Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Cara Menghitung Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Cara Menghitung Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Salah satu jenis garis istimewa adalah garis berat. Pada artikel kali ini kita akan maembahas Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Silahkan juga baca materi "Dalil Stewart pada Segitiga" karena materi ini penting dalam membuktikan rumus panjang garis berat pada segitiga dan juga materi "aturan cosinus".
Contoh soal garis berat pada segitiga :
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 5 cm, BC = 7 cm , dan AC = 6 cm. Jika garis berat AD dan BE berpotongan di titik O, tentukan panjang AD dan BO!
Penyelesaian :
*). Gambar segitiga ABC dan garis berat AD serta BD.
*). Menentukan panjang garis berat AD.
AD2=12.AB2+12.AC2−14.BC2AD2=12.52+12.62−14.72AD2=252+362−494AD2=504+724−494AD2=734AD=√734AD=12√73
Sehingga panjang garis berat AD=12√73 cm.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
BE2=12.AB2+12.BC2−14.AC2BE2=12.52+12.72−14.62BE2=252+492−364BE2=504+984−364BE2=1124=28=4.7BE=√4.7BE=2√7
Sehingga panjang garis berat BE=2√7 cm.
*). Berdasarkan perbandingan titik berat, perbandingan BO : OE = 2 : 1,
Sehingga : BO=23BE=23.2√7=43√7.
Jadi, panjang BE=43√7 cm.
2). Garis tinggi AD dan garis berat BE berpotongan di titik O pada segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm. Tentukan panjang OE!.
Penyelesaian :
*). Gambar ilustrasinya.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
BE2=12.AB2+12.BC2−14.AC2BE2=12.42+12.62−14.52BE2=162+362−254BE2=324+724−254BE2=794BE=√794BE=12√79
Sehingga panjang garis berat BE=12√79 cm.
*). Menentukan panjang BD dengan dalil proyeksi pada garis tinggi AD.
AC2=AB2+BC2−2.BC.BD52=42+62−2.6.BD12BD=27BD=2712=94.
Panjang DC=BC−BD=6−94=154
Sehingga perbandingan : BDDC=94154=915=35.
*). Dalil Menelaus untuk EB dengan perbandingan EO : OB.
EOOB.BDDC.CAEA=1EOOB.35.21=1EOOB.65=1EOOB=56.
Dari perbandingan EO : OB = 5 : 6, maka
OE=511BE=511.12√79=522√79 .
Jadi, panjang OE=522√79 cm.
3). Terdapat segitiga ABC dengan garis berat AD = √10,BE=√31, CF dan panjang AB = 4 cm. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga lainnya dan panjang garis berat CF!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.
*). Menyusun persamaan dari panjang garis berat.
Garis berat AD=√10
AD2=12AB2+12AC2−14BC2(√10)2=12.42+12b2−14a210=8+12b2−14a2(kali 4)40=32+2b2−a2−a2+2b2=8....pers(i)
Garis berat BE=√31
BE2=12AB2+12BC2−14AC2(√31)2=12.42+12a2−14b231=8+12a2−14b2(kali 4)124=32+2a2−b22a2−b2=92....pers(ii)
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
−a2+2b2=8kali 2−2a2+4b2=162a2−b2=92kali 22a2−b2=92+3b2=108b2=36b=6
Pers(i) : −a2+2b2=8→−a2+2.62=8→a2=64→a=8.
Kita peroleh panjang sisi-sisi segitiganya : AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm.
*). Menentukan panjang garis berat CF,
Menentukan Panjang Garis Berat pada Segitiga
Garis berat sebuah segitiga adalah garis yang melalui sebuah titik sudut dan membagi sisi didepan sudut menjadi dua bagian sama panjang. Perhatikan gambar garis berat berikut,
Dalil-dalil yang berlaku pada garis berat yaitu :
1). Ketiga garis berat (garis AD, BE, dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut dengan titik berat (titik O).
2). Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
3). Panjang garis beratnya bisa kita hitung dengan rumus berikut.
