Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Silakan disimak ya guys!
>
         Pada kesempatan kali ini kita akan melanjutkan pembahasan materi turunan khususnya materi turunan fungsi trigonometri. Sebelumnya juga sudah kita bahas materi "definisi turunan secara umum" dan "turunan fungsi aljabar". Untuk turunan fungsi trigonometri ini, kita akan langsung menggunakan rumus dasar turunan fungsi trigonometri. Sementara untuk pembuktiannya, tetap menggunakan definisi turunan secara umum. Dan juga kita harus mengingat kembali rumus trigonometri pada materi trigonometri sebelumnya.

Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri

       Berikut rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri :
i). y=sinxy=cosx
ii). y=cosxy=sinx
iii). y=tanxy=sec2x
iv). y=cotxy=csc2x
v). y=secxy=secx.tanx
vi). y=cscxy=cscx.cotx

Untuk pembuktiannya ada di bagian paling bawah pada artikel ini. Dan bentuk cscx sama dengan cossecx .
Contoh :
1). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). y=sinx.cosx
b). y=(sinx+1)(tanxsecx)
c). y=1+cotxsinx+cosx
Penyelesaian :
a). Turunan perkalian fungsi , y=sinx.cosx
Misalkan U=sinxU=cosx
dan V=cosxV=sinx
*). Rumus dasar : cos2x=cos2xsin2x
*). Menentukan turunannya :
y=sinx.cosxy=U.Vy=U.V+U.V=cosx.cosx+sinx.(sinx)=cos2xsin2x=cos2x
Jadi, diperoleh y=sinx.cosxy=cos2xsin2x=cos2x

b). Turunan perkalian fungsi , y=(sinx+1)(tanxsecx)
Misalkan U=sinx+1U=cosx
dan V=tanxsecxV=sec2xsecx.tanx=secx(secxtanx)
*). Menentukan turunannya :
y=(sinx+1)(tanxsecx)y=U.Vy=U.V+U.V=cosx.(tanxsecx)+(sinx+1).secx(secxtanx)
Jadi, diperoleh y=(sinx+1)(tanxsecx), turunannya adalah
y=cosx.(tanxsecx)+(sinx+1).secx(secxtanx)

c). Turunan pembagian fungsi , y=1+cotxsinx+cosx
Misalkan U=1+cotxU=csc2x
dan V=sinx+cosxV=cosxsinx
*). Ingat rumus identitas dan sudut rangkap pada trigonometri,
*). Menentukan turunannya :
y=1+cotxsinx+cosxy=UVy=U.VU.VV2=csc2x.(sinx+cosx)(1+cotx).(cosxsinx)(sinx+cosx)2=csc2xsinxcsc2xcosxcosx+sinxcotxcosx+cotxsinxsin2x+cos2x+2sinxcosx=1sin2x.sinxcsc2xcosxcosx+sinxcotxcosx+cosxsinx.sinx1+2sinxcosx=1sinxcsc2xcosxcosx+sinxcotxcosx+cosx1+sin2x=1sinxcsc2xcosx+sinxcotxcosx1+sin2x=cscxcsc2xcosx+sinxcotxcosx1+sin2x
Jadi, diperoleh y=1+cotxsinx+cosx, turunannya adalah
y=cscxcsc2xcosx+sinxcotxcosx1+sin2x

Rumus-rumus Turunan Fungsi Trigonometri 2

       Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks :
i). y=sing(x)y=g(x).cosg(x)
ii). y=cosg(x)y=g(x).sing(x)
iii). y=tang(x)y=g(x).sec2g(x)
iv). y=cotg(x)y=g(x).csc2g(x)
v). y=secg(x)y=g(x).secg(x).tang(x)
vi). y=cscg(x)y=g(x).cscg(x).cotg(x)

       Berikut rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks dan ada pangkatnya :
i). y=sinng(x)y=g(x).n.sinn1g(x).cosg(x)
ii). y=cosng(x)y=g(x).n.cosn1g(x).sing(x)
iii). y=tanng(x)y=g(x).ntann1g(x).sec2g(x)
iv). y=cotng(x)y=g(x).n.cotn1g(x).csc2g(x)
v). y=secng(x)
y=g(x).n.secn1g(x).secg(x).tang(x)
vi). y=cscng(x)
y=g(x).n.cscn1g(x).cscg(x).cotg(x)

Catatan : bentuk sinng(x)=[sing(x)]n

       Untuk pembuktiannya rumus-rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks ini, kita menggunakan "aturan rantai turunan fungsi".

