Sisa Pinjaman pada Anuitas

Mr Math    Agustus 25, 2014    matematika keuangan   

Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai Sisa Pinjaman pada Anuitas. Silakan disimak ya guys!
>

         Setelah kita melakukan pembayaran anuitas secara terus-menerus maka besarnya pinjaman yang akan kita kembalikan pasti juga akan berkurang sampai pada akhir periode menjadi lunas. Pada artikel ini kita akan membahas materi Sisa Pinjaman pada Anuitas. Jika S$_1$, S$_2$, S$_3$ .... S$_m \,$ berturut-turut merupakan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas pertama, kedua, ketiga .... ke-$m$, maka ada beberapa cara untuk menentukan sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$. Ada empat cara yang akan kita bahas dalam menentukan besarnya sisa pinjaman setelah membayarkan anuitas pada periode tertentu.

          Untuk memudahkan dalam mempelajari materi sisa pinjaman, sebaiknya teman-teman mempelajari dulu materi sebelumnya yaitu anuitas dan angsuran. Penghitungan sisa pinjaman sangat berkaitan dengan rumus-rumus pada anuitas dan angsuran.

Cara I : Sisa pinjaman berdasarkan besar Bunga

       Sisa pinjaman dapat dihitung sebagai berikut:
$b_1 = i . M$
$b_2 = i . S_1$
$b_3 = i . S_2$
$b_4 = i . S_3$
........ ....
$b_{m+1} = i . S_m$
Sehingga : $\begin{align} S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \end{align}$

Keterangan :
$s_m = \,$ sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$
$b_{m+1} = \,$ besarnya bunga ke-$(m+1)$
$i = \,$ suku bunga anuitas

Untuk bisa menggunakan cara I ini, kita akan melibatkan beberapa rumus yaitu :
Anuitas : $A = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \,$ dan $\, A = a_n + b_n$
Angsuran : $a_n = a_1(1 + i)^{n-1}$
bunga pertama : $b_1 = i . M$

Contoh soal sisa pinjaman :
1). Pinjaman sebesar Rp10.000.000,00 akan dilunasi dengan sistem anuitas bulanan dengan suku bunga 3%/bulan selama 2,5 tahun. Tentukan:
a. Besarnya anuitas!
b. Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan!

Penyelesaian :
*). Diketahui : M = 10.000.000, $i = 3\% = 0,003 \,$/bulan dan $n = \,$ 2,5 tahun = 30 bulan.
a). Menentukan besarnya anuitas (A) :
$\begin{align} A & = \frac{M.i}{1 - (1+i)^{-n}} \\ & = \frac{10.000.000 \times 0,03}{1 - (1+0,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - (1,03)^{-30}} \\ & = \frac{300.000}{1 - 0,411986759} \\ & = 510.192,59 \end{align}$
Jadi, besarnya anuitas yaitu Rp510.192,59 yang dibayarkan setiap bulannya.

b). Menentukan Sisa pinjaman setelah mengangsur 10 bulan ($S_{10}$) :
*). berdasarkan rumus $S_m = \frac{b_{m+1}}{i} \,$ maka $s_{10} = \frac{b_{11}}{i}$, artinya kita harus menentukan besarnya $b_{11}$ (bunga periode ke-11).
*). untuk menentukan $b_{11} \,$ kita butuh nilai $a_{11}$ (angsuran ke-11) dengan rumus $b_{11} = A - a_{11}$
*). Untuk menentukan besarnya $a_{11}$ , kita butuh nilai $a_1$ dengan rumus $a_{11} = a_{1} (1 + i)^{10}$.
*). Untuk menentukan $a_1$ kita butuh nilai $b_1$ dengan rumus $a_1 = A - b_1$ dan $b_1 = i.M$.

Kita hitung satu persatu semuanya :
Nilai $b_1$ :
$b_1 = i . M = 0,03 \times 10.000.000 = 300.000$ .
Nilai $a_1$ :
$a_1 = A - b_1 = 510.192,59 - 300.000 = 210.192,59$
Nilai $a_{11}$ :
$a_{11} = a_1(1+i)^{10} = 210.192,59 \times (1 + 0,03)^{10} = 282.481,26$
Nilai $b_{11}$
$b_{11} = A - a_{11} = 510.192,59 - 282.481,26 = 227.711,33$
Menentukan sisa pinjaman ($S_{10}$) :
$S_{10} = \frac{b_{11}}{i} = \frac{227.711,33}{0,03} = 7.590.377,67$
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67.

Cara II : Menentukan sisa pinjaman

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = pokok pinjaman dikurangi jumlah $m$ angsuran yang sudah dibayar.

Loading...

$\begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_2 + a_3 + ...+ a_m) \\ & = M - (a_1 + a_1(1+i) + a_1(1+i)^2 + ...+ a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = M - (a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \\ & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align}$
Sehingga besar pinjaman : $\begin{align} S_m = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align}$

dengan nilai $\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \,$ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \,$ baris ke-$(m-1)$. Sebenarnya bentuk $(a_1 + a_1[(1+i) + (1+i)^2 + ...+ (1+i)^{m-1}] ) \,$ bisa dihitung dengan jumlah pada deret geometri.

Contoh soal :
2). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara II :
$\begin{align} S_m & = M - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = M - (a_1 + a_1 \times \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 10.000.000 - (210.192,59 + 210.192,59 \times 10,463879311 ) \\ & = 7.590.377,52 \end{align}$
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,67 (hampir sama dengan cara I).

Cara III Menghitung sisa pinjaman

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = jumlah semua angsuran yang masih harus dibayar yaitu dari $a_{m+1} \,$ sampai angsuran $a_n$ .
$\begin{align} S_m & = (a_{m+1} + a_{m+2} + a_{m+3} + ...+ a_n) \\ & = (a_1+a_2 + ...+a_n) - (a_1 + a_2 + ... + a_m) \\ & = (a_1+a_1(1+i) + ...+a_1(1+i)^{n-1}) \\ & \, \, \, \, - (a_1 + a_1(1+i) + ... + a_1(1+i)^{m-1}) \\ & = (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] ) - (a_1 + a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ & = a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - a_1[\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \\ & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align}$
Sehingga besar pinjaman : $\begin{align} S_m = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \end{align}$

dengan nilai $\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] \,$ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \,$ baris ke-$(m-1)$ dan dengan nilai $\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] \,$ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \,$ baris ke-$(n-1)$.

Contoh soal :
3). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $n = 30$
$\begin{align} S_m & = a_1([\displaystyle \sum_{r=1}^{n-1} (1+i)^r] - [\displaystyle \sum_{r=1}^{m-1} (1+i)^r] ) \\ S_m & = a_1(\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(m-1)} ) \\ S_{10} & = 210.192,59 (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30-1)} \\ & \, \, \, \, - \text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(10-1)} ) \\ & = 210.192,59 \times (46,575415706 - 10,463879311) \\ & = 210.192,59 \times 36,111536395 \\ & = 7.590.377,36 \end{align}$
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,36 (hampir sama dengan cara I).

Cara IV Menghitung sisa pinjaman

Sisa pinjaman setelah pembayaran anuitas ke-$m$ = nilai dari semua anuitas yang belum dibayar dihitung pada akhir tahun ke-$m$:
$\begin{align} S_m & = \frac{A}{(1+i)} + \frac{A}{(1+i)^2} + \frac{A}{(1+i)^3} + ... + \frac{A}{(1+i)^{m-n}} \\ & = A[(1+i)^{-1} +(1+i)^{-2} + (1+i)^{-3} + ... + (1+i)^{n-m} ] \\ & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align}$
Sehingga besar pinjaman : $\begin{align} S_m = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \end{align}$

dengan nilai $\displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \,$ bisa dicari dari daftar tabel rente kolom $i\% \,$ baris ke-$(n-m)$ .

Contoh soal :
4). Kita kerjakan soal contoh nomor (1) di atas dengan cara III dengan $n = 30$
$\begin{align} S_m & = A \times \displaystyle \sum_{r=1}^{n-m} (1+i)^r \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(n-m)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(30 - 10)} \\ & = A \times (\text{ daftar nilai akhir rente kolom 3% baris(20)} \\ & = 510.192,59 \times 14,877474860 \\ & = 7.590.377,43 \end{align}$
Jadi, sisa pinjaman setelah membayar 10 kali adalah Rp7.590.377,43 (hampir sama dengan cara I).

         Demikian pembahasan materi Sisa Pinjaman pada Anuitas beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan anuitas dan angsuran yaitu tabel pelunasan anuitas dan anuitas yang dibulatkan..

Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Sisa Pinjaman pada Anuitas. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.

Loading...