Misalkan panjang AD=d,
menentukan panjang garis berat dengan rumus :
d2=12b2+12−14a2.
Dalil-dalil yang berlaku pada garis berat yaitu :
1). Ketiga garis berat (garis AD, BE, dan CF) berpotongan pada satu titik yang disebut dengan titik berat (titik O).
2). Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
3). Panjang garis beratnya bisa kita hitung dengan rumus berikut.
Cara Menentukan panjang garis beratnya.
perhatikan gambar gari berat AD berikut,Misalkan panjang AD=d,
menentukan panjang garis berat dengan rumus :
d2=12b2+12−14a2.
1). Diketahui segitiga ABC dengan panjang AB = 5 cm, BC = 7 cm , dan AC = 6 cm. Jika garis berat AD dan BE berpotongan di titik O, tentukan panjang AD dan BO!
Penyelesaian :
*). Gambar segitiga ABC dan garis berat AD serta BD.
*). Menentukan panjang garis berat AD.
AD2=12.AB2+12.AC2−14.BC2AD2=12.52+12.62−14.72AD2=252+362−494AD2=504+724−494AD2=734AD=√734AD=12√73
Sehingga panjang garis berat AD=12√73 cm.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
BE2=12.AB2+12.BC2−14.AC2BE2=12.52+12.72−14.62BE2=252+492−364BE2=504+984−364BE2=1124=28=4.7BE=√4.7BE=2√7
Sehingga panjang garis berat BE=2√7 cm.
*). Berdasarkan perbandingan titik berat, perbandingan BO : OE = 2 : 1,
Sehingga : BO=23BE=23.2√7=43√7.
Jadi, panjang BE=43√7 cm.
2). Garis tinggi AD dan garis berat BE berpotongan di titik O pada segitiga ABC dengan panjang sisi-sisinya AB = 4 cm, BC = 6 cm, dan AC = 5 cm. Tentukan panjang OE!.
Penyelesaian :
*). Gambar ilustrasinya.
*). Menentukan panjang garis berat BE.
BE2=12.AB2+12.BC2−14.AC2BE2=12.42+12.62−14.52BE2=162+362−254BE2=324+724−254BE2=794BE=√794BE=12√79
Sehingga panjang garis berat BE=12√79 cm.
*). Menentukan panjang BD dengan dalil proyeksi pada garis tinggi AD.
AC2=AB2+BC2−2.BC.BD52=42+62−2.6.BD12BD=27BD=2712=94.
Panjang DC=BC−BD=6−94=154
Sehingga perbandingan : BDDC=94154=915=35.
*). Dalil Menelaus untuk EB dengan perbandingan EO : OB.
EOOB.BDDC.CAEA=1EOOB.35.21=1EOOB.65=1EOOB=56.
Dari perbandingan EO : OB = 5 : 6, maka
OE=511BE=511.12√79=522√79 .
Jadi, panjang OE=522√79 cm.
3). Terdapat segitiga ABC dengan garis berat AD = √10,BE=√31, CF dan panjang AB = 4 cm. Tentukan panjang sisi-sisi segitiga lainnya dan panjang garis berat CF!
Penyelesaian :
*). Ilustrasi gambar segitiga ABC.
*). Menyusun persamaan dari panjang garis berat.
Garis berat AD=√10
AD2=12AB2+12AC2−14BC2(√10)2=12.42+12b2−14a210=8+12b2−14a2(kali 4)40=32+2b2−a2−a2+2b2=8....pers(i)
Garis berat BE=√31
BE2=12AB2+12BC2−14AC2(√31)2=12.42+12a2−14b231=8+12a2−14b2(kali 4)124=32+2a2−b22a2−b2=92....pers(ii)
*). eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
−a2+2b2=8kali 2−2a2+4b2=162a2−b2=92kali 22a2−b2=92+3b2=108b2=36b=6
Pers(i) : −a2+2b2=8→−a2+2.62=8→a2=64→a=8.
Kita peroleh panjang sisi-sisi segitiganya : AB = 4 cm, BC = 8 cm, dan AC = 6 cm.