       Dari rumus-rumus turunan fungsi trigonometri di atas, untuk memudahkan dalam menentukan turunannya, ingat singkatan "SuPaTri" dengan kepanjangannya "Sudut Pangkat Trigonometri" yang artinya turunkan sudutnya dulu, lalu pangkatnya dan terakhir turunkan trigonometrinya. Jika tidak ada pangkatnya (n), maka langsung gunakan "SuTri" saja.
Contoh :
2). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut.
a). y=sin(3x2+2x5)
b). y=cot(x2x+7)
c). y=sec(5x3+9)
Penyelesaian :
a). misalkan g(x)=3x2+2x5g(x)=6x+2
*). Menentukan turunannya.
y=sin(3x2+2x5)y=sing(x)y=g(x).cosg(x)y=(6x+2).cos(3x2+2x5)
Jadi, turunannya adalah y=(6x+2)cos(3x2+2x5)

b). misalkan g(x)=x2x+7g(x)=2x1
*). Menentukan turunannya.
y=cot(x2x+7)y=cotg(x)y=g(x).csc2g(x)y=(2x1).csc2(x2x+7)
Jadi, turunannya adalah y=(2x1)csc2(x2x+7)

c). misalkan g(x)=5x3+9g(x)=15x2
*). Menentukan turunannya.
y=sec(5x3+9)y=secg(x)y=g(x).secg(x).tang(x)y=15x2.sec(5x3+9).tan(5x3+9)
Jadi, turunannya adalah y=15x2sec(5x3+9)tan(5x3+9)

3). Tentukan turunan fungsi trigonometri berikut :
a). y=cos3(2x35x+2)
b). y=csc5(x4+5)
Penyelesaian :
a). misalkan g(x)=2x35x+2g(x)=6x5
*). Menentukan turunannya.
y=cos3(2x35x+2)y=cosng(x)y=g(x).n.cosn1g(x).sing(x)y=(6x5).3.cos31(2x35x+2).sin(2x35x+2)=(18x15)cos2(2x35x+2)sin(2x35x+2)
Jadi, turunannya adalah y=(18x15)cos2(2x35x+2)sin(2x35x+2)

Hasil akhirnya bisa diubah kebentuk lain dengan menggunakan rumus trigonometri sudut rangkap, yaitu sin2g(x)=2sing(x)cosg(x) atau sing(x)cosg(x)=12sin2g(x) . Proses modifikasi ini biasanya dilakukan untuk soal-soal yang menggunakan sistem pilihan ganda. Jika bentuk pertama tidak ada di pilihan, maka hasilnya kita modifikasi lagi dengan persamaan trigonometri yang ada sehingga jawaban kita ada pada pilihan.
*). Kita modifikasi ,
y=(18x15)cos2(2x35x+2)sin(2x35x+2)=(18x15)cos(2x35x+2)cos(2x35x+2)sin(2x35x+2)=(18x15)cos(2x35x+2)[cos(2x35x+2)sin(2x35x+2)]=(18x15)cos(2x35x+2)[12.sin2(2x35x+2)]=(18x15)cos(2x35x+2)[12.sin(4x310x+4)]=12(18x15)cos(2x35x+2).sin(4x310x+4)
Sehingga bentuk lain dari turunannya adalah
y=12(18x15)cos(2x35x+2)sin(4x310x+4)

b). misalkan g(x)=x4+5g(x)=4x3
*). Menentukan turunannya.
y=csc5(x4+5)y=cscng(x)y=g(x).n.cscn1g(x).cscg(x).cotg(x)y=(x4+5).5.csc51(x4+5).csc(x4+5).cot(x4+5)=(5x4+25)csc4(x4+5)csc(x4+5)cot(x4+5)
Jadi, turunannya adalah y=(5x4+25)csc4(x4+5)csc(x4+5)cot(x4+5)

