Menelaus untuk gambar (b).
Perbandingan BO : OE dengan $ \frac{BD}{DC} = 1 \, $ dan $ \frac{CA}{EA} = \frac{2}{1} $
$ \begin{align} \frac{EO}{OB}. \frac{BD}{DC}.\frac{CA}{EA} & = 1 \\ \frac{EO}{OB}. 1.\frac{2}{1} & = 1 \\ \frac{EO}{OB} & = \frac{1}{2} \\ \frac{BO}{OE} & = \frac{2}{1} \end{align} $
Jadi, terbukti AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.

Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Aturan Cosinus

       Untuk materi aturan cosinus, silahkan baca langsung materinya pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Panjang $ BD = DC = m = \frac{1}{2}a \, $ dan panjang $ AD = d $.
*). Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $.
Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - x $.
Sehingga : $ \cos y = \cos (180^\circ - x ) = - \cos x $.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos y \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .(-\cos x) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos x \, $ ....pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x & \\ b^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos x & + \\ \hline b^2 + c^2 = 2d^2 + 2m^2 & \\ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 & \\ \end{array} $
Substitusi nilai $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - m^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - (\frac{1}{2}a)^2 \\ d^2 & = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 $ .

Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Dalil Stewart

Perhatikan segitiga ABC berikut.
Panjang $ BD = DC = m = \frac{1}{2}a \, $ dan panjang $ AD = d $.
*). Dalil Stewart pada segitiga ABC dan substitusi $ m = \frac{1}{2}a $.
$ \begin{align} d^2 . a & = m.b^2 + m.c^2 - m.m.a \\ d^2 . a & = \frac{1}{2}a.b^2 + \frac{1}{2}a.c^2 - \frac{1}{2}a.\frac{1}{2}a.a \, \, \, \, \text{....(bagi } a ) \\ d^2 & = \frac{1}{2} b^2 + \frac{1}{2} c^2 - \frac{1}{4} a^2 \end{align} $
Jadi, terbukti panjang garis berat $ \, AD = d \, $ adalah
$ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2}c^2 - \frac{1}{4}a^2 $ .

Dalil Stewart dan Pembuktian Dalil Stewart pada Segitiga

     
         Salah satu dalil garis pada segitiga yang tidak kalah penting adalah dalil Stewart. Pada artikel ini kita membahas materi dalil Stewart pada segitiga dan pembuktiannya. Salah satu kegunaan dalil Stewart adalah untuk membuktikan rumus panjang garis berat dan panjang garis bagi sebuah segitiga. Dan untuk mudah dalam membuktikan, silahkan baca tentang dalil proyeksi pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya".

Konsep Dalil Stewart pada Segitiga

       Dalil Stewart menyatakan hubungan antara sisi-sisi segitiga dengan panjang ruas garis yang menghubungkan titik sudut dengan sisi yang ada dihadapan sudut tersebut. perhatikan gambar segitiga ABC berikut,
Jika titik D terletak pada sisi BC pada sigitiga ABC, sehingga panjang $ BD = m , \, DC = n , \, $ dan $ m + n = a , \, $ maka panjang sebarang garis $ AD = d \, $ yaitu :

$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC \, $
atau $ \, d^2 . a = b^2.m + c^2 . n - m.n.a $
Contoh soal Dalil Stewart pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm. Titik D terletak pada sisi BC dengan BD = 2 cm dan titik E terletak pada sisi AC dengan panjang AE = 4 cm. Tentukan panjang DE?
Penyelesaian :
*). Kita gunakan dalil Stewart.
*). Menentukan panjang AD dengan dalil Stewart pada $\Delta$ABC
$ \begin{align} AD^2 . BC & = BD. AC^2 + DC.AB^2 - BD.DC.BC \\ AD^2 . 8 & = 2. 6^2 + 6.4^2 - 2.6.8 \\ AD^2 . 8 & = 72 + 96 - 96 \\ AD^2 . 8 & = 72 \\ AD^2 & = 9 \\ AD & = \sqrt{9} = 3 \end{align} $
Sehingga panjang AD = 3 cm.
*). Menentukan panjang DE dengan dalil Stewart pada $\Delta$ADC
$ \begin{align} DE^2 . AC & = CE.AD^2 + EA.DC^2 - CE.EA.AC \\ DE^2 . 6 & = 2.3^2 + 4.6^2 - 2.4.6 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 144 - 48 \\ DE^2 . 6 & = 18 + 96 \\ DE^2 . 6 & = 114 \\ DE^2 & = 19 \\ DE & = \sqrt{19} \end{align} $
Jadi, panjang DE = $\sqrt{19} $ cm.