*). Menentukan panjang garis berat CF,
Loading...
CF2=12BC2+12AC2−14AB2=12.82+12.62−14.42=32+18−4CF2=46CF=√46
Jadi, panjang garis berat CF=√46 cm.
4). Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang AB=x, maka tentukan panjang BE!
Penyelesaian :
*). ilustrasi gambar segitiga ABC,
*). Menyusun persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
AB2+AC2=BC2→x2+b2=a2→b2−a2=−x2 ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga BO=23BE.
AO : OD = 2 : 1, sehingga AO=23AD.
AO2+OB2=AB2→(23AD)2+(23BE)2=x2
49AD2+49BE2=x2→AD2+BE2=94x2 ....pers(ii).
*). Menyusun persamaan dari garis berat.
Garis berat AD
AD2=12AB2+12AC2−14BC2AD2=12x2+12b2−14a2....pers(iii)
Garis berat BE=√31
BE2=12AB2+12BC2−14AC2BE2=12x2+12a2−14b2....pers(iv)
*). Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
AD2=12x2+12b2−14a2BE2=12x2+12a2−14b2−AD2−BE2=12(b2−a2)+14(b2−a2)AD2−BE2=34(b2−a2)AD2−BE2=34(−x2)AD2−BE2=−34x2
Kita peroleh : AD2−BE2=−34x2 ....pers(v).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
AD2+BE2=94x2AD2−BE2=−34x2−2BE2=3x2BE2=32x2
Dari bentuk BE2=32x2, kita peroleh :
BE2=32x2→BE2=64x2→BE=√64x2=12x√6.
Jadi, kita peroleh panjang BE=12x√6.
.
Jadi, panjang garis berat CF=√46 cm.
4). Segitiga ABC siku-siku di A. Garis berat AD tegak lurus garis berat BE berpotongan di titik O. Jika panjang AB=x, maka tentukan panjang BE!
Penyelesaian :
*). ilustrasi gambar segitiga ABC,
*). Menyusun persamaan dari tegak lurus.
Segitiga ABC siku-siku di A :
AB2+AC2=BC2→x2+b2=a2→b2−a2=−x2 ....pers(i)
Segitiga AOB siku-siku di titik O :
BO : OE = 2 : 1, sehingga BO=23BE.
AO : OD = 2 : 1, sehingga AO=23AD.
AO2+OB2=AB2→(23AD)2+(23BE)2=x2
49AD2+49BE2=x2→AD2+BE2=94x2 ....pers(ii).
*). Menyusun persamaan dari garis berat.
Garis berat AD
AD2=12AB2+12AC2−14BC2AD2=12x2+12b2−14a2....pers(iii)
Garis berat BE=√31
BE2=12AB2+12BC2−14AC2BE2=12x2+12a2−14b2....pers(iv)
*). Eliminasi pers(iii) dan pes(iv) dan gunakan pers(ii)
AD2=12x2+12b2−14a2BE2=12x2+12a2−14b2−AD2−BE2=12(b2−a2)+14(b2−a2)AD2−BE2=34(b2−a2)AD2−BE2=34(−x2)AD2−BE2=−34x2
Kita peroleh : AD2−BE2=−34x2 ....pers(v).
*). Eliminasi pers(ii) dan pers(v) :
AD2+BE2=94x2AD2−BE2=−34x2−2BE2=3x2BE2=32x2
Dari bentuk BE2=32x2, kita peroleh :
BE2=32x2→BE2=64x2→BE=√64x2=12x√6.
Jadi, kita peroleh panjang BE=12x√6.
Pembuktian perbandingan pada dalil 2 garis berat.
Dalil 2 garis berat berbunyi :
Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
Untuk membuktikan dalil ini, kita menggunakan dalil Menenlaus,
Perhatikan gambar berikut.
*). Dalil Menelaus untuk gambar (a).
