Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri. Silakan disimak ya guys!
>
         Barisan dan Deret Geometri merupakan salah satu bentuk pola bilangan yang juga memiliki ciri khusus yaitu setiap suku sesudahnya diperoleh dengan mengalikan suatu bilangan dengan suku sebelumnya. Seperti "Barisan dan Deret Aritmetika" , di sini juga dibahas tentang suku ke-n , suku tengah, sisipan, dan jumlah n suku pertamanya. Hanya saja pada deret geometri terdapat jumlahan sampai takhingga suku-sukunya yang di bahas dalam artikel tersendiri yaitu "Deret Geometri Tak Hingga". Langsung saja simak penjelasan tentang barisan dan deret geometri berikut ini.

Barisan Geometri

Pengertian barisan Geometri

       Barisan Geometri merupakan suatu barisan yang memiliki perbandingan yang sama antara dua suku-suku yang berdekatan. Nilai perbandingan yang sama itu dinamakan rasionya yang disimbulkan dengan huruf r .
Misal barisannya : u1,u2,u3,u4,u5,u6,u7,....
Cara menghitung rasio (r) adalah
r=u2u1=u3u2=u4u3=...=unun1

Adapun rumus suku ke-n nya adalah un=arn1
dengan a = suku pertamanya (u1), r = rasionya, dan un = suku ke-n
untuk memudahkan mengingat, rumus suku ke-n ini bisa dibaca "arni"

Dari rumus suku ke-n nya, dapat disusun barisan geometrinya,
un=arn1
u1=ar11=ar0=a
u2=ar21=ar1=ar
u3=ar31=ar2
u4=ar41=ar3
dan seterusnya .....
sehingga barisan geometrinya : a,ar,ar2,ar3,....

Contoh :
1). Dari barisan berikut ini, manakah yang merupakan barisan Geometri?
a). 1, 2, 4, 8, ..... b). 13, 1, 3, 9, 27, ....
c). 1, 2, 6, 8, 16, .... d). 3, 4, 8, 2, 12, .... e). 16, 8, 4, 2, 1, ....
Penyelesaian :
Disebut barisan geometri jika perbandingan dua suku yang berdekatan sama. Mari kita cek setiap barisan yang ada.
a). 1,2×2,4×2,8×2,....
Karena perbandingannya selalu sama antara dua suku yang berdekatan, maka barisan ini termasuk barisan geometri dengan rasionya 2. Cara mencari rasionya :
r=21=2 atau r=42=2 atau r=84=2 dan seterusnya.
b). 13,1×3,3×3,9×3,27×3,....
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 3.
c). 1,2×2,6×3,8×43,16×2,....
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan Geometri.
d). 3,4×43,8×2,2×14,12×6,....
Perbandingannya tidak sama, sehingga bukan termasuk barisan geometri.
e). 16,8×12,4×12,2×12,1×12,....
Perbandingannya sama, sehingga termasuk barisan geometri dengan rasionya 12. Cara mencari rasionya :
r=u2u1=816=12 atau r=u3u2=48=12 dan seterusnya.

2). Tentukan suku ke-21 dari barisan geometri 1, 2, 4, 8, 16, ....?
Penyelesaian :
*). dari barisannya diperoleh a=1 dan r=u2u1=21=2
*). Menentukan suku ke-21 dengan un=arn1
u21=ar211=1.220=220
Jadi, suku ke-21 nya adalah 220 (u21=220).

3). Diketahui suku ke-3 dan suku ke-5 suatu barisan geometri berturut-turut 9 dan 81 dengan rasionya positif. Tentukan nilai suku ke-2 nya!
Penyelesaian : diketahui u3=9 dan u5=81
Untuk menentukan nilai suku pada suatu barisan, kita memerlukan nilai a dan rasionya (r) dengan menjabarkan suku-suku yang diketahui.
*). Rumus suku ke-n:un=arn1
u5=ar51=ar4ar4=81 .... pers(i)
u3=ar31=ar2ar2=9 .... pers(ii)
*). Menentukan nilai a dan r dengan membagi pers(i) dan pers(ii)
ar4=81ar2=9:r2=9r=±3
Karena nilai rasionya positif, maka r=3 yang memenuhi.
Pers(ii) : ar2=9a32=9a=frac99=1
*). Menentukan suku ke-2
u2=ar21=1.31=3
Jadi, suku ke-2 nya adalah 3.
Loading...
4). Jika suku-suku 4p,3p4, dan 2p4 adalah tiga suku pertama berurutan barisan geometri, maka tentukan suku ke-9 ?
Penyelesaian :
Diketahui : u1=4p,u2=3p4, dan u3=2p4
*). Tiga suku berurutan barisan geometri, maka rasionya sama :
u2u1=u3u2(u2)2=u1.u3(3p4)2=(4p).(2p4)9p224p+16=8p216pp28p+16=0(p4)2=0p4=0p=4
diperoleh nilai p=4
*). Menentukan nilai a dan r dengan nilai p=4
a=u1=4p=4.4=16=24
u2=3p4=3.44=124=8
r=u2u1=816=12
*). Menentukan suku ke-9
un=arn1u9=24.(12)91=24.(12)8=24.(1828)=24.(128)=124=116
Jadi, nilai suku ke-9 nya adalah 116 .

Suku Tengah barisan Geometri

Menentukan suku tengah (ut)
       Barisan geometri mempunyai suku tengah dengan syarat banyak suku harus ganjil. Suku tengah disimbolkan ut yang dapat dicari nilainya dari barisan yang banyak sukunya berhingga.
Rumus suku tengah : ut=u1.un
Keterangan :
u1 = suku pertama barisan yang dicari suku tengahnya,
un = suku terakhir barisan yang dicari suku tengahnya.

Contoh :
Tentukan nilai suku tengah dari setiap barisan geometri berikut !
a). 1, 2, 4, 8, 16 b). 19,13, 1, 3, 9, 27, 81
Penyelesaian :
a). Suku tengahnya adalah 4, caranya : ut=u1.un=1×16=16=4
b). Suku tengahnya adalah 3, caranya : ut=u1.un=19×81=9=3

Sisipan pada barisan Geometri

Menentukan barisan baru setelah disisipkan k suku atau bilangan
       Misalkan awalnya ada barisan : u1,u2,u3,u4,....
Setiap dua suku pada barisan diatas disisipkan bilangan sebanyak k suku, maka akan terbentuk barisan baru yang tetap dalam bentuk barisan geometri. Di sini yang sangat berperan penting adalah terbentuknya rasio baru setelah disisipkan.
       Rumus rasio barunya : r=k+1r=(r)1k+1
Keterangan :
r = rasio awal dari barisan sebelum disisipkan
r = rasio baru setelah barsian disisipkan (rasio barisan baru)
k = banyak suku yang disisipkan.

Contoh :
Diketahui barisan 1, 8, 64, 512, .... . Setiap antara dua suku disisipkan 2 bilangan. Tentukan barisan baru yang terbentuk?
Penyelesaian :
Untuk menyisipkan 2 bilangan, kita tidak boleh menyisipkan sebarang bilangan, karena barisan baru yang terbentuk harus tetap berbentuk barisan geometri. Agar dijamin tetap terbentuk barisan geometri, maka kita harus menggunakan rumus untuk mencari rasio barunya.
*). Dari barisan 1, 8, 64, 512, .... diperoleh rasio awal r=u2u1=81=8
*). akan disisipkan 2 bilangan, artinya k=2
Sehingga raasio barunya : r=(r)1k+1=(8)12+1=(23)13=21=2
Barisan barunya dengan rasio baru 2 adalah :
1,2,4sisipan,8,16,32sisipan,64,126,256sisipan,512,....
dimana barisan yang baru ini juga berbentuk barisan geometri.

Deret Geometri

Jumlah n suku pertama deret geometri
       Deret geometri merupakan jumlahan dari suku-suku pada barisan geometri. Jumlahan yang dimaksud adalah penjumlahan untuk beberapa suku berhingga (n suku pertama). Simbol yang digunakan adalah sn yang artinya jumlah n suku pertama.
Misalkan :
s1=u1 (jumlah 1 suku pertama)
s2=u1+u2 (jumlah 2 suku pertama)
s3=u1+u2+u3 (jumlah 3 suku pertama)
s4=u1+u2+u3+u4 (jumlah 4 suku pertama)
dan seterusnya.

Bagaimana kalau yang dijumlahkan sukunya banyak sekali, maka kita akan menggunakan rumusnya langsung. Berikut rumus jumlah n suku pertama deret geometri.
Jumlah n suku pertama : sn=a(rn1)r1 untuk 1<r<1
Jumlah n suku pertama : sn=a(1rn)1r untuk r<1 atau r>1
Catatan :
Sebenarnya kedua rumus sn di atas nilainya sama saja untuk semua jenis rasionya, sehingga cukup diingat salah satu saja.
Pembuktian : sn=a(rn1)r1=a(rn1)r1×11=a(1rn)1r

Contoh :
1). Tentukan jumlah 5 suku pertama dari barisan 1, 2, 4, 8, ....?
Penyelesaian :
*). Dari barisan diperoleh a=1 dan r=21=2
Jumlah 5 suku pertamanya :
sn=a(rn1)r1s5=1.(251)21=(321)1=31
Jadi, jumlah 5 suku pertamanya adalah 31.

         Bisanya untuk soal-soal seleksi masuk perguruan tinggi, soal-soalnya langsung melibatkan barisan dan deret aritmetka dan geometri. Agar lebih menguasai materinya, sebaiknya kita lebih banyak latihan lagi mengerjakan soal-soal yang ada. .


Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Soal dan Pembahasan Barisan dan Deret Geometri. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...

   

Related Posts