2). Pada sebuah segitiga ABC, diketahui AB = 8 cm, BC = 7 cm, dan AC = 6 cm. Pada perpanjangan AB terdapat titik D, sehingga BD = 1/2 AD. Hitunglah panjang CD.
Penyelesaian :
*). Karena panjang BD = 1/2 AD, maka BD = AB = 8 cm.
*). Gambar ilustrasinya :
*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} CB^2.AD & = AB.CD^2 + BD.AC^2 - AB.BD.AD \\ 7^2.16 & = 8.CD^2 + 8.6^2 - 8.8.16 \, \, \, \, \, \text{(bagi 8)} \\ 49.2 & = CD^2 + 36 - 8.16 \\ 98 & = CD^2 + 36 - 128 \\ 98 & = CD^2 -92 \\ CD^2 & = 190 \\ CD & = \sqrt{190} \end{align} $
Jadi, panjang $ CD = \sqrt{190} \, $ cm.
Catatan : soal nomor 2 ini bisa diselesaikan menggunakan rumus panjang garis berat.

3). Diketahui sebuah segitiga ABC dengan AC = 8 cm, AB = 6 cm dan BC = 12 cm. Titik D pada AB dan titik E pada AC sehingga AD:AB = 1:3 dan BE = CE. Hitunglah panjang DE!
Penyelesaian :
*). Panjang AD:AB = 1:3 ,
Panjang $ AD = \frac{1}{3} AB = \frac{1}{3} . 6 = 2 $.
Panjang $ DB = \frac{2}{3} AB = \frac{2}{3} . 6 = 4 $.
Misalkan panjang $ BE = EC = x , \, $ sehingga $ EA = 8 - x $.
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.
*). Dalil Stewart pada $\Delta$ABC menentukan panjang BE ($x$),
$ \begin{align} BE^2.AC & = CE.AB^2 + EA.BC^2 - CE.EA.AC \\ x^2.8 & = x.6^2 + (8-x).12^2 - x.(8-x).8 \\ 8x^2 & = 36x + 1152 - 144x - 64x + 8x^2 \\ 172x & = 1152 \\ x & = \frac{1152}{172} = \frac{288}{43} \end{align} $
Sehingga panjang $ BE = x = \frac{288}{43} \, $ cm.
Panjang $ EA = 8 - x = 8 - \frac{288}{43} = \frac{56}{43} $ .
*). Kita terapkan dalil stewart pada segitiga AEB.
$ \begin{align} DE^2.AB & = AD.BE^2 + DB.EA^2 - AD.DB.AB \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{288}{43})^2 + 4.(\frac{56}{43})^2 - 2.4.6 \\ DE^2.6 & = 2.(\frac{82944}{1849}) + 4.(\frac{3136}{1849}) - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{165888}{1849} + \frac{12544}{1849} - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} - 48 \\ DE^2.6 & = \frac{178432}{1849} - \frac{88752}{1849} \\ DE^2.6 & = \frac{89680}{1849} \\ DE^2 & = \frac{89680}{11094} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \\ DE & = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \end{align} $
Jadi, panjang $ DE = \sqrt{\frac{89680}{11094}} \, $ cm.

4). Diketahui ada sebuah trapesium. Sisi-sisi sejajar trapesium adalah 16 cm dan 10 cm. Panjang kaki-kakinya 8 cm dan 10 cm. Hitunglah panjang kedua diagonalnya!
Penyelesaian :
*). ilustrasi gambar trapesiumnya.
*). Misalkan panjang $ AC = x \, $ dan $ BD = y $ .
Misalkan juga $ AE = x_1 , \, EC = x_2, \, DE = y_1, \, EB = y_2 $
dengan $ x_1 + x_2 = x \, $ dan $ \, y_1 + y_2 = y $.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
Karena sebangun, maka perbandingan sisi yang bersesuaian sama.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{x_1}{x_2} = \frac{5}{8} $.
Sehingga : $ x_1 = \frac{5}{13} x \, $ dan $ x_2 = \frac{8}{13}x $.
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{10}{16} \rightarrow \frac{y_1}{y_2} = \frac{5}{8} $.
Sehingga : $ y_1 = \frac{5}{13} y \, $ dan $ y_2 = \frac{8}{13}y $.
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 - AE.EC.AC \\ y_1^2.x & = x_1.8^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{....pers(i)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 - AE.EC.AC \\ y_2^2.x & = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x \, \, \, \, \, \text{....pers(ii)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii),
$ \begin{array}{cc} y_1^2.x = x_1.8^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x & \\ y_2^2.x = x_1.(16)^2 + x_2.10^2 - x_1.x_2.x & - \\ \hline x(y_1^2 - y_2^2) = -192x_1 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} x(y_1^2 - y_2^2) & = -192x_1 \\ x((\frac{5}{13} y)^2 - (\frac{8}{13} y)^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x(\frac{25}{169} y^2 - \frac{64}{169} y^2) & = -192.\frac{5}{13} x \\ x.\frac{-39}{169} y^2 & = -192.\frac{5}{13} x \\ \frac{39}{169} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ \frac{3}{13} y^2 & = 192.\frac{5}{13} \\ 3 y^2 & = 192 . 5 \\ y^2 & = \frac{192.5}{3} = 64 . 5 \\ y & = \sqrt{64. 5} = 8 \sqrt{5} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ADB.
$ \begin{align} AE^2.BD & = DE.AB^2 + EB.AD^2 - DE.EB.DB \\ x_1^2.y & = y_1.10^2 + y_2.10^2 - y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{....pers(iii)} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga CDB.
$ \begin{align} CE^2.BD & = DE.BC^2 + EB.CD^2 - DE.EB.DB \\ x_2^2.y & = y_1.16^2 + y_2.8^2 - y_1.y_2.y \, \, \, \, \, \text{....pers(iv)} \end{align} $
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv),
$ \begin{array}{cc} x_1^2.y = y_1.10^2 + y_2.10^2 - y_1.y_2.y & \\ x_2^2.y = y_1.16^2 + y_2.8^2 - y_1.y_2.y & - \\ \hline y(x_1^2 - x_2^2) = -156y_1 + 36y_2 & \end{array} $
*). Substitusi nilai $ x_1,x_2, y_1 , y_2 $,
$ \begin{align} y(x_1^2 - x_2^2) & = -156y_1 + 36y_2 \\ y((\frac{5}{13} x)^2 - (\frac{8}{13} x)^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y(\frac{25}{169} x^2 - \frac{64}{169} x^2) & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ y.\frac{-39}{169} x^2 & = -156.\frac{5}{13} y + 36. \frac{8}{13} y \\ \frac{-3}{13} x^2 & = -156.\frac{5}{13} + 36. \frac{8}{13} \\ -3 x^2 & = -156.5 + 36. 8 \\ -3 x^2 & = -492 \\ x^2 & = 164 \\ x & = \sqrt{164} \end{align} $
Jadi, panjang diagonal-diagonalnya adalah $ 8 \sqrt{5} \, $ cm dan $ \sqrt{164} \, $ cm.

5). Sisi-sisi sejajar sebuah trapesium 6 cm dan 36 cm. Panjang diagonalnya 21 cm dan 28 cm. Hitunglah panjang kaki-kaki trapesium tersebut!
Penyelesaian :
*). Perhatikan ilustrasi gambar di bawah ini.
*). Menentukan panjang masing pada trapesium.
Diagonal AC = 28 cm, diagonal BD = 21 cm.
Sisi-sisi sejajar : AD = 6 cm dan BC = 36 cm.
*). Segitiga AED sebangun dengan segitiga BEC.
$ \frac{AE}{EC} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{AE}{EC} = \frac{1}{6} $
Sehingga : $ AE = \frac{1}{7} AC = \frac{1}{7}. 28 = 4 \, $ dan $ EC = \frac{6}{7} AC = \frac{6}{7}. 28 = 24 $ .
$ \frac{DE}{EB} = \frac{AD}{BC} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{6}{36} \rightarrow \frac{DE}{EB} = \frac{1}{6} $
Sehingga : $ DE = \frac{1}{7} BD = \frac{1}{7}. 21 = 3 \, $ dan $ EB = \frac{6}{7} BD = \frac{6}{7}. 21 = 18 $ .
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACD.
$ \begin{align} DE^2.AC & = AE.CD^2 + EC.AD^2 - AE.EC.AC \\ 3^2.28 & = 4.CD^2 + 24.6^2 - 4.24.28 \\ 252 & = 4.CD^2 + 864 - 2688 \\ 252 & = 4.CD^2 - 1824 \\ 4.CD^2 & = 2076 \\ CD^2 & = \frac{2076}{4} = 519 \\ CD & = \sqrt{519} \end{align} $
*). Menerapkan dalil stewart pada segitiga ACB.
$ \begin{align} BE^2.AC & = AE.BC^2 + EC.AB^2 - AE.EC.AC \\ 18^2.28 & = 4.(36)^2 + 24.AB^2 - 4.24.28 \\ 9072 & = 5184 + 24.AB^2 - 2688 \\ 24.AB^2 & = 6576 \\ AB^2 & = 274 \\ AB & = \sqrt{274} \end{align} $
Jadi, panjang kaki-kaki trapesium tersebut adalah $ \sqrt{519} \, $ cm dan $ \sqrt{274} \, $ cm.

Pembuktian Dalil Stewart dengan aturan Cosinus

       Untuk pembuktian pertama ini kita akan menggunakan aturan cosinus. Teori aturan cosinus bisa di baca pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya adalah $ m + n = a $.
*). Misalkan sudut $ ABD = y \, $ dan sudut $ ADC = x $.
Sudut $ x \, $ dan $ y \, $ saling berpelurus, sehingga jumlahnya $ 180^\circ$.
$ y + x = 180^\circ \rightarrow y = 180^\circ - x $.
Sehingga : $ \cos y = \cos (180^\circ - x ) = - \cos x $.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .\cos y $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 - 2.d.m .(-\cos x) $
$ \rightarrow c^2 = d^2 + m^2 + 2dm\cos x \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x \, $ ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
$ b^2 = d^2 + n^2 - 2.d.n .\cos x \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m - 2dmn\cos x \, $ ....pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m - 2dmn\cos x & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n + 2dmn\cos x & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a & \end{array} $
Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC $

Pembuktian Dalil Stewart dengan dalil proyeksi

       Teori dalil proyeksi bisa kita baca pada materi "Panjang Garis Tinggi pada Segitiga dan Pembuktiannya" yang dibagi menjadi dua yaitu dalil proyeksi segitiga tumpul dan dalil proyeksi segitiga lancip.
Pada gambar kita proyeksikan garis AD pada garis BD yang hasilnya adalah DE.
*). Panjang untuk sisi masing-masing terlihat pada gambar di atas.
khususnya adalah $ m + n = a $.
*). Dalil proyeksi lancip pada segitiga BAD,
$ c^2 = d^2 + m^2 - 2 . m . ED \, $ , kalian dengan $ n \, $ kedua ruas :
$ c^2.n = d^2.n + m^2.n - 2 . m .n. ED \, $ ....pers(iii).
*). Dalil proyeksi tumpul pada segitiga CAD,
$ b^2 = d^2 + n^2 + 2.n .ED \, $ , kalian dengan $ m \, $ kedua ruas :
$ b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED \, $ ....pers(iv).
*). Eliminasi pers(iii) dan pers(iv) :
$ \begin{array}{cc} b^2.m = d^2.m + n^2.m + 2 . m .n. ED & \\ c^2.n = d^2.n + m^2.n - 2 . m .n. ED & + \\ \hline b^2.m + c^2.n = d^2(m+n) + mn(m+n) & \\ b^2.m + c^2.n = d^2.a + m.n.a & \\ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a & \end{array} $
Sehingga terbukti panjang $ AD = d \, $ diperoleh dari rumus :
$ d^2.a = b^2.m + c^2.n - m.n.a \, $ atau
$ AD^2 . BC = AC^2.BD + AB^2 . DC - BD.DC.BC $

Catatan:
Setelah saya mulai menyusun materi yang berkaitan dengan Dalil Stewart, ternyata saya sangat kagum dengan kegunaan dalil ini, tidak hanya untuk membuktikan panjang garis berat dan garis bagi, ternyata bisa juga digunakan untuk membuktikan teorema pythagoras pada segitiga siku-siku.
Ini sedikit tantangan untuk kita semua, coba selesaikan beberapa soal berikut ini,
i). Coba buktikan teorema pythagaoras menggunakan dali Stewart, silahkan konstruksinya bebas.
ii). Buktikan untuk sebarang jajar genjang, berlaku bahwa jumlah kuadrat sisi-sisi diagonalnya sama dengan dua kali jumlah kuadrat sisi-sisinya sejajarnya.
Selamat untuk mencoba bagi teman-teman yang tertarik untuk memecahkan masalah di atas.

Macam Macam Garis Istimewa pada Segitiga

     
         Pada artikel kali ini kita akan membahas materi Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga. Pada Panjang Garis-garis Istimewa pada Segitiga ini kita hanya merangkum teorinya saja tanpa ada pembuktian dan contoh soalnya. Untuk pembuktian dan contoh-contoh soalnya akan dibahas pada artikel lain secara mendalam yang akan kita sediakan link nya langsung. Garis-garis istimewa pada segitiga terdiri dari garis sumbu, garis tinggi, garis berat, dan garis bagi.

Garis Sumbu sebuah Segitiga

       Garis sumbu sebuah segitiga adalah garis yang melalui titik tengah sisi segitiga dan tegak lurus pada sisi tersebut. Perhatikan gambar garis sumbu berikut,
Dari gambar di atas, garis k sebagai garis sumbu sisi AC, garis l sebagai garis sumbu sisi AB, dan garis m sebagai garis sumbu sisi BC.

Dalil-dalil yang berkaitan dengan garis sumbu yaitu :
Dalil 1 : Ketiga garis sumbu berpotongan pada satu titik yang disebut titik sumbu.
Dalil 2 : Titik sumbu segitiga berjarak sama ke setiap titik sudut segitiga,
Jarak OA = OB = OC.
Dalil 3 : Titik sumbu segitiga adalah titik pusat lingkaran luar segitiga seperti gambar berikut ini dengan titik P adalah titik sumbu pusat lingkaran,

Garis Tinggi sebuah Segitiga

       Garis tinggi sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut segitiga dan tegak lurus pada sisi yang berhadapan dengan titik sudut tersebut. perhatikan gambar garis tinggi berikut,
dari gambar, garis tingginya adalah garis AF, BD, dan CE. Ketiga garis tinggi berpotongan di titik O yang disebut dengan titik tinggi.

Menentukan panjang garis tinggi pada segitiga :
       Untuk menentukan panjang garis tinggi, kita gunakan Dalil Proyeksi. Ada dua jenis yaitu :
*). Dali proyeksi segitiga lancip,
Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya adalah garis CD seperti gambar berikut.
Misalkan panjang $ CD = p \, $ ,
panjang $ p $ bisa ditentukan dengan rumus: $ \, c^2 = a^2 + b^2 - 2ap $

Misalkan panjang $ BD = k \, $ ,
panjang $ k $ bisa ditentukan dengan rumus: $ \, b^2 = a^2 + c^2 - 2ap $

*). Dali proyeksi segitiga tumpul,
Kita proyeksikan garis CA pada garis BC, hasil proyeksinya adalah garis CD seperti gambar berikut.
Misalkan panjang $ BD = p \, $ ,
panjang $ p $ bisa ditentukan dengan rumus: $ \, c^2 = a^2 + b^2 + 2ap $

Catatan :
*). Dalil proyeksi ini bisa kita gunakan untuk membuktikan dalil Stewart.
*). Untuk contoh dan pembuktian garis tinggi, lilahkan baca lebih lengkap di "Garis Tinggi dan Pembuktiannya".

Garis Berat sebuah Segitiga

       Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Perhatikan gambar garis berat berikut,
dari gambar di atas, garis beratnya adalah AD, BE, dan CF. Perpotongan ketiga garis berat disebut titik berat. Ketiga garis berat berpotongan di titik berat dengan perbandingan panjang 2 : 1 ,
yaitu AO : OD = BO : OE = CO : OF = 2 : 1.

Menentukan panjang garis beratnya.
perhatikan gambar gari berat AD berikut,
Misalkan panjang $ AD = d \, $,
menentukan panjang garis berat dengan rumus :
                     $ d^2 = \frac{1}{2}b^2 + \frac{1}{2} - \frac{1}{4}a^2 $.

Untuk contoh dan pembuktian panjang garis berat, silahkan baca secara lengkap pada artikel "Garis Berat dan Pembuktiannya".

Garis Bagi sebuah Segitiga

       Garis bagi sebuah segitiga adalah garis yang ditarik dari titik sudut segitiga memotong sisi didepan titik sudut tersebut dengan membagi dua sama besar suudut tersebut, seperti gambar berikut.
Dari gambar gari sbagi di atas, garis baginya adalah garis AD, BE, dan CF. Ketiga gari bagi berpotongan di titik O yang disebut dengan titik bagi. Garis bagi membagi sisi di depannya menjadi dua bagian dengan rasio panjangnya sama dengan rasio sisi-sisi bergekatan (misalkan BD : DC = BA : AC). Titik bagi sebuah segitiga merupakan titik pusat lingkaran dalam segitiga seperti gambar berikut.

Menentukan panjang garis bagi.
perhatikan gambar garis bagi berikut,
Misalkan panjang garis bagi $ AD = d , \, $
menentukan panjang $ d \, $ dengan rumus :
                     $ d^2 = bc - mn $
dengan $ m : n = c : b $
sehingga $ m = \frac{c}{ b+ c} \times a \, $ dan $ n = \frac{b}{ b+ c} \times a $

Untuk contoh dan pembuktian panjang garis bagi, silahkan baca secara lengkap pada artikel "Garis Bagi dan Pembuktiannya".