Perbandingan AO : OD dengan AFFB=1 dan BCCD=21
DOOA.AFFB.BCDC=1DOOA.1.21=1DOOA=12AOOD=21
Perbandingan CO : OF dengan CDDB=1 dan BAFA=21
FOOC.CDDB.BAFA=1FOOC.1.21=1FOOC=12COOF=21
*). Dalil Menelaus untuk gambar (b).
Perbandingan BO : OE dengan BDDC=1 dan CAEA=21
EOOB.BDDC.CAEA=1EOOB.1.21=1EOOB=12BOOE=21
Jadi, terbukti AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
Ketiga garis berat berpotongan pada titik berat dengan bagian-bagiannya memiliki perbandingan 2 : 1, bagian terpanjang adalah titik berat dengan titik sudut ke masing-masing. Perbandingan yang dimaksud adalah AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
Untuk membuktikan dalil ini, kita menggunakan dalil Menenlaus,
Perhatikan gambar berikut.
*). Dalil Menelaus untuk gambar (a).
Perbandingan AO : OD dengan AFFB=1 dan BCCD=21
DOOA.AFFB.BCDC=1DOOA.1.21=1DOOA=12AOOD=21
Perbandingan CO : OF dengan CDDB=1 dan BAFA=21
FOOC.CDDB.BAFA=1FOOC.1.21=1FOOC=12COOF=21
*). Dalil Menelaus untuk gambar (b).
Perbandingan BO : OE dengan BDDC=1 dan CAEA=21
EOOB.BDDC.CAEA=1EOOB.1.21=1EOOB=12BOOE=21
Jadi, terbukti AO : OD = 2 : 1, BO : OE = 2 : 1, dan CO : OF = 2 : 1.
Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Aturan Cosinus
Untuk materi aturan cosinus, silahkan baca langsung materinya pada artikel "Penerapan Trigonometri pada Segitiga : Aturan Sinus, Aturan Cosinus, Luas Segitiga".
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Panjang BD=DC=m=12a dan panjang AD=d.
*). Misalkan sudut ABD=y dan sudut ADC=x.
Sudut x dan y saling berpelurus, sehingga jumlahnya 180∘.
y+x=180∘→y=180∘−x.
Sehingga : cosy=cos(180∘−x)=−cosx.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
c2=d2+m2−2.d.m.cosy→c2=d2+m2−2.d.m.(−cosx)
→c2=d2+m2+2dmcosx ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
b2=d2+m2−2.d.m.cosx ....pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
c2=d2+m2+2dmcosxb2=d2+m2−2.d.m.cosx+b2+c2=2d2+2m2d2=12b2+12c2−m2
Substitusi nilai m=12a.
d2=12b2+12c2−m2d2=12b2+12c2−(12a)2d2=12b2+12c2−14a2
Jadi, terbukti panjang garis berat AD=d adalah
d2=12b2+12c2−14a2 .
Perhatikan segitiga ABC berikut.
Panjang BD=DC=m=12a dan panjang AD=d.
*). Misalkan sudut ABD=y dan sudut ADC=x.
Sudut x dan y saling berpelurus, sehingga jumlahnya 180∘.
y+x=180∘→y=180∘−x.
Sehingga : cosy=cos(180∘−x)=−cosx.
*). Aturan Cosinus pada segitiga ABD,
c2=d2+m2−2.d.m.cosy→c2=d2+m2−2.d.m.(−cosx)
→c2=d2+m2+2dmcosx ....pers(i).
*). Aturan Cosinus pada segitiga ACD,
b2=d2+m2−2.d.m.cosx ....pers(ii).
*). Eliminasi pers(i) dan pers(ii) :
c2=d2+m2+2dmcosxb2=d2+m2−2.d.m.cosx+b2+c2=2d2+2m2d2=12b2+12c2−m2
Substitusi nilai m=12a.
d2=12b2+12c2−m2d2=12b2+12c2−(12a)2d2=12b2+12c2−14a2
Jadi, terbukti panjang garis berat AD=d adalah
d2=12b2+12c2−14a2 .
Pembuktian Panjang Garis Berat dengan Dalil Stewart
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Cara Menghitung Panjang Garis Berat pada Segitiga dan Pembuktiannya. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...