4). Tentukan turunan fungsi trigonometri y=sin(x2+5x1) ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : y=sin(x2+5x1)y=[sin(x2+5x1)]12
misalkan g(x)=x2+5x1g(x)=2x+5
*). Menentukan turunannya.
y=sin(x2+5x1)y=[sin(x2+5x1)]12y=sinng(x)=[sing(x)]ny=g(x).n.[sing(x)]n1.cosg(x)y=(2x+5).12.[sin(x2+5x1)]121.cos(x2+5x1)=(2x+5).12.[sin(x2+5x1)]12.cos(x2+5x1)=(2x+5).12.1[sin(x2+5x1)]12.cos(x2+5x1)=(2x+5).12.1sin(x2+5x1).cos(x2+5x1)=(2x+5)cos(x2+5x1)2sin(x2+5x1)
Jadi, turunannya adalah y=(2x+5)cos(x2+5x1)2sin(x2+5x1)

5). Tentukan turunan fungsi trigonometri y=cos5(3x22x) ?
Penyelesaian :
*). Fungsinya : y=cos5(3x22x)y=[cos(3x22x)]52
misalkan g(x)=3x22xg(x)=6x2
*). Menentukan turunannya.
y=cos5(3x22x)y=[cos(3x22x)]52y=cosng(x)=[cosg(x)]ny=g(x).n.[cosg(x)]n1.sing(x)y=(6x2).52.[cos(3x22x)]521.sin(3x22x)=(3x1).5.[cos(3x22x)]32.sin(3x22x)=(15x5)cos3(3x22x)sin(3x22x)
Jadi, turunannya adalah y=(15x5)cos3(3x22x)sin(3x22x)

Pembuktian Rumus Dasar Turunan Fungsi Trigonometri
       Untuk membuktikan rumus-rumus dasar turunan fungsi trigonometri di atas, kita menggunakan definisi turunan, yaitu :
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h jika limitnya ada.
Pembuktian rumus : y=sinxy=cosx
*). Ingat bentuk : sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Sehingga : f(x+h)=sin(x+h)=sinxcosh+cosxsinh
*). Rumus : cospx=12sin212x
Sehingga : cosh=12sin212h
bentuk : cosh1=(12sin212h)1=2sin212h=2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
Loading...
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(sinxcosh+cosxsinh)sinxh=limh0(sinxcosh+sinx)cosxsinhh=limh0sinx(cosh1)+cosxsinhh=limh0sinx(cosh1)h+limh0cosxsinhh=sinx.limh0(cosh1)h+cosx.limh0sinhh=sinx.limh02sin12h.sin12hh+cosx.limh0sinhh=sinx.limh0sin12hh.(2sin12h)+cosx.limh0sinhh=sinx.12.(2sin120)+cosx.1=sinx.12.(2sin0)+cosx=sinx.12.(0)+cosx=0+cosx=cosx
Sehingga terbukti y=sinxy=cosx

Pembuktian rumus : y=cosxy=sinx
*). Ingat bentuk : cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB
Sehingga : f(x+h)=cos(x+h)=cosxcoshsinxsinh
*). Rumus : cospx=12sin212x
Sehingga : cosh=12sin212h
bentuk : cosh1=(12sin212h)1=2sin212h=2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0(cosxcoshsinxsinh)cosxh=limh0(cosxcoshcosx)sinxsinhh=limh0cosx(cosh1)sinxsinhh=limh0cosx(cosh1)hlimh0sinxsinhh=cosx.limh0(cosh1)hsinx.limh0sinhh=cosx.limh02sin12h.sin12hhsinx.limh0sinhh=cosx.limh0sin12hh.(2sin12h)sinx.limh0sinhh=cosx.12.(2sin120)sinx.1=cosx.12.(2sin0)sinx=cosx.12.(0)sinx=0sinx=sinx
Sehingga terbukti y=cosxy=sinx

Pembuktian rumus : y=tanxy=sec2x
*). Ingat Rumus Trigonometri :
cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Identitas trigonometri : cos2x+sin2x=1
tanA=sinAcosA dan secA=1cosA
Sehingga fungsinya : f(x)=tanx
f(x+h)=tan(x+h)=sin(x+h)cos(x+h)=sinxcosh+cosxsinhcosxcoshsinxsinh
f(x)=tanx=sinxcosx
*). Menentukan penyelesaiannya,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0sinxcosh+cosxsinhcosxcoshsinxsinhsinxcosxh=limh0cosx(sinxcosh+cosxsinh)sinx(cosxcoshsinxsinh)cosx(cosxcoshsinxsinh)h=limh0cosxsinxcosh+cos2xsinhcosxsinxcosh+sin2xsinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0cos2xsinh+sin2xsinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0(cos2x+sin2x)sinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)(identitas)=limh0(1)sinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0sinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0sinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0sinhhlimh0cosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0sinhhlimh0cosxlimh0(cosxcoshsinxsinh)=1cosx.(cosxcos0sinxsin0)=1cosx.(cosx1sinx.0)=1cosx.(cosx0)=1cosx.(cosx)=1cosx.1cosx=secx.secx=sec2x
Sehingga terbukti y=tanxy=sec2x

Pembuktian rumus : y=cotxy=csc2x
*). Ingat Rumus Trigonometri :
cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
Identitas trigonometri : cos2x+sin2x=1
cotA=cosAsinA dan cscA=1sinA
Sehingga fungsinya : f(x)=cotx
f(x+h)=cot(x+h)=cos(x+h)sin(x+h)=cosxcoshsinxsinhsinxcosh+cosxsinh
f(x)=cotx=cosxsinx
*). Menentukan penyelesaiannya,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh0cosxcoshsinxsinhsinxcosh+cosxsinhcosxsinxh=limh0sinx(cosxcoshsinxsinh)cosx(sinxcosh+cosxsinh)sinx(sinxcosh+cosxsinh)cosxsinxh=limh0sinxcosxcoshsin2xsinhsinxcosxcoshcos2xsinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sin2xsinhcos2xsinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0(sin2x+cos2x)sinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0(1)sinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)cosxsinxh=limh0sinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sinhh1sinx(sinxcosh+cosxsinh)=limh0sinhhlimh01sinx(sinxcosh+cosxsinh)=1.1sinx(sinxcos0+cosxsin0)=1sinx(sinx.1+cosx.0)=1sinx(sinx)=1sinx.1sinx=cscx.cscx=csc2x
Sehingga terbukti y=cotxy=csc2x

Pembuktian rumus : y=secxy=secxtanx
*). Ingat Rumus Trigonometri :
cos(A+B)=cosAcosBsinAsinB
tanA=sinAcosA dan secxA=1cosA
Sehingga fungsinya : f(x)=secx
f(x+h)=sec(x+h)=1cos(x+h)=1cosxcoshsinxsinh
f(x)=secx=1cosx
*). Rumus : cospx=12sin212x
Sehingga : cosh=12sin212h
bentuk : 1cosh=1(12sin212h)=2sin212h=2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh01cosxcoshsinxsinh1cosxh=limh0cosx(cosxcoshsinxsinh)cosx(cosxcoshsinxsinh)h=limh0cosxcosxcosh+sinxsinhcosx(cosxcoshsinxsinh)h=limh0cosx(1cosh)+sinxsinhcosx(cosxcoshsinxsinh)h=limh0cosx.2sin12h.sin12h+sinxsinhcosx(cosxcoshsinxsinh)h=limh0cosx.2sin12h.sin12h+sinxsinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0cosx.2sin12h.sin12hh+sinxsinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0cosx.2sin12hsin12hh+sinxsinhhcosx(cosxcoshsinxsinh)=limh0cosx.2sin12hlimh0sin12hh+limh0sinxlimh0sinhhlimh0cosx(cosxcoshsinxsinh)=cosx.2(sin12.0).12+sinx.1cosx(cosxcos0sinxsin0)=cosx.2(sin0).12+sinxcosx(cosx.1sinx.0)=cosx.2(0).12+sinxcosx(cosx0)=0+sinxcosx(cosx)=1cosx.sinxcosx=secxtanx
Sehingga terbukti y=secxy=secxtanx

Pembuktian rumus : y=cscxy=cscxcotx
*). Ingat Rumus Trigonometri :
sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB
cotA=cosAsinA dan cscxA=1sinA
Sehingga fungsinya : f(x)=cscx
f(x+h)=csc(x+h)=1sin(x+h)=1sinxcosh+cosxsinh
f(x)=cscx=1sinx
*). Rumus : cospx=12sin212x
Sehingga : cosh=12sin212h
bentuk : 1cosh=1(12sin212h)=2sin212h=2sin12h.sin12h
*). Menentukan penyelesaiannya,
f(x)=limh0f(x+h)f(x)h=limh01sinxcosh+cosxsinh1sinxh=limh0sinx(sinxcosh+cosxsinh)sinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sinxsinxcoshcosxsinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sinx(1cosh)cosxsinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sinx2sin12h.sin12hcosxsinhsinx(sinxcosh+cosxsinh)h=limh0sinx2sin12h.sin12hcosxsinhhsinx(sinxcosh+cosxsinh)=limh0sinx2sin12h.sin12hhcosxsinhhsinx(sinxcosh+cosxsinh)=limh0sinx2sin12h.sin12hhcosxsinhhsinx(sinxcosh+cosxsinh)=limh0sinx2sin12h.limh0sin12hhlimh0cosxlimh0sinhhlimh0sinx(sinxcosh+cosxsinh)=sinx2(sin12.0).12cosx.1sinx(sinxcos0+cosxsin0)=sinx2(sin0).12cosxsinx(sinx.1+cosx.0)=sinx2.0.12cosxsinx(sinx+0)=0cosxsinx(sinx)=cosxsinx(sinx)=1sinx.cosxsinx=cscxcotx
Sehingga terbukti y=cscxy=cscxcotx

Catatan : nilai sin0=0 dan cos0=1

Pembuktian Rumus Turunan Fungsi Trigonometri kompleks

       Untuk pembuktian rumus turunan fungsi trigonometri yang lebih kompleks, kita menggunakan aturan rantai turunan fungsi.
Pembuktian rumus : y=sing(x)y=g(x)cosg(x)
*). Permisalan :
z=g(x)dzdx=g(x)
y=sing(x)=sinzdydz=cosz
*). Menentukan penyelesaiannya,
y=sing(x)y=dydx=dydz.dzdx=cosz.g(x)=g(x)cosz=g(x)cosg(x)
Sehingga terbukti y=sing(x)y=g(x)cosg(x)

Pembuktian rumus : y=sinng(x)y=g(x).n.sinn1g(x).cosg(x)
*). Permisalan : y=sinng(x)=[sing(x)]n
z=g(x)dzdx=g(x)
p=sing(x)=sinzdpdz=cosz=cosg(x)
y=[sing(x)]n=[p]ndydp=n.pn1=n.[sing(x)]n1=n.sinn1g(x)
*). Menentukan penyelesaiannya,
y=sinng(x)=[sing(x)]ny=dydx=dydp.dpdz.dzdx=n.sinn1g(x).cosg(x).g(x)=g(x).n.sinn1g(x).cosg(x)
Sehingga terbukti y=sinng(x)y=g(x).n.sinn1g(x).cosg(x)
Catatan: untuk pembuktian yang lainnya caranya hampir sama dengan aturan rantai di atas.
.


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Contoh Soal dan Pembahasan Turunan Fungsi Trigonometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts