Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Pembuktian Rumus Luas Elips. Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Pembuktian Rumus Luas Elips. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Elips merupakan materi yang berkaitan erat dengan irisan kerucut yang dibahas pada salah satu materi peminatan pada kurikulum 2013. Pada artikel ini kita akan khusus membahas tentang Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya serta langsung aplikasinya pada contoh untuk mencari luas sebuah Elips yang diketahui persamaan elipsnya. Secara definisi, pengertian elips adalah himpunan semua titik (tempat kedudukan titik-titik) dimana jumlah jarak tiap titik terhadap dua titik tertentu yang bukan elemen himpunan tersebut adalah tetap. Dua titik tertentu itu disebut titik fokus atau titik api.
Namun yang kita tekankan pada artikel Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya yaitu bagaimana cara menghitung luas sebuah elips dimana materi ini secara tidak langsung ada kaitannya dengan materi transformasi yaitu luas awal dan luas bayangan yang persamaannya berbentuk persamaan elips. Langsung saja kita simak bersama rumus luas elips berikut ini beserta contoh soal luas elipsnya.
Contoh menghitung luas elips :
1). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan x216+y29=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : x216+y29=1 maka
a2=16→a=4
b2=9→b=3
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×4×3=12π
Jadi, luas elipsnya adalah 12π.♡
2). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan (x−3)225+(y+1)249=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x−3)225+(y+1)249=1 maka
a2=49→a=7
b2=25→b=5
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×7×5=35π
Jadi, luas elipsnya adalah 35π.♡
3). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan (x+2)28+(y−1)24=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x+2)28+(y−1)24=1 maka
a2=8→a=√8=2√2
b2=4→b=2
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×2√2×2=4√2π
Jadi, luas elipsnya adalah 4√2π.♡
4). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 2x2+3y2−4x+12y+8=0 ?
Penyelesaian :
*). Kita ubah terlebih dulu menjadi bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat sempurna yaitu x2+kx=(x+k2)2−(k2)2. Mari kita ubah persamaan pada soalnya,
2x2+3y2−4x+12y+8=02x2−4x+3y2+12y+8=02[x2−2x]+3[y2+4y]+8=02[(x−22)2−(22)2]+3[(y+42)2−(42)2]+8=02[(x−1)2−(1)2]+3[(y+2)2−(2)2]+8=02[(x−1)2−1]+3[(y+2)2−4]+8=02(x−1)2−2×1+3(y+2)2−3×4+8=02(x−1)2−2+3(y+2)2−12+8=02(x−1)2+3(y+2)2−6=02(x−1)2+3(y+2)2=62(x−1)2+3(y+2)26=66(x−1)23+(y+2)22=1
Sehingga bentuk umumnya : (x−1)23+(y+2)22=1
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x−1)23+(y+2)22=1 maka
a2=3→a=√3
Namun yang kita tekankan pada artikel Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya yaitu bagaimana cara menghitung luas sebuah elips dimana materi ini secara tidak langsung ada kaitannya dengan materi transformasi yaitu luas awal dan luas bayangan yang persamaannya berbentuk persamaan elips. Langsung saja kita simak bersama rumus luas elips berikut ini beserta contoh soal luas elipsnya.
Rumus Luas Elips
Persamaan elips secara umum berbentuk :
i). Titik pusat elips (0,0) :
x2a2+y2b2=1 atau x2b2+y2a2=1
ii). Titik pusat elips (m,n) :
(x−m)2a2+(y−n)2b2=1 atau (x−m)2b2+(y−n)2a2=1
dengan a>b
Memiliki Rumus Luas :
Luas =π×a×b.
dimana π=227 atau π=3,14
i). Titik pusat elips (0,0) :
x2a2+y2b2=1 atau x2b2+y2a2=1
ii). Titik pusat elips (m,n) :
(x−m)2a2+(y−n)2b2=1 atau (x−m)2b2+(y−n)2a2=1
dengan a>b
Memiliki Rumus Luas :
Luas =π×a×b.
dimana π=227 atau π=3,14
Contoh menghitung luas elips :
1). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan x216+y29=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : x216+y29=1 maka
a2=16→a=4
b2=9→b=3
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×4×3=12π
Jadi, luas elipsnya adalah 12π.♡
2). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan (x−3)225+(y+1)249=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x−3)225+(y+1)249=1 maka
a2=49→a=7
b2=25→b=5
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×7×5=35π
Jadi, luas elipsnya adalah 35π.♡
3). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan (x+2)28+(y−1)24=1 ?
Penyelesaian :
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x+2)28+(y−1)24=1 maka
a2=8→a=√8=2√2
b2=4→b=2
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×2√2×2=4√2π
Jadi, luas elipsnya adalah 4√2π.♡
4). Tentukan luas elips yang memiliki persamaan 2x2+3y2−4x+12y+8=0 ?
Penyelesaian :
*). Kita ubah terlebih dulu menjadi bentuk umum dengan melengkapkan kuadrat sempurna yaitu x2+kx=(x+k2)2−(k2)2. Mari kita ubah persamaan pada soalnya,
2x2+3y2−4x+12y+8=02x2−4x+3y2+12y+8=02[x2−2x]+3[y2+4y]+8=02[(x−22)2−(22)2]+3[(y+42)2−(42)2]+8=02[(x−1)2−(1)2]+3[(y+2)2−(2)2]+8=02[(x−1)2−1]+3[(y+2)2−4]+8=02(x−1)2−2×1+3(y+2)2−3×4+8=02(x−1)2−2+3(y+2)2−12+8=02(x−1)2+3(y+2)2−6=02(x−1)2+3(y+2)2=62(x−1)2+3(y+2)26=66(x−1)23+(y+2)22=1
Sehingga bentuk umumnya : (x−1)23+(y+2)22=1
*). Menentukan nilai a dan b
dari persamaan elips : (x−1)23+(y+2)22=1 maka
a2=3→a=√3
Loading...
b2=2→b=√2
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×√3×√2=√6π
Jadi, luas elipsnya adalah √6π.♡
Untuk bisa membuktikan rumus luas elips ini, ada beberapa teori yang akan kita gunakan yaitu konsep trigonometri sudut rangkap , identitas trigonometri, penerapan integral pada luas daerah, dan integral substitusi trigonometri. Kita akan membuktikan rumusnya dengan menggunakan luas daerah penerapan dari integral. Rumus sudut rangkap yang kita gunakan adalah cos2θ=12(1+cos2θ). Sementara teknik integral substitusi yang akan kita gunakan adalah bentuk √a2−x2 yang akan kita substitusi dengan x=asinθ . Kemudian rumus identitas trigonometrinya yaitu 1−sin2θ=cos2θ .
♣ Elips pada gambar di atas kita bagi menjadi empat bagian yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV dengan masing-masing memiliki luas yang sama. Kita akan cukup menghitung luas kuadran I (daerah yang diarsir), kemudian luas elips adalah empat kali dari luas kuadran I.
♠ Permisalan untuk menyelesaikan bentuk integralnya :
*). identitas trigonometri : 1−sin2θ=cos2θ.
misalkan x=asinθ maka :
√a2−x2=√a2−(asinθ)2=√a2−a2sin2θ=√a2(1−sin2θ)=√a2(cos2θ)=acosθ .
*). turunan terhadap θ
x=asinθ→dxdθ=acosθ→dx=acosθdθ
*). Batas integral dari x=0 sampai x=a
x=asinθ→sinθ=xa
x=0→sinθ=0a→sinθ=0→θ=0
x=a→sinθ=aa→sinθ=1→θ=π2
*). Mengubah persamaan elips x2a2+y2b2=1 menjadi y=....
x2a2+y2b2=1y2b2=1−x2a2y2=b2−x2a2×b2y2=b2×a2a2−x2a2×b2y2=b2a2(a2−x2)y=√b2a2(a2−x2)y=ba√a2−x2
*). Rumus sudut rangkap : cos2θ=12(1+cos2θ)
♣ Pembuktian rumusnya :
Luas =4×luas arsiran=4×a∫0ba√a2−x2dx(ganti semua dengan θ)=4×π2∫0ba×acosθ×acosθdθ=4×π2∫0abcos2θdθ=4abπ2∫0cos2θdθ=4abπ2∫012(1+cos2θ)dθ=2abπ2∫0(1+cos2θ)dθ=2ab[θ+12sin2θ]π20=2ab[(π2+12sin2π2)−(0+12sin2×0)]=2ab[(π2+12sinπ)−(0+0)]=2ab[(π2+0)−(0+0)]=2ab[π2]=π×a×b
Jadi, terbukti rumus luas elipsnya adalah luas =π×a×b .
Demikian pembahasan materi Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan elips. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih. .
*). Menentukan luas elipsnya :
Luas =π×a×b=π×√3×√2=√6π
Jadi, luas elipsnya adalah √6π.♡
Pembuktian Rumus Luas Elips
Luas =π×a×b.
dimana π=227 atau π=3,14
dimana π=227 atau π=3,14
Untuk bisa membuktikan rumus luas elips ini, ada beberapa teori yang akan kita gunakan yaitu konsep trigonometri sudut rangkap , identitas trigonometri, penerapan integral pada luas daerah, dan integral substitusi trigonometri. Kita akan membuktikan rumusnya dengan menggunakan luas daerah penerapan dari integral. Rumus sudut rangkap yang kita gunakan adalah cos2θ=12(1+cos2θ). Sementara teknik integral substitusi yang akan kita gunakan adalah bentuk √a2−x2 yang akan kita substitusi dengan x=asinθ . Kemudian rumus identitas trigonometrinya yaitu 1−sin2θ=cos2θ .
Proses pembuktian Rumus Luas Elips :
♠ Perhatikan gambar elips berikut ini!♣ Elips pada gambar di atas kita bagi menjadi empat bagian yaitu kuadran I, kuadran II, kuadran III, dan kuadran IV dengan masing-masing memiliki luas yang sama. Kita akan cukup menghitung luas kuadran I (daerah yang diarsir), kemudian luas elips adalah empat kali dari luas kuadran I.
♠ Permisalan untuk menyelesaikan bentuk integralnya :
*). identitas trigonometri : 1−sin2θ=cos2θ.
misalkan x=asinθ maka :
√a2−x2=√a2−(asinθ)2=√a2−a2sin2θ=√a2(1−sin2θ)=√a2(cos2θ)=acosθ .
*). turunan terhadap θ
x=asinθ→dxdθ=acosθ→dx=acosθdθ
*). Batas integral dari x=0 sampai x=a
x=asinθ→sinθ=xa
x=0→sinθ=0a→sinθ=0→θ=0
x=a→sinθ=aa→sinθ=1→θ=π2
*). Mengubah persamaan elips x2a2+y2b2=1 menjadi y=....
x2a2+y2b2=1y2b2=1−x2a2y2=b2−x2a2×b2y2=b2×a2a2−x2a2×b2y2=b2a2(a2−x2)y=√b2a2(a2−x2)y=ba√a2−x2
*). Rumus sudut rangkap : cos2θ=12(1+cos2θ)
♣ Pembuktian rumusnya :
Luas =4×luas arsiran=4×a∫0ba√a2−x2dx(ganti semua dengan θ)=4×π2∫0ba×acosθ×acosθdθ=4×π2∫0abcos2θdθ=4abπ2∫0cos2θdθ=4abπ2∫012(1+cos2θ)dθ=2abπ2∫0(1+cos2θ)dθ=2ab[θ+12sin2θ]π20=2ab[(π2+12sin2π2)−(0+12sin2×0)]=2ab[(π2+12sinπ)−(0+0)]=2ab[(π2+0)−(0+0)]=2ab[π2]=π×a×b
Jadi, terbukti rumus luas elipsnya adalah luas =π×a×b .
Demikian pembahasan materi Rumus Luas Elips dan Pembuktiannya beserta contoh-contohnya. Selanjutnya silahkan baca juga materi lain yang berkaitan dengan elips. Semoga materi ini bisa bermanfaat. Terima kasih. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Pembuktian Rumus Luas Elips. Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...