Selamat Datang kembali di blog freemathlearn. Blog yang membahas seputar matematika dan ilmu sains lainnya. Baiklah untuk kali ini akan kita bahas mengenai
Konsep, Soal dan Pembahasan Binomial Newton (Ekspansi Newton). Silakan disimak ya guys!
>
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Konsep, Soal dan Pembahasan Binomial Newton (Ekspansi Newton). Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
>
Blog Koma - Sebelumnya kita telah belajar materi "Kombinasi pada Peluang dan Contohnya" yang merupakan bagian dari kaidah pencacahan. Ternyata konsep kombinasi bisa dikembangkan pada pembahasan Binomial. Pada artikel kali ini kita akan membahas lebih spesipik tentang Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton). Binomial Newton mempelajari tentang cara penjabaran(ekspansi) bentuk pangkat aljabar yang terdiri dari dua suku (binomial).
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+y4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a+b)n=.....
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi Cnr yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Keterangan :
Bentuk n∑r=0 disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
3∑r=0r2=02+12+22+33
5∑i=2(2i+1)=(2.2+1)+(2.3+1)+(2.4+1)+(2.5+1)
9∑k=1(k3+k)=(13+1)+(23+2)+(33+3)+(43+4)+...+(93+9)
1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
a). (x+2)4
b). (2a+3b)3
c). (a−2b)3
d). (x+2x)5
Penyelesaian :
a). (x+2)4 artinya n=4
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr(x+2)4=4∑r=0C4rx4−r2r=C40x4−020+C41x4−121+C42x4−222+C43x4−323+C44x4−424=1.x4.1+4.x3.2+6.x2.4+4.x1.8+1.x0.16(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16
b). (2a+3b)3 artinya n=3
(x+y)n=n∑r=0Cnrxn−ryr(2a+3b)3=3∑r=0C3r(2a)3−r(3b)r=C30(2a)3−0(3b)0+C31(2a)3−1(3b)1+C32(2a)3−2(3b)2+C33(2a)3−3(3b)3=1.(2a)3.1+3.(2a)2(3b)+3.(2a)1(3b)2+1.(2a)0(3b)3=1.23.a3.1+3.22.a2.(3b)+3.(2a).32.b2+1.1.33.b3(2a+3b)3=8a3+36a2b+54ab2+27b3
c). (a−2b)3 artinya n=3
(x+y)n=n∑r=0Cnrxn−ryr(a−2b)3=(a+(−2b))33∑r=0C3ra3−r(−2b)r=C30a3−0(−2b)0+C31a3−1(−2b)1+C32a3−2(−2b)2+C33a3−3(−2b)3=1.a3.1+3.a2(−2b)+3.a1(−2b)2+1.a0(−2b)3=a3+3.a2(−2b)+3.a.(−2)2.b2+1.1.(−2)3.b3(a−2b)3=a3−6a2b+12ab2−8b3
d). (x+2x)5 artinya n=5
Untuk menjabarkan bentuk pangkat aljabar dua suku bisa menggunakan sigitiga Pascal seperti berikut ini :
Dari bentuk segitiga pascal tersebut dapat membantu dalam penjabaran pangkat dua suku berikut dimana angka-angka pada segitiga pascal merupakan koefisien dari setiap sukunya:
(a+b)0=1(a+b)1=a+b(a+b)2=a2+2ab+b2(a+b)3=a3+3a2b+3ab2+b3(a+b)4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+y4(a+b)5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5(a+b)n=.....
Tetapi ada metode lain yang lebih mudah diterapkan untuk mencari koefisien binomial yaitu dengan menggunakan Konsep kombinasi Cnr yang dinamakan Binomial Newton (Ekspansi Binomial), sehingga segitiga pascal dapat ditulis sebagai berikut.
Konsep Binomial Newton (Ekspansi Newton)
Berikut adalah rumus Binomial Newton secara umum :
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr
atau
(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn
dengan n,r adalah bilangan asli.
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr
atau
(a+b)n=Cn0an+Cn1an−1b+...+Cnn−1abn−1+Cnnbn
dengan n,r adalah bilangan asli.
Bentuk n∑r=0 disebut notasi sigma yang merupakan pejumlahan.
Berikut beberapa contoh notasi sigma :
3∑r=0r2=02+12+22+33
5∑i=2(2i+1)=(2.2+1)+(2.3+1)+(2.4+1)+(2.5+1)
9∑k=1(k3+k)=(13+1)+(23+2)+(33+3)+(43+4)+...+(93+9)
Contoh Soal Binomial Newton (Ekspansi Binomial) :
Untuk memudahkan menghitung bentuk kombinasi, silahkan baca materi kombinasi pada artikel "kombinasi pada peluang".1). Jabarkan bentuk binomial berikut ini:
a). (x+2)4
b). (2a+3b)3
c). (a−2b)3
d). (x+2x)5
Penyelesaian :
a). (x+2)4 artinya n=4
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr(x+2)4=4∑r=0C4rx4−r2r=C40x4−020+C41x4−121+C42x4−222+C43x4−323+C44x4−424=1.x4.1+4.x3.2+6.x2.4+4.x1.8+1.x0.16(x+2)4=x4+8x3+24x2+32x+16
b). (2a+3b)3 artinya n=3
(x+y)n=n∑r=0Cnrxn−ryr(2a+3b)3=3∑r=0C3r(2a)3−r(3b)r=C30(2a)3−0(3b)0+C31(2a)3−1(3b)1+C32(2a)3−2(3b)2+C33(2a)3−3(3b)3=1.(2a)3.1+3.(2a)2(3b)+3.(2a)1(3b)2+1.(2a)0(3b)3=1.23.a3.1+3.22.a2.(3b)+3.(2a).32.b2+1.1.33.b3(2a+3b)3=8a3+36a2b+54ab2+27b3
c). (a−2b)3 artinya n=3
(x+y)n=n∑r=0Cnrxn−ryr(a−2b)3=(a+(−2b))33∑r=0C3ra3−r(−2b)r=C30a3−0(−2b)0+C31a3−1(−2b)1+C32a3−2(−2b)2+C33a3−3(−2b)3=1.a3.1+3.a2(−2b)+3.a1(−2b)2+1.a0(−2b)3=a3+3.a2(−2b)+3.a.(−2)2.b2+1.1.(−2)3.b3(a−2b)3=a3−6a2b+12ab2−8b3
d). (x+2x)5 artinya n=5
Loading...
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr(x+2x)5=5∑r=0C5rx5−r(2x)r=C50x5−0(2x)0+C51x5−1(2x)1+C52x5−2(2x)2+C53x5−3(2x)3+C54x5−4(2x)4+C55x5−5(2x)5=1.x5.1+5.x4(2x)+10.x3(22x2)+10.x2(23x3)+5.x1(24x4)+1.x0(25x5)=x5+5.x4(2x)+10.x3(4x2)+10.x2(8x3)+5.x1(16x4)+1.x0(32x5)=x5+10x3+40x1+80(1x)+80(1x3)+(32x5)(x+2x)5=x5+10x3+40x+80x+80x3+32x5
Misalkan ada bentuk (2a+3b)3 yang bisa dijabarkan menjadi :
(2a+3b)3=8a3+36a2b+54ab2+27b3
Suku-suku dari ekspansi binomial (2a+3b)3 adalah :
Suku ke-1 : 8a3 dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : 36a2b dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : 54ab2 dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : 27b3 dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial (2a+3b)3 , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan k=2 :
Cn(k−1)xn−(k−1)yk−1=C3(2−1)(2a)3−(2−1)(3b)2−1=C31(2a)2(3b)1=3.4.a2.3b=36a2b.
artinya suke ke-2 dari binomial (2a+3b)3 adalah 36a2b yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
Contoh soal koefisien binomial :
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial (2x−5y)20 dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk binomialnya : (2x−5y)20 artinya n=20.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya k=3.
Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 .
Suku ke-2 yaitu dari (2x−5y)20=(2x+(−5y))20 :
Cn(k−1)an−(k−1)bk−1=C20(3−1)(2x)20−(3−1)(−5y)3−1=C202(2x)18(−5y)2=20!(20−2)!2!.218.x18(−5)2.y2=20!18!2!.218.x18.25.y2=20.19.18!18!.2.1.218.x18.25.y2=20.192.218.x18.25.y2=190.218.x18.25.y2=(190×218×25).x18y2=4750×218x18y2.
Sehingga suku ke-3 dari (2x−5y)20 adalah 4750×218x18y2 dengan koefisiennya adalah 4750×218.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
1an=a−n dan am.an=am+n
3). Diketahi bentuk binomial (3a+b)50. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk a26b24 dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
Penyelesaian :
*). Bentuk (3a+b)50 , artinya n=50.
*). Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 sehingga sama dengan a26b24.
an−(k−1)bk−1=a26b24a50−(k−1)bk−1=a26b24a50−(k−1)bk−1=a26b24.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : k−1=24→k=25.
Artinya bentuk a26b24 adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan k=25 dari bentuk (3a+b)50
Cn(k−1)xn−(k−1)xk−1=C50(25−1)(3a)50−(25−1)(b)25−1=C5024(3a)26(b)24=C5024326a26b24.
Jadi, koefisien dari bentuk a26b24 adalah C5024×326.
4). Diketahui bentuk binomial (x−1x)2016 . Tentukan suku yang memuat bentuk x16 dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk (x−1x)2016 , artinya n=2016.
*). Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 sehingga sama dengan x16.
Bentuk (x−1x)2016=(x+(−1x))2016 artinya a=x dan b=−1x=−x−1.
an−(k−1)bk−1=x16x2016−(k−1)(−x−1)k−1=x16x2017−k.(−1)k−1.(x−1)k−1=x16(−1)k−1.x2017−k.(x)1−k=x16(−1)k−1.x(2017−k)+(1−k)=x16(−1)k−1.x2018−2k=x16.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : 2018−2k=16→k=1001.
Artinya bentuk x16 adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan k=1001 dari bentuk (x−1x)2016
Cn(k−1)an−(k−1)bk−1=C2016(1001−1)(x)2016−(1001−1)(−x−1)1001−1=C20161000(x)1016(−x−1)1000=C20161000(x)1016(x−1)1000=C20161000(x)1016(x)−1000=C20161000(x)1016+(−1000)=C20161000x16.
Jadi, koefisien dari bentuk x16 adalah C20161000. .
Menentukan Suku dan Koefisien Binomial
Dari rumus Binomial Newton berikut ini,
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr
Maka suku ke-k bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus :
Suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1.
(a+b)n=n∑r=0Cnran−rbr
Maka suku ke-k bentuk suku banyak hasil penjabarannya dapat ditentukan dengan rumus :
Suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1.
Misalkan ada bentuk (2a+3b)3 yang bisa dijabarkan menjadi :
(2a+3b)3=8a3+36a2b+54ab2+27b3
Suku-suku dari ekspansi binomial (2a+3b)3 adalah :
Suku ke-1 : 8a3 dengan koefisiennya 8.
Suku ke-2 : 36a2b dengan koefisiennya 36.
Suku ke-3 : 54ab2 dengan koefisiennya 54.
Suku ke-4 : 27b3 dengan koefisiennya 27.
Tentu kita tidak perlu menjabarkan sejara keseluruhan suku-sukunya jika hanya menentukan suku tertentu saja. Misalkan kita ingin mencari suku ke-2 dari bentuk binomial (2a+3b)3 , maka kita peroleh :
Suku ke-2 dengan k=2 :
Cn(k−1)xn−(k−1)yk−1=C3(2−1)(2a)3−(2−1)(3b)2−1=C31(2a)2(3b)1=3.4.a2.3b=36a2b.
artinya suke ke-2 dari binomial (2a+3b)3 adalah 36a2b yang sesuai dengan bentuk di atasnya.
Contoh soal koefisien binomial :
2). Tentukan suku ke-3 dari binomial (2x−5y)20 dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk binomialnya : (2x−5y)20 artinya n=20.
*). Yang diminta suku ke-3 artinya k=3.
Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 .
Suku ke-2 yaitu dari (2x−5y)20=(2x+(−5y))20 :
Cn(k−1)an−(k−1)bk−1=C20(3−1)(2x)20−(3−1)(−5y)3−1=C202(2x)18(−5y)2=20!(20−2)!2!.218.x18(−5)2.y2=20!18!2!.218.x18.25.y2=20.19.18!18!.2.1.218.x18.25.y2=20.192.218.x18.25.y2=190.218.x18.25.y2=(190×218×25).x18y2=4750×218x18y2.
Sehingga suku ke-3 dari (2x−5y)20 adalah 4750×218x18y2 dengan koefisiennya adalah 4750×218.
Untuk soal nomor 3 dan nomor 4 berikut gunakan beberapa sifat eksponen :
1an=a−n dan am.an=am+n
3). Diketahi bentuk binomial (3a+b)50. Tentukan koefisien dari suku yang berbentuk a26b24 dan terletak pada suku ke berapakah suku tersebut.
Penyelesaian :
*). Bentuk (3a+b)50 , artinya n=50.
*). Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 sehingga sama dengan a26b24.
an−(k−1)bk−1=a26b24a50−(k−1)bk−1=a26b24a50−(k−1)bk−1=a26b24.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : k−1=24→k=25.
Artinya bentuk a26b24 adalah suku ke-25.
*). Menentukan koefisien suku ke-25 dengan k=25 dari bentuk (3a+b)50
Cn(k−1)xn−(k−1)xk−1=C50(25−1)(3a)50−(25−1)(b)25−1=C5024(3a)26(b)24=C5024326a26b24.
Jadi, koefisien dari bentuk a26b24 adalah C5024×326.
4). Diketahui bentuk binomial (x−1x)2016 . Tentukan suku yang memuat bentuk x16 dan besar koefisiennya.
Penyelesaian :
*). Bentuk (x−1x)2016 , artinya n=2016.
*). Rumus suku ke-k adalah Cn(k−1)an−(k−1)bk−1 sehingga sama dengan x16.
Bentuk (x−1x)2016=(x+(−1x))2016 artinya a=x dan b=−1x=−x−1.
an−(k−1)bk−1=x16x2016−(k−1)(−x−1)k−1=x16x2017−k.(−1)k−1.(x−1)k−1=x16(−1)k−1.x2017−k.(x)1−k=x16(−1)k−1.x(2017−k)+(1−k)=x16(−1)k−1.x2018−2k=x16.
Dari persamaan terakhir di atas diperoleh : 2018−2k=16→k=1001.
Artinya bentuk x16 adalah suku ke-1001.
*). Menentukan koefisien suku ke-1001 dengan k=1001 dari bentuk (x−1x)2016
Cn(k−1)an−(k−1)bk−1=C2016(1001−1)(x)2016−(1001−1)(−x−1)1001−1=C20161000(x)1016(−x−1)1000=C20161000(x)1016(x−1)1000=C20161000(x)1016(x)−1000=C20161000(x)1016+(−1000)=C20161000x16.
Jadi, koefisien dari bentuk x16 adalah C20161000. .
Nah itulah tadi telah diuraikan mengenai Konsep, Soal dan Pembahasan Binomial Newton (Ekspansi Newton). Bagaimana, silakan berkomentar atau kritik, saran ataupun tambahan dari kamu. Kita tahu kita bukan yang sempurna, siapa tahu kamu lebih dan bisa berbagi. Ditunggu komentarnya guys.
